2018中考数学专题突破导学练第23讲矩形菱形正方形二试题

第23讲矩形、菱形、正方形（二）【知识梳理】.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。.正方形的性质：⑴四条边都相等；⑵四个角都是直角；⑶对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；⑷正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ^.正方形判定定理：⑴邻边相等的矩形是正方形；⑵有一个角是直角的菱形是正方形。【考点解析】考点一：正方形的判定和性质【例1】（2017广东）如图，已知正方形ABCD点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F,连接BF,下列结论：①Saabf=Saadiz；②S/\CD=4SaCEF；③Sz\ADF=2S/\cef；④S/\ad=2S\CDF,其中正确的是（ ）A DBECA.①③B.②③C.①④D.②④【考点】LE:正方形的性质.【分析】由^AFgAAFEJ,即可推出SaabF=Saadf,故①正确，由BE=EC=BC=AD,AD//EC,推出号^'=3^="^"=得'可得SacdF=2Sacef,SaadF=4Sacef,SaadF=2Sacdf,故②③错误④正确，由此即可判断.【解答】解：二•四边形ABC比正方形，••.AD//CB,AD=BC=AB/FAD4FAB,在△AFD和△AFB中，

fAF=AF，Zfad-Zfab,IAD=AB.△AFg△AFB'•Saabf=Saadf,故①正确，••BE=EC=BC=AD,AD)//EC,2 2.'=:'=*1,ADAFDF2•.SacdF=2SaCEFS/\adf=4SaCEF)SaAD=2SaCDF,故②③错误④正确，故选C.【例2】(2017.湖南怀化)如图，四边形ABC比正方形，△EBC是等边三角形.(1)求证：△ABE^△DCE(2)求/(2)求/AED的度数.KK等边三角形的性质.【考点】LE:正方形的性质；KDKK等边三角形的性质.【分析】(1)根据正方形、等边三角形的性质，可以得到AB=BE=CE=CD/ABE4DCE=30,由此即可证明；(2)只要证明/EAD=/ADE=15,即可解决问题；【解答】(1)证明：二•四边形ABC虚正方形，△ABC是等边三角形，BA=BC=CD=BE=CEZABC4BCD=90,/EBChECB=60,•••/ABE土ECD=30,在△ABE^ADCE中，

‘AB=DC，ZABEtZDCE，IBE=C；E=..△AB段△DCE(SAS.(2)•••BA=BE/ABE=30,/BAE==75°,•••/BAD=90,・./EAD=90—75°=15°,同理可得/ADE=15,考点二、有关特殊平行四边形的综合运用=150°考点二、有关特殊平行四边形的综合运用=150°【例3】（2017四川南充）如图，在正方形ABC邛，点E、G分别是边ADBC的中点，AF」AB..4(1)求证：EFLAG（2）若点F、G分别在射线ARBC上同时向右、向上运动，点 G运动速度是点F运动速度的2倍，EF±AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？（3）正方形ABCD勺边长为4,P是正方形ABCD内一点，当Sapae=&oab求△PAB周长的最小值.【考点】LQ小值.【考点】LQ四边形综合题.【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB/EAF=ZABG=90,证出黑若得出【分析】（1）由正方形的性质得出AEBABAG由相似三角形的性质得出/AEF=ZBAG再由角的互余关系和三角形内角和定理证出/AOE=90即可；

