专题4.4 立体几何中最值问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)(原卷版)

修正版修正版玩转压轴逼，夬破140分之高三数学选填题高端精品专题4.4立体几何中最值问题一•方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解.二．解题策略类型一距离最值问题【例1】【河南省焦作市2019届高三三模】在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA］和AB上，且C1E丄EF,则IAFI的最大值为（）A.二B.1C.?D.2【指点迷津】建立空间直角坐标系，求出二匚匸坐标，利用C1E丄EF,求出IAF满足的关系式，然后求出最大值即可.利用向量法得到IAFI的关系式是解题的关键，故选D.【举一反三】1、【江西省吉安市2019届高三上学期期末】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为

A.=B.三C.三D.2、【河南省顶级名校2019届高三第四次联合测评】在侧棱长为门的正三棱锥•-三］中，侧棱OA,OB,OC两两垂直，现有一小球P在该几何体内，则小球P最大的半径为A.A.mri亍mIri亍C.匚：D.「3、如右图所示，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，e为棱CC的中点，点P,Q分别为面ABCD111111111和线段BC和线段BC上的动点，则APEQ周长的最小值为.1类型二面积的最值问题【例2】【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】在长方体二打一-二二二中，二二二二二.，三=7^「分别是棱三三：；的中点，二是底面二二内一动点，若直线〉；与平面「巧没有公共点,则三角形F三二面积的最小值为（）A.—B.-A.—B.-C.-D.二【指点迷津】截面问题，往往涉及线面平行，面面平行定义的应用等，考查空间想象能力、逻辑思维能力及计算求解能力.解题的关键是注意明确截面形状，确定几何量.本题由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点p所在线段，得解.【举一反三】1、【湖南省衡阳市2019届高三二模】如图，直角三角形二三：，二-上「二-，二二一E二二］，将一_上二绕「二边旋转至-.V立置，若二面角?--J-二'的大小为二则四面体/-.£.的外接球的表面积的最小值为（）■9

nA.三一B.二一C.D.二一£2、如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，AB=1,AA=2，点P是平面ABCD内的一个动点，则三111111111棱锥P-ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（）nGDyAB俯观團正视图nGDyAB俯观團正视图11A.1B.2C・一D.-243、【福建省2019届高三模拟】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有侧面和底面中，面积的最大值为（）A.2B.0C.3D.Y类型三体积的最值问题【例3】如图，已知平面厂平面2,'是直线上的两点，匚二是平面内的两点，且

玄丄，二」，吒兀，―八,是平面「•上的一动点，且有三r,则四棱锥：「玄体积的最大值是（）A,"B.上匚C：：D.-■■【指点迷津】本题主要考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式以及求最值问题.求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图像法，本题首先根据线面关系将体积最值转化为函数求最值问题，然后应用方法①解答的.【举一反三】1、已知AD与BC是四面体ABCD中相互垂直的棱，若AD=BC=6，且ZABD=ZACD=60。，贝y四面体ABCD的体积的最大值是A.18迈b.36迈C.18D.362、如图，已知平面aIP=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面0内，且DA丄a,CB丄a,AD=4，3.【河南省八市重点高中联盟3.【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第三次测评】已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，内有一个体积为「的球，贝匸的最大值为（）C.C.类型四角的最值问题【例4】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点•设异面直线EM与AF所成的角为。，则COS0的最大值为.

【指点迷津】空间的角的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解•解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过90度的•几何问题还可结合图形分析何时取得最大值•当点M在点P处时,EM与AF所成角为直角，此「时余弦值为0（最小），当点M向左移动时，・EM与AF所成角逐渐变小，点M到达点Q时，角最小，余弦值最大.【举一反三】1、矩形ABCD中",三宀-，将△abc与Aadc沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直A.B・C・D.2、在正方体ABCD-Aibicidi中,0是BD中点，点P在线段B1D1上，直线0P与平面AiBD所成的角A．为a,则sina的取值范围是（）A．D.4311D.43B[3,2]3.【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】如图，在正方体二二-中，点P为AD的中点，点Q为二二上的动点，给出下列说法：二L可能与平面---_平行；二二与BC所成的最大角为二；--■_与PQ—定垂直；Z：二与二〉所成的最大角的正切值为二；

其中正确的有■写出所有正确命题的序号uuuvuuv4、在正四面体P-ABC中，点M是棱PC的中点，点N是线段AB上一动点，且AN二九AB，设异面12直线NM与AC所成角为Q,当3<3时，则cos«的取值范围是.三．强化训练一、选择题1、【甘肃省2019届高三第一次高考诊断】四棱锥「；；口：的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形儿二"的边长为4,则四棱锥：'二江卅的体积最大值为（）A.-gA.-gB・二nc.—£4D.—【广东省东莞市2019届高三第二次调研】已知一个四棱锥的正［主|视图和俯视图如图所示，其中则该四棱锥的高的最大值为i1正（主〉视團侗视图A.丁B・1丁C.4D.2【四川省教考联盟2019届高三第三次诊断】已知四棱锥…必；：'的底面四边形川』的外接圆半径为3,且此外接圆圆心到」点距离为2,则此四棱锥体积的最大值为（）A.12B.6C.32D.24【安徽省蚌埠市2019届高三第一次检查】某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，三棱锥表面上的点M在俯视图上的对应点为A,三棱锥表面上的点N在左视图上的对应点为B,则线段

5.如图，在矩形ABCD中，AB二2,AD二1,点E为CD的中点，F为线段CE（端点除外）上一动点现将ADAF沿AF折起，使得平面ABD丄平面ABC设直线FD与平面ABCF所成角为9，则sin9的最大值为（）A.B.C.D.大值为（）A.B.C.D.6.【2019年4月2019届高三第二次全国大联考】已知正四面体一赵的表面积为泌菇,点P在bABC内（不含边界）.若.：-SCJS=-.二-:T：，且一:■＜久，则实数'的取值范围为（）D.匚D.匚—：一：：二、填空题7.【山东省青岛市2019届高三3月一模】在四棱锥“f中，底面是边长为2的正方形，&-面ASCD，且PD二1,若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为.8．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】如图，已知正四棱柱皿CD-一和半径为亡的半球O,底面ABCD在半球O底面所在平面上,也，g,G，山四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为.9．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】如图，已知圆柱和半径为•丁的半球O,圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O,则该圆柱的体积的最大值为.【江西省上饶市2019届高三二模】一个棱长为丄的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体，且能使该TOC\o"1-5"\h\z正四面体在铁盒内任意转动，则该正四面体的体积的最大值是.【河北省衡水市第二中学2019届高三上期中】已知体积为1的正四棱锥外接球的球心为巴其中■'在四棱锥厂…必；：'内部•设球:」的半径为庄，球心：」到底面八』的距离为匚.过九的中点匕作球【'的截面，则所得截面圆面积的最小值是.【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】如图所示，三棱锥的顶点,，门都在同一球面上，过球心「且三二二：I,二是边长为2等边三角形，点XT分别为线段1；'，＜上的动点（不含端点），且/p二£Q,则三棱锥体积的最大值为.【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥中，m山！「•，点：在棱5上,且且已正三棱锥■■■；-;的外接球为球二过：点作球“的截面'，'截球“所得截面面积的最小值为【江西师范大学附属中学2019高三上学期期末】若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为.【江西省上饶市2019届