无套利定价原理二

第三讲无套利定价原理什么是套利什么是无套利定价原理无套利定价原理的基本理论第一部分什么是套利什么是无套利定价原理无套利定价原理的基本理论商业贸易中的套利行为

15,000元/吨翰阳公司卖方甲买方乙17,000元/吨铜铜在商品贸易中套利时需考虑的成本：（1）信息成本：

（2）空间成本

（3）时间成本

金融市场中的套利行为

专业化交易市场的存在

信息成本只剩下交易费用产品标准化金融产品的无形化－－没有空间成本金融市场存在的卖空机制大大增加了套利机会

金融产品在时间和空间上的多样性也使得套利更为便捷

套利的定义套利指一个能产生无风险盈利的交易策略。这种套利是指纯粹的无风险套利。但在实际市场中，套利一般指的是一个预期能产生无风险盈利的策略，可能会承担一定的低风险。

第二部分什么是套利什么是无套利定价原理无套利定价原理的基本理论无套利定价”原理无套利定价”原理

金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在套利机会那什么是套利机会呢？套利机会的等价条件（1）存在两个不同的资产组合，它们的未来损益（payoff）相同，但它们的成本却不同；损益：现金流不确定状态下：每一种状态对应的现金流（2）存在两个相同成本的资产组合，但是第一个组合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的损益要大于第二个组合的支付。（3）一个组合其构建的成本为零，但在所有可能状态下，这个组合的损益都不小于零，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的损益要大于零。无套利定价价原理（1）同损损益同价格格如果两种证证券具有相相同的损益益，则这两两种证券具具有相同的的价格。（2）静态组合合复制定价价：如果一个资资产组合的的损益等同同于一个证证券，那么么这个资产产组合的价价格等于证证券的价格格。这个资资产组合称称为证券的的“复制组组合”（replicatingportfolio）。（3）动态组合合复制定价价：如果一个自自融资（self-financing）交易策略略最后具有有和一个证证券相同的的损益，那那么这个证证券的价格格等于自融融资交易策策略的成本本。这称为为动态套期期保值策略略（dynamichedgingstrategy）。确定状态下下无套利定定价原理的的应用案例1：假设两个零零息票债券券A和B，，两者都是是在1年后后的同一天天支付100元的面面值。如果果A的当前前价格为98元。另另外，假设设不考虑交交易成本。。问题：（1）B的的价格应该该为多少呢呢？（2）如果B的市场价格格只有97.5元，问如何何套利呢？？应用同损益益同价格原原理：B的价格也也为98元元如果B的市市场价格只只有97.5元，卖卖空A，买买进B案例2：假设当前市市场的零息息票债券的的价格为：：①1年后后到期的零零息票债券券的价格为为98元；；②2年后后到期的零零息票债券券的价格为为96元；；③3年后后到期的零零息票债券券的价格为为93元；；另外，假设设不考虑交交易成本。。问题题：：（1））息息票票率率为为10％％，，1年年支支付付1次次利利息息的的三三年年后后到到期期的的债债券券的的价价格格为为多多少少呢呢？？（2）如如果果息息票票率率为为10％，，1年支支付付1次利利息息的的三三年年后后到到期期的的债债券券价价格格为为120元，，如如何何套套利利呢呢？？看未未来来损损益益图图：：1年年末末2年年末末3年年末末1010110静态态组组合合复复制制策策略略（1））购购买买0.1张张的的1年年后后到到期期的的零零息息票票债债券券，，其其损损益益刚刚好好为为100××0.1＝＝10元元；；（2））购购买买0.1张张的的2年年后后到到期期的的零零息息票票债债券券，，其其损损益益刚刚好好为为100××0.1＝＝10元元；；（3））购购买买1.1张张的的3年年后后到到期期的的零零息息票票债债券券，，其其损损益益刚刚好好为为100××1.1＝＝110元元；；根据据无无套套利利定定价价原原理理的的推推论论0.1××98＋＋0.1××96＋＋1.1××93＝＝121.7问题题2的的答答案案：：市场场价价格格为为120元元，，低低估估B，，则则买买进进B，，卖卖出出静静态态组组合合（1））买买进进1张张息息票票率率为为10％％，，1年年支支付付1次次利利息息的的三三年年后后到到期期的的债债券券；；（2））卖卖空空0.1张张的的1年年后后到到期期的的零零息息票票债债券券；；（3））卖卖空空0.1张张的的2年年后后到到期期的的零零息息票票债债券券；；（4）卖卖空空1.1张的的3年后后到到期期的的零零息息票票债债券券；；案例例3：：假设设从从现现在在开开始始1年年后后到到期期的的零零息息票票债债券券的的价价格格为为98元元，，从从1年年后后开开始始，，在在2年年后后到到期期的的零零息息票票债债券券的的价价格格也也为为98元元（（1年年后后的的价价格格））。。另另外外，，假假设设不不考考虑虑交交易易成成本本。。问题题：：（1））从从现现在在开开始始2年年后后到到期期的的零零息息票票债债券券的的价价格格为为多多少少呢呢？？（2）如如果果现现在在开开始始2年后后到到期期的的零零息息票票债债券券价价格格为为99元，，如如何何套套利利呢呢？？(1)从从现现在在开开始始1年年后后到到期期的的债债券券Z0××1第1年年末末支付付:100价格格:98(2)1年年后后开开始始2年年后后到到期期的的债债券券Z1××2第2年年末末支付付:100价格格:98(3)从从现现在在开开始始2年年后后到到期期的的债债券券Z0××2第2年年末末支付付:100价格格:？？动态态组组合合复复制制策策略略：：（1））先先在在当当前前购购买买0.98份份的的债债券券Z0××1；（2））在在第第1年年末末0.98份份债债券券Z0××1到期期，，获获得得0.98××100＝＝98元元；；（3）在在第第1年末末再再用用获获得得的的98元去去购购买买1份债债券券Z1×2；自融融资资策策略略的的现现金金流流表表交易策略现金流当前第1年末第2年末(1)购买0.98份Z0×1-98×0.98=-96.040.98×100=98