(2)证明△AE®ABA(G得出/AEF=ZBAG再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论；(3)过O作MN/AB,交AD于MBC于N,则MWAD,MN=AB=4由三角形面积关系得出点P在线段MNh,当P为MN的中点时，4PAB的周长最小，此时PA=PBPM』MN=2连接EQ2则EG//AB,EG=AB=4证明^AOD△GOE得出—^^=—,证出?_=2L=_L得出OEEG4EMOE41：oAM七AE亡，由勾股定理求出PA,即可得出答案.5、-5【解答】(1)证明：二•四边形ABC虚正方形，.AD=AB/EAF=ZABG=90,・•点E、G分别是边ARBC的中点，AF=1aB.襄.AF_1BG_1・ = =—一AE2AB2AEBA.△AED△BAG/AEF=ZBAG••/BAG吆EAO=90,••/AEF+/EAO=90,/AOE=90,••EFXAQ(2)解：成立；理由如下:根据题意得:AF根据题意得:AF_1 =一BG2：..AE=1AB--2,,AF_AE又・•/EAF土ABG.△AED△BAG/AEF=ZBAG••/BAG吆EAO=90,••/AEF+ZEAO=90,/AOE=90,・•.EF^AG（3）解：过O作MMAB,交AD于M,BC于N,如图所示：贝UMNLADMN=AB=4,「P是正方形ABCD^J一■点，当S\pae=Saoab・•点P在线段MN上，当P为MN的中点时，△PAB的周长最小,此时PA=PBPM=MN=2连接EGPAPB,贝UEG//AB,EG=AB=4.△AOS△GOEOFAF_1一.••MN//AB,.AMOF_1一.s•工城1. 2・•.AM=^AE-X2=—,5 5 5由勾股定理得：PA=「y'-j=型三5・•.△PAB周长的最/」、值=2PA+AB=^^+4.中考热点】（2017山东枣庄）在矩形ABCD43,/B的角平分线BE与AD交于点E,/BED的角平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC贝UBC=672+S.（结果保留根号）【考点】LB:矩形的性质；KI:等腰三角形的判定；S9:相似三角形的判定与性质.【分析】先延长EF和BG交于点G,再根据条件可以判断三角形 ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG^等腰三角形，最后根据^EF2△GFC得出CGWDE的倍数关系，并根据BG=BC+CG!行计算即可.【解答】解：延长EF和BC,交于点G•••矩形ABC邛，/B的角平分线BE与AD交于点E,ABE土AEB=45,.•.AB=AE=9，直角三角形ABE中，BE<g2+g£=桔,又•一/BED的角平分线EF与DC交于点F,・•/BEGhDEFAD//BC/G=ZDEF・•/BEGhGBG=BE=:由/G=ZDER/EFDWGFC可彳#△EFW△GFCde'df设CG=xDE=2x,则AD=9+2x=BCBG=BC+CGI数：=9+2x+x解得x=l「小」二:.BC=9+2 ―3)=6^，糖故答案为： 一’‘A【达标检测】一、 选择题：（2017广西百色）如图，在正方形OAB计，。为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2,0）,将正方形OABC&着OB方向平移1OB个单位，则点C的对应点坐标为 （1,2.【考点】Q3:坐标与图形变化-平移.【分析】将正方形OABg着OB方向平移tOB个单位，即将正方形OABCg先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，根据平移规律即可求出点 C的对应点坐标.【解答】解：•••在正方形OAB计，。为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2,0）,.•.OC=OA=2C（0,2）,•••将正方形OABC占着OB方向平移*OB个单位，即将正方形OABg先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，•・•点C的对应点坐标是（1,3）.故答案为（1,3）.（2017山东临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y上（x>0）的图象与边长是6的正方形OABC勺两边AB,BC分别相交于M,N两点，△OMN勺面积为10.若动点P在x轴上，贝UPM+PN勺最小值是（ ）A.6&B.10 C.2.麻D.2729【分析】由正方形OABC勺边长是6,得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6,求得M(6,K),6N(k,6),根据三角形的面积列方程得到 M(6,4),N(4,6),作M关于x轴的对称点M,6连接NM交x轴于巳则NM的长=PM+PN勺最小值，根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：二•正方形OABC勺边长是6,.••点M的横坐标和点N的纵坐标为6,TOC\o"1-5"\h\zlr L-••M(6,4),N(4,6),6 6.-.BN=6-X,BM=6~K,6 6・•△OMN勺面积为10,.,.6X6-i-X6xX--Ly6X.k--Lx(6-K)2=10,2 62 62 6k=24,•M(6,4),N(4,6),作M关于x轴的对称点M,连接NM交x轴于P,则NM的长=PM+PN勺最小值，.AM=AM=4,•.BM=10,BN=2•,NM:Jbm，屋BMMM+产2倔,故选C.

