湖北省黄冈市黄梅一中2023-2023学年高一上学期期中数学试卷(文科)

2023-2023学年湖北省黄冈市黄梅一中高一（上）期中数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）sin（﹣660°）=（） A． B． ﹣ C． D． ﹣2．（5分）把﹣495°表示成K•360°+θ（k∈Z）的形式，其中使|θ|最小的θ值是（） A． ﹣135° B． ﹣45° C． 45° D． 135°3．（5分）若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限4．（5分）已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=（） A． 7 B． C． 1 D． ﹣15．（5分）下列函数中，周期为1的奇函数是（） A． y=1﹣2sin2πx B． C． D． y=sinπxcosπx6．（5分）若α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=，则三角形的形状为（） A． 钝角三角形 B． 锐角三角形 C． 直角三角形 D． 无法确定7．（5分）一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，则弦|AB|=（） A． sin1 B． cos1 C． 2sin1 D． sin28．（5分）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线对称，那么a等于（） A． B． 1 C． D． ﹣19．（5分）已知sinα﹣cosα=2sinα•cosα，则sin2α的值为（） A． B． C． D． 10．（5分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（） A． B． C． （） D． （）二、填空题11．（5分）已学科王知sinφ=﹣，|φ|＜，则tanφ=．12．（5分）sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=．13．（5分）函数为增函数的区间是．14．（5分）函数y=3﹣sinx﹣2cos2x的值域为．15．（5分）三角函数式：①y=3sin（2x﹣）②y=3sin（2x+）③y=3sin（2x﹣）④y=3sin（2x+）其中，在[，]上的图象如图所示，函数是．（填上所有符合条件的函数序号）三、解答题16．（12分）（1）求值；（2）化简．17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若角α在第一象限且，求f（α）．18．（12分）已知函数f（x）=sin2wx+sinwxsin（wx+）（w＞0）的最小正周期为π．（1）求w的值；（2）若不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，求m的最大值．19．（12分）已知cos（x+）=，＜x＜，求的值．20．（13分）若关于x的二次方程ax2+（2a﹣3）x+a﹣2=0的两根为tanα、tanβ．（1）若a=，求tan（α﹣β）的值；（2）求tan（α+β）的最小值．21．（14分）已知函数f（x）=Asinwx+Bcoswx（其中A、B、w是常数w＞0）的最小周期为2，并且当x=取得最大值2．（1）求函数f（x）的表达式（2）在闭区间[，]上是否存在f（x）对称轴，如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，说明理由．2023-2023学年湖北省黄冈市黄梅一中高一（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）sin（﹣660°）=（） A． B． ﹣ C． D． ﹣考点： 运用诱导公式化简求值．专题： 三角函数的求值．分析： 利用诱导公式，把sin660°等价转化为﹣cos30°，由此能求出结果．解答： 解：sin（﹣660°）=﹣sin660°=﹣sin300°=cos30°=．故选C．点评： 本题考查三角函数的诱导公式的灵活运用，是基础题．解题时要注意三角函数符号的变化．2．（5分）把﹣495°表示成K•360°+θ（k∈Z）的形式，其中使|θ|最小的θ值是（） A． ﹣135° B． ﹣45° C． 45° D． 135°考点： 终边相同的角．专题： 计算题；三角函数的求值．分析： 利用﹣495°=﹣135°﹣360°，它的终边与﹣135°的终边相同，故使|θ|最小的θ为﹣135°解答： 解：﹣495°=﹣135°﹣360°，它的终边与﹣135°的终边相同，在第三象限内，故选：A．点评： 本题考查终边相同的角的表示方法，考查基本概念，基本知识的熟练程度，是基础题．3．（5分）若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限考点： 象限角、轴线角；三角函数值的符号．分析： sin2θ=2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限．解答： 解：由sin2θ=2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限第四象限．故选D．点评： 本题考查象限角，三角函数值的符号，二倍角的正弦，是基础题．4．（5分）已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=（） A． 7 B． C． 1 D． ﹣1考点： 两角和与差的正切函数．专题： 三角函数的求值．分析： α+=（α+β）﹣（β﹣），依题意，利用两角差的正切即可求得答案．解答： 解：α+=（α+β）﹣（β﹣），tan（α+β）=，tan（β﹣）=，∴tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]===．故选：B．点评： 本题考查两角和与差的正切函数，分析得到α+=（α+β）﹣（β﹣）是关键，属于中档题．5．（5分）下列函数中，周期为1的奇函数是（） A． y=1﹣2sin2πx B． C． D． y=sinπxcosπx考点： 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．专题： 计算题．