(2)在第1年末购买1份Z1×2

-98100合计：-96.040100这个个自自融融资资交交易易策策略略的的损损益益：：就是是在在第第2年年末末获获得得本本金金100元元，，这这等等同同于于一一个个现现在在开开始始2年年后后到到期期的的零零息息票票债债券券的的损损益益。。这个个自自融融资资交交易易策策略略的的成成本本为为：：98×0.98＝96.04如果果市市价价为为99元元，，如如何何套套利利构造造的的套套利利策策略略如如下下：：（1））卖卖空空1份份Z0××2债券券，，获获得得99元元，，所所承承担担的的义义务务是是在在2年年后后支支付付100元元；；（2））在在获获得得的的99元元中中取取出出96.04元元，，购购买买0.98份份Z0×1；（3）购购买的1年期零零息票债债券到期期，在第第一年末末获得98元；；（4）再再在第1年末用用获得的的98元元购买1份第2年末到到期的1年期零零息票债债券；（5）在第2年末，零零息票债债券到期期获得100元，用于于支付步步骤（1）卖空的的100元；交易策略现金流当前第1年末第2年末(1)卖空1份Z0×299

-100(2)购买0.98份Z0×1-0.98×98=-96.040.98×100=98

(3)在第1年末购买1份Z1×2

-98100合计：99-96.04=2.9600不确定状状态下的的无套利利定价原原理的应应用不确定状状态：资产的未未来损益益不确定定假设市场场在未来来某一时时刻存在在有限种种状态在每一种种状态下下资产的的未来损损益已知知但未来时时刻到底底发生哪哪一种状状态不知知道案例4：：假设有一一风险证证券A，，当前的的市场价价格为100元元1年后的的市场出出现两种种可能的的状态：：状态1和状态态2。状态1时时，A的的未来损损益为105元元，状态态2时，，95元元。有一证券券B，它它在1年年后的未未来损益益也是：：状态1时105元，，状态2时95元。另外，假假设不考考虑交易易成本。。问题：（1）B的合理理价格为为多少呢呢？（2）如果B的价格为为99元，如何何套利？？答案：（1）B的合理理价格也也为100元；；（2）如如果B为为99元元，价值值被低估估，则买买进B，，卖空A案例5：：假设有一一风险证证券A，，当前的的市场价价格为100元元1年后的的市场出出现两种种可能的的状态：：状态1和状态态2。状态1时时，A的的未来损损益为105元元，状态态2时，，95元元。有一证券券B，它它在1年年后的未未来损益益也是：：状态1时120元，状态态2时110元。另外，假假设不考考虑交易易成本，，资金借借贷也不不需要成成本。问题：（1）B的合理理价格为为多少呢呢？（2）如果B的价格为为110元，如何何套利？？证券未来来损益图图10010595风险证券券APB120110风险证券券B111资金借贷贷静态组合合策略：：要求x份的的证券A和y份的的资金借借贷构成成B解得：X=1,y=15所以：B的价格格为：1*100+15*1=115第二个问问题：当B为110元元时，如如何构造造套利组组合呢？？套利组合合：买进B，卖空A，借入资资金15元。