【点评】本题考查了反比例函数的系数 k的几何意义，轴对称-最小距离问题，勾股定理,正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键.4. （2017山东泰安）如图，正方形ABCM,M为BC上一点，M吐AMME交4. （2017山东泰安）如图，正方形于点E.若AB=12,BM=5则DE的长为（ ）A.18IQ9c96

C.A.18【考点】S9:相似三角形的判定与性质;【考点】S9:相似三角形的判定与性质;KQ勾股定理；LE:正方形的性质.【分析】先根据题意得出^ABMh△MCG故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCa△EDG即可得出结论.【解答】解：二•四边形ABC比正方形，AB=12,BM=q.•.MC=12-5=7..MELAM/AME=90,••/AMB廿CMG=90.••/AMB廿BAM=90,./BAMhCMG/B=ZC=90,.△ABMh△MCG•.二=1MCCG'•.二=1MCCG'即竿=^,解得CG甯,£3 Id.•.DG=12-35=109适="nr••AE//BC,/E=CMG/EDGWC,. MC®△EDG35MC=CGde-dg即赤舟解得MC=CGde-dg即赤舟解得喈.12故选B.、填空题:5.（2017贵州安顺）如图所示，正方形ABCD勺边长为6,4ABE是等边三角形，点E在正方形ABCErt,在^^线AC上有一点P,使PD+PE勺和最小，则这个最小值为 6【考点】PA轴对称-最短路线问题； KK等边三角形的性质；LE:正方形的性质.【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD,与AC的交点即为P点.此时PD+PE=BE最小，而BE是等边^ABE的边，BE=AB由正方形ABC曲边长为6,可求出AB的长，从而得出结果.【解答】解：设BE与AC交于点巳连接BD,・•点B与D关于AC对称，.PD=PB•.PD+PE=PB+PE=BE小.即P在A*BE的交点上时，PD+PEt小，为BE的长度;••正方形ABCM边长为6,.•.AB=6.又ABE是等边三角形,BE=AB=6故所求最小值为6.故答案为：6.(2017硝疆)如图，在边长为6cm的正方形ABC邛，点E、F、GH分别从点A、BCD同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、DXA匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 3s时,四边形EFGH勺面积最小，其最小值是18cm2.【考点】H7:二次函数的最值；LE:正方形的性质.【分析】设运动时间为t(0WtW6),则AE=t,AH=6-t,由四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-4个4AEH的面积，即可得出S四边形efg浅于t的函数关系式，配方后即可得出结论.【解答】解：设运动时间为t(0WtW6),则AE=t,AH=6-1,根据题意得：S四边形EFG=S正方形ABCD一4Saae=6X6-4x]t(6-t)=2t2-12t+36=2「3)2+18,£，当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为 18.故答案为：3;18【点评】本题考查了二次函数的最值、三角形以及正方形的面积，通过分割图形求面积法找出S四边形EFG送于t的函数关系式是解题的关键.(2017.江苏宿迁)如图，正方形ABCD的边长为3,点E在边AB上，且BE=1,若点P在对角线BD上移动，则PA+P郎最小值是 标.【考点】PA轴对称-最短路线问题； LE:正方形的性质.【分析】作出点E关于BD的对称点E',连接AE与BD交于点P,此时AP+PEM小，求出AE'的长即为最小值.【解答】解：作出点E关于BD的对称点E',连接AE与BD交于点P,此时AP+PEM小,•.PE=PE,・•.AP+PE=AP+E'=AE,在RtMBE中,AB=3BE'=BE=1根据勾股定理得：AE'=匹，则PA+PE的最小值为瓜，故答案为：一(2017.四川眉山)如图，点E是正方形ABCM边BC延长线上一点，连结DE,过顶点B作BF,DE，垂足为F,BF分别交AC于H,交BC于G.