分析： 对A先根据二倍角公式化简为y=cos2πx为偶函数，排除；对于B验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案．解答： 解：∵y=1﹣2sin2πx=cos2πx，为偶函数，排除A．∵对于函数，f（﹣x）=sin（﹣2πx+）≠﹣sin（2πx+），不是奇函数，排除B．对于，T=≠1，排除C．对于y=sinπxcosπx=sin2πx，为奇函数，且T=，满足条件．故选D．点评： 本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由最小正周期的求法T=、奇偶性的性质、单调性的判断解题．6．（5分）若α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=，则三角形的形状为（） A． 钝角三角形 B． 锐角三角形 C． 直角三角形 D． 无法确定考点： 三角形的形状判断．专题： 解三角形．分析： 把所给的等式两边平方，得2sinαcosα＜0，在三角形中，只能cosα＜0，只有钝角cosα＜0，故α为钝角，三角形形状得判．解答： 解：∵（sinα+cosα）2=，∴2sinαcosα=﹣，∵α是三角形的一个内角，则sinα＞0，∴cosα＜0，∴α为钝角，∴这个三角形为钝角三角形．故选A．点评： 把和的形式转化为乘积的形式，易于判断三角函数的符号，进而判断出角的范围，最后得出三角形的形状．7．（5分）一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，则弦|AB|=（） A． sin1 B． cos1 C． 2sin1 D． sin2考点： 扇形面积公式．专题： 三角函数的求值．分析： 设扇形的中心角为α，半径为r．根据扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，可得=1，2r+αr=4，解出即可．解答： 解：设扇形的中心角为α，半径为r．∵扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，∴=1，2r+αr=4，解得α=2，r=1．∴弦|AB|=2sin1．故选：C．点评： 本题考查了扇形的面积计算公式、弧长公式，属于基础题．8．（5分）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线对称，那么a等于（） A． B． 1 C． D． ﹣1考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题： 计算题．分析： 将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，再根据正弦函数在对称轴上取最值可得方程，进而可得答案．解答： 解：由题意知y=sin2x+acos2x=sin（2x+φ）当时函数y=sin2x+acos2x取到最值±将代入可得：sin[2×（）]+acos[2×（）]=解得a=﹣1故选D．点评： 本题的考点是正弦型三角函数，主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题，考查学生分析解决问题的能力．属基础题．9．（5分）已知sinα﹣cosα=2sinα•cosα，则sin2α的值为（） A． B． C． D． 考点： 二倍角的正弦．专题： 三角函数的求值．分析： sinα﹣cosα=2sinα•cosα，两边平方，利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．解答： 解：∵sinα﹣cosα=2sinα•cosα，∴sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=（sin2α）2，化为（sin2α）2+sin2α﹣1=0，解得sin2α=，其中＜﹣1舍去．∴sin2α=．故选：B．点评： 本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，属于基础题．10．（5分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（） A． B． C． （） D． （）考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．专题： 计算题．分析： 先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质进行验证：若f（a）=0，则（a，0）为一个对称中心，确定选项．解答： 解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为再向右平移个单位得到图象的解析式为=sin2x当x=时，y=sinπ=0，所以是函数y=sin2x的一个对称中心．故选A．点评： 本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．二、填空题11．（5分）已学科王知sinφ=﹣，|φ|＜，则tanφ=﹣．考点： 同角三角函数间的基本关系．专题： 三角函数的求值．分析： 先根据已知，确定﹣＜φ＜0，再根据同角三角函数间的基本关系求出cosφ的值，故可求tanφ的值．解答： 解：已知sinφ=﹣，|φ|＜，故有，﹣＜φ＜0，故有cosφ==，故有tanφ==﹣，故答案为：﹣．点评： 本题主要考察了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．12．（5分）sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=﹣．考点： 两角和与差的正弦函数．专题： 计算题；三角函数的求值．分析： 先利用诱导公式sin83°cos53°=cos7°sin37°，然后逆用两角差的正弦公式化简求值．解答： 解：sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=sin7°cos37°﹣cos7°sin37°=sin（7°﹣37°）=sin（﹣30°）=﹣．故答案为．点评： 本题主要考查了两角差的正弦公式的逆用，在逆用公式时要注意先化成公式的标准形式．13．（5分）函数为增函数的区间是[，]．考点： 正弦函数的单调性．