期初时刻的现金流期末时刻的现金流第一种状态第二种状态(1)买进B-110120110(2)卖空A100-105-95(3)借入资金15元15-15-15合计500案例6：：假设有一一风险证证券A，，当前的的市场价价格为100元元1年后的的市场出出现三种可能的的状态：：状态1、2和和3。状态1、、2和3时，A的未来来损益分分别为110.25，，99.75，，90.25元元。有一证券券B，它它在1年年后的未未来损益益也是：：状态1、2和和3时，，分别为为125，112.5和109元元。另外，假假设不考考虑交易易成本，，资金借借贷的年年利率为为5.06％，，半年利利率为2.5％％。问题：：（1））B的的合理理价格格为多多少呢呢？（2）如果果B的价格格为110元，如如何套套利？？证券未未来损损益图图100110.2599.75风险证证券A风险证证券B资金借借贷90.25PB125112.510911.05061.05061.0506构造静静态组组合：：x份份A和和y份份资金金借贷贷构成成B方程无无解！！动态组组合复复制动态：：我们把把1年的持持有期期拆成成两个个半年年，这这样在在半年年后就就可调调整组组合假设证证券A在半年年后的的损益益为两两种状状态，，分别别为105元和95元证券B的半半年后后的损损益不不知道道110.2599.75风险证证券A风险证证券B90.2510010595PBB1B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025构造如如下的的组合合：（1）1份的证证券A；（2）持有有现金金13.56。在半年年后进进行组组合调调整(1)证券券A的损益益为105时：再买进进0.19份的证证券A，需要要现金金19.95元（0.19×105＝19.95）持有的的现金金13.56，加上上利息息变为为：13.56×1.025＝13.90。半年后后的组组合变变为：：1.19份证券券A现金－－6.05（（13.90––19.95）在1年后此此组合合损益益状态态为：：(2)证券A的损益为95时：卖出0.632份的证券A，得到0.632×95＝60.04元持有的现金金13.56，加上利息息变为：13.56×1.025＝13.90半年后的组组合变为：：0.368份证券A现金73.94（13.90＋60.04＝73.94）在1年后此组合合损益状态态为：110.2599.7590.2510010595原始组合：：(1)持有有1份A(2)持有有现金13.56操作：卖出出0.632份A组合为：(1)持有有0.368份A(2)持有有现金73.94操作：买进进0.19份A组合为：(1)持有有1.19份A(2)持有有现金-6.05组合的支付付为：125112.5109半年后的组组合调整是是如何得到到呢？动态策略调调整方法：：多期的静态态复制策略略从后往前应应用静态复复制策略110.2599.75风险证券A风险证券B90.2510010595PBB1B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（1）证券在中中期价格为为105时：解得：x=1.19，y＝－5.90此时B的价价格为：B1＝1.19×105－5.90×1.025＝118.90110.2599.75风险证券A风险证券B90.2510010595PB118.90B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（2）证券在中中期价格为为95时：解得：x=0.368，y＝72.14此时B的价价格为：B2＝0.368×95＋72.14×1.025＝108.90110.2599.75风险证券A风险证券B90.2510010595PB118.90108.90125112.51091.05061.05061.050611.0251.025解得：x＝1，y＝13.56B的当前价价格为：B＝1×100＋13.56×1＝113.56无套利定价价原理的简简单总结无套利定价价原理就是是金融学，，金融工程程的核心思思想“同损益同同价格”实实际上就是是“一价定定理”静态和动态态组合复制制策略则是是用于给衍衍生产品定定价的基本本思想如果市场存存在摩擦（（交易成本本）时，只只能给出一一个定价区区间。