(1)求证：BG=DE(2)若点G为CD的中点，求券的值.B_ CE【考点】S9:相似三角形的判定与性质； KD全等三角形的判定与性质；LE:正方形的性质.【分析】(1)由于BF±DE,所以/GFD=90,从而可知/CBGhCDE根据全等三角形的判定即可证明△BCgADCE^从而可知BG=DE(2)设CG=1从而知CG=CE=1由勾股定理可知：DE=BG钝，由易证△ABHT△CGH所以罂二2,从而可求出HG的长度，进而求出栏的值... Gr【解答】解：(1) BF±DE,•••/BCG=90,/BGCWDGF・./CBGhCDE在△BCG^△DCE中，ZCBG=ZCDE，EC寸B/BCG=/DCE.BCe△DCE(ASA,.•.BG=DE(2)设CG=1••.G为CD的中点,.•.GD=CG=1由(1)可知：△BC0△DCE(ASA),.•.CG=CE=1由勾股定理可知： DE=BG=T,rrIF•.sinZCDE=^=—,DEGC.•.GF=i7-i2,5AB//CG・.△ABM△CGH三;三:CGGH1,BH=.",GH=",更通-石9. （2017浙江衢州）问题背景如图1,在正方形ABCM内部，作/DAEWABF=ZBCGWCDH根据三角形全等的条件，易得^DA总△ABH△BC0△CDH从而得到四边形EFGH^正方形.类比探究如图2,在正△ABC的内部，作/BAD=/CBE=ZACF,AD,BE,CF两两相交于D,E,F三点（D,E,F三点不重合）DBaDB备用国△ABQ^BCEACAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明.(1)(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由.(3)a,bDBaDB备用国△ABQ^BCEACAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明.(1)(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由.(3)a,bc满足的等量关系.进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=aAD=b,AB=c,请探索【考点】LQ四边形综合题.【分析】（1）由正三角形的性质得出/ CAB至ABC4BCA=60,AB=BC证出/ABD4BCE由ASA证明△ABD^△BCE即可;（2）由全等三角形的性质得出/ ADB至BECWCFA证出/FDE=ZDEF之EF口即可得出结论;(3)作AGLBD于G由正三角形的性质得出/ADG=60,在Rt^ADG^,DG工b,AG^b,5 2在Rt^ABG中，由勾股定理即可得出结论.【解答】解：（1）△ABE^△BCEE^△CAF理由如下:.「△ABC是正三角形,••/CAB4ABC4BCA=60,AB=BC・・/ABD4ABC-/2,/BCE至ACB-/3,/2=/3,••/ABD4BCE在△ABD^ABCE中，，AB=BC ,,ZAB]>ZBCE.△ABN△BCE(ASA；(2)△DEF是正三角形；理由如下:.△ABN△BCE^△CAR/ADB=/BEC=/CFA・./FDE=/DEF=ZEFQ・•.△DEF是正三角形；

（3）作AGLBD于G如图所示:.「△DEF是正三角形，/ADG=60,在Rt△ADG^P,DG』b,AG=-lb,2 2在Rt^ABG中,c2=（a+!b）2+（通b）2,2 2c2=a2+ab+b2./B码：DG10.（2017湖北宜昌）正方形ABCD勺边长为1,点。是BC边上的一个动点（与B,C不重合），以。为顶点在BC所在直线的上方作/MON=90.（1）当。睇过点A时，①请直接填空：ON不可能 （可能，不可能）过D点；（图1仅供分析）②如图2,在ON上截取OE=OA过E点作EF垂直于直线BG垂足为点F,作EHLCD于H,求证：四边形EFCH^正方形.（2）当OM不过点A时，设OM交边AB于G,且OG=1在ON上存在点巳过P点作PK垂直于直线BG垂足为点K,使得&pkc=4SaobQ连接GP,求四边形PKBG勺最大面积.【考点】LQ四边形综合题.M【考点】LQ四边形综合题.【分析】（1）