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 在三角函数式中先把x的系数用诱导公式变为正，表现出来是负号提前，这样要求函数的增区间变成了去掉负号后的函数的减区间，据正弦函数的减区间求出结果，写出在规定的范围的区间．解答： 解：∵y=2sin（﹣2x）=﹣2sin（2x﹣），∴只要求y=2sin（2x﹣）的减区间，∵y=sinx的减区间为[2kπ+，2kπ+]，∴2x﹣∈[2kπ+，2k]，∴x，∵x∈[0，π]，∴，故答案为：[，]．点评： 在三角函数单调性运算时，若括号中给出的角自变量的系数为负，一定要先用诱导公式把负号变正，否则，计算出的单调区间刚好相反，原因是复合函数单调性引起的．14．（5分）函数y=3﹣sinx﹣2cos2x的值域为[，4]．考点： 复合三角函数的单调性．专题： 三角函数的求值．分析： 由三角函数知识化简可得y=2（sinx﹣）2+，令sinx=t，则t∈[﹣1，1]，研究二次函数y=2（t﹣）2+的单调性和值域即可．解答： 解：化简可得y=3﹣sinx﹣2cos2x=3﹣sinx﹣2（1﹣sin2x）=2sin2x﹣sinx+1=2（sinx﹣）2+，令sinx=t，则t∈[﹣1，1]，由二次函数可知y=2（t﹣）2+在t∈[﹣1，]单调递减，在t∈[，1]单调递增，∴当t=时，上取到最小值，当t=﹣1时，上取到最大值4故答案为：[，4]点评： 本题考查复合三角函数的单调性和最值，换元是解决问题的关键，属基础题．15．（5分）三角函数式：①y=3sin（2x﹣）②y=3sin（2x+）③y=3sin（2x﹣）④y=3sin（2x+）其中，在[，]上的图象如图所示，函数是①②．（填上所有符合条件的函数序号）考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据图象可得函数在[，]上是增函数，且函数值由﹣3增大到3．根据x∈[，]，对各个选项中的函数进行判断，从而得出结论．解答： 解：根据图象可得函数在[，]上是增函数，且函数值由﹣3增大到3．根据x∈[，]，可得2x﹣∈[﹣，]，故y=3sin（2x﹣）在[，]上是增函数，且函数值由﹣3增大到3．可得2x+∈[，]，故y=3sin（2x+）在[，]上是增函数，且函数值由﹣3增大到3．可得2x﹣∈[﹣，]，故y=3sin（2x﹣）在[，]上不是增函数，不满足条件．可得2x+∈[π，2π]，故y=3sin（2x+）在[，]上不是增函数，不满足条件．故答案为：①②．点评： 本题主要考查正弦函数的增区间，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．三、解答题16．（12分）（1）求值；（2）化简．考点： 三角函数中的恒等变换应用．专题： 三角函数的求值．分析： （1）1=sin240°+cos240°，利用同角三角函数的关系式化简即可；（2）利用同角三角函数的关系式化简即可求值．解答： 解：（1）原式===1（2）原式==1点评： 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，属于基础题．17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若角α在第一象限且，求f（α）．考点： 正弦函数的定义域和值域；同角三角函数间的基本关系．专题： 计算题；综合题．分析： （Ⅰ）根据函数解析式中分母不为0求得x的范围，求得函数的定义域．（Ⅱ）根据α所在的象限和cosα，求得sinα的值，进而利用两角和公式和二倍角公式对函数f（x）的解析式化简整理，把sinα的值代入即可求得答案．解答： 解：（Ⅰ）由≠0得x+≠kπ，即x≠，故f（x）的定义域为．（Ⅱ）由已知条件得．从而===．点评： 本题主要考查了正弦函数的定义域和值域，考查了对三角函数基础知识的掌握．18．（12分）已知函数f（x）=sin2wx+sinwxsin（wx+）（w＞0）的最小正周期为π．（1）求w的值；（2）若不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，求m的最大值．考点： 三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题： 三角函数的图像与性质．分析： （1）首先对三角关系式进行恒等变换，以函数的周期为突破口，进一步确定函数的解析式．（2）利用（1）的结论，根据函数的定义域确定函数的值域，进一步利用恒成立问题，求出m的值．解答： 解：（1）f（x）=sin2wx+sinwxsin（wx+）=+=由于函数的周期为：π则：T==π所以：ω=1（2）由（1）得：f（x）=已知x∈[0，]所以：则：0≤f（x）≤不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立只需满足m≤f（x）min即可则：m≤0，即：m的最大值为0．点评： 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用函数的周期确定函数的解析式，利用函数的定义域求三角函数的值域，恒成立问题的应用．19．（12分）已知cos（x+）=，＜x＜，求的值．考点： 三角函数的恒等变换及化简求值．专题： 三角函数的求值．分析： 利用二倍角公式可将原式化为原式==sin2xtan（x+），依题意，再分别求得sin2x与tan（x+）的值，代入即可求得答案．解答： （12分）解：原式==sin2xtan（x+），（2分）∵cos（x+）=，＜x＜，＜x+＜2π，∴sin（x+）=﹣，tan（x+）=﹣，（4分）sin2x=﹣cos（2x+）=1﹣2cos2（x+）=，（4分）∴原式=×（﹣）=﹣（2分）点评： 本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．20．（13分）若关于x的二次方程ax2+（2a﹣3）x+a﹣2=0的两根为tanα、tanβ．（1）若a=，求tan（α﹣β）的值；（2）求tan（α+β）的最小值．考点： 两角和与差的正切函数．专题： 三角函数的求值．分析： （1）当a=时，解方程x2﹣x﹣=0，可得x=1或x=﹣；从而有或，利用两角差的正切即可求得答案；（2）依题意，tanα+tanβ=﹣，tanα•tanβ=，于是tan（α+β）==﹣a≥﹣，从而可得答案．解答： （13分）解：（1）当a=时，原方程为