在这这个定价区区间内，市市场无法实实现套利。。第三部分什么是套利利什么是无套套利定价原原理无套利定价价原理的基基本理论Arrow-Debreu模模型1、市场环环境2、套利组组合的定义义3、无套利利组合等价价定理4、完全市市场与不完完全市场1、市场环境境假设市场中有N个证券，s1,s2,s3,…,sN两个投资时时刻，0和和1时刻第i种证券在初初始0时刻的价格格为pi，则N种证券的价价格向量为为：P=(p1,p2,…,pN)T市场在未来来1时刻有M种可能状态态，第i种证券在第第j种状态下的的损益为Dij，则这些证证券的损益益矩阵为：：D＝（dij），i=1～N，j=1～M假设损益矩矩阵D的值对于投投资者是已已知的，但但是投资者者无法提前前知道在1时刻这些证证券处于M种状态中的的哪一种状状态证券组合用用向量θ表示：θ=(θ1,θ2,…,θN)θi表示持有的的第i种证券的数数量，多头头时，θi>0；空头时，，θi<0时。假设市场是是无摩擦的的，即不考考虑交易费费用，税收收等证券组合θ在初始0时刻的价格格则为：这个组合在在第j种状状态下的损损益则为：：2、套利组合合的定义一个证券组组合θ定义为套利利组合，如如果它满足足：或者：3、无套利利组合等价价定理定理1：市场不存在在套利组合合的等价条条件是：存在一个正正向量，，使得，即状态价格无套利组合合等价定理理的含义：：如果市场不不存在套利利组合，则则资产的当当前价格与与未来损益益之间要满满足一定的的条件。这这个条件是是要存在一一个对应于于M个状态的向向量，一般般称之为状状态价格（（state-prices）。基础资产假设市场另外外存在M种资产，sN+1,sN+2,…,sN+M。这M种资产的未来来损益为，只只在一种状态态下为1，其余状态下下都是零。即即对于资产sN+j，它的未来损损益只是在第第j种状态为1，其余状态为为0。这M种资产就构成成了“基础资资产”，由它它们生成的组组合的未来损损益可以表示示任意一种资资产的未来损损益。基础资产的价价格假设M个基础资产的的价格分别为为：u1，u2，…,uM根据无套利定定价原理，任任何一种未来来损益为(d1,d2,…,dM)的资产价格格应该为：按照定理1的的表述，u1，u2，…,uM就是满足定理理1条件的正正向量所以，我们称称为状状态价格，即即每种状态下单单位未来损益益的资产价格格。风险中性概率率把状态价格归归一化，即让让M个分量的和变变为1：问题：状态价价格的分量和和表表示什什么呢？就是未来损益益都是1的资资产的价格未来损益都是是1，即是无无风险债券的的价格定理1的式子子可重新写成成：通常把归一化化后的状态价价格称称为风险中性性概率或风险险调整调整概概率，它指的的是经过投资资者风险调整整的每一种状状态可能发生生的概率推论如果市场不存存在套利组合合，而且假设设无风险借贷贷的利率为r，则存在一个个概率测度使使得任意一个个资产的价格格等于其未来来可能损益（（现金流）的的期望值以无无风险借贷利利率贴现的贴贴现值。问题：风险中性概率率与实际中各各个状态发生生的概率之间间有什么关系系呢？记为未来来第j种状态态发生的概率率，即统计意意义上的概率率。就反映了投资资者对不同状状态的风险偏偏好程度。如果对于所有有的j＝1～M，，，即：：则称市场是风风险中性的。。3、完全市场场与不完全市市场完全市场的定定义：一个具有N种资产，M种损益状态的的市场，如果果对于任意一一个未来损益益向量d=（d1,d2,…,dM），都存在一一个N种资产的组合合(θ1,θ2,…,θN)，其未来损益益等于（d1,d2,…,dM），则我们称称市场是完全全的。定理2：在市场不存在在套利组合的的假设下，市市场是完全的的充要条件是是只有唯一的的一组状态价价格满足定理理1中的式子子，即状态价价格唯一或者者风险中性概概率唯一。Arrow-Debreu模型的应应用1、两状态模模型2、三状态模模型两状态模型市场的未来损损益只有两种种状态，M＝2只存在两种资资产，一种是是无风险借贷贷，其借贷利利率为r另一种是资产产s，当前的价格格为p。假设资产s在未来的损益益为：状态1时为pu＝p×u，状态2时为pd＝p×d，其中u和d表示价格变化化的倍数，假假设u>d。问题：市场不不存在套利组组合的条件？？比如：资产s，当前前价格为100，未来两两种损益分别别为：110，95。投投资周期为1年，当前年年利率为5％％。问题：存在套套利组合吗？？如何套利？根据定理1：：即：求解可得：方程求解可得得：即任意一个资资产，其未来来损益为：在在1状态时d1，在2状态时d2，都可由资产产s和无风险借贷贷的组合复制制，而且其价价格v为：比如，有一基于资产s的金融产品，，其未来损益益为：d1＝pu－k，d2＝0可解得其价格格为：三状态模型假设市场有三三种状态，但但仅有两种资资产，无风险险借贷，其利利率为r；另外一种资资产s，价格为p，其在未来损损益为：状态态1时，损益为pu（即为原价格格的u倍）；状态2时为pm，状态3时为pd，假设d<m<u。市场不存在套套利组合的条条件求解可得：根据定理2，，这个方程的的解不唯一实际上是一条条直线第一个端点第二个端点：：如果，，则则为：如果，，则则为：9、静夜四无无邻，荒居居旧业贫。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黄叶树树，灯下白头头人。。01:21:4701:21:4701:211/6/20231:21:47AM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。1月月-2301:21:4701:21Jan-2306-Jan-2312、故人江海海别，几度度隔山川。。。01:21:4801:21:4801:21Friday,January6,202313、乍见见翻疑疑梦，，相悲悲各问问年。。。1月-231月-2301:21:4801:21:48January6,202314、他乡生白发发，旧国见青青山。。06一月20231:21:48上午01:21:481月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。一月231:21上午午1月-2301:21January6,202316、行动出成果果，工作出财财富。。2023/1/61:21:4801:21:4806January202317、做前，，能够环环视四周周；做时时，你只只能或者者最好沿沿着以脚脚为起点点的射线线向前。。。1:21:48上午午1:21上午午01:21:481月-239、没有失败败，只有暂暂时停止成成功！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事情情努力了未未必有结果果，但是不不努力却什什么改变也也没有。。。01:21:4801:21:4801:211/6/20231:21:48AM11、成功功就是是日复复一日日那一一点点点小小小努力力的积积累。。。1月-2301:21:4801:21Jan-2306-Jan-2312、世间成成事，不不求其绝绝对圆满满，留一一份不足足，可得得无限完完美。。。01:21:4801:21:4801:21Friday,January6,202313、不不知知香香积积寺寺，，数数里里