2022-2023学年苏教版必修第一册 3.3.2 第2课时　一元二次不等式的综合问题 学案

第2课时一元二次不等式的综合问题学习目标1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.了解•元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题.一、简单的分式不等式问题-7>0与(x—3)(x+2)X)等价吗？—^0与(x—3)(x+2)20等价吗？人丁乙XiZ提示泊>0与。-3)。+2)>0等价；&20与3-3)(x+2)20不等价，前者的解集中没有-2,后者的解集中有一2.例I解下列不等式：1-X、Q际2；X—1仔罚「解(1)原不等式可化为。+1)(方-1)<0,故原不等式的解集为卜x-1(2)原不等式可化为三不五0,1人I(l1)(3x+5)WO,3x+5#0,(l1)(3x+5)WO,3x+5#0,即-故原不等式的解集为卜|一/aWlx—1(3)原不等式可化为F-l>0,人I4..X-]一(x+2).X-]一(x+2)x+2力,言0,.X-]一(x+2)x+2力,言0,故原不等式的解集为｛,很<一2).所以〃=-3。，c=2。且a>0.不等式:；.二<。等价于3+h)(cx+«)<0,即(l3)(2i+1)v0,所以一卜<3..在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：s甲=0.1工+0.01r,s乙=0.051+0.005F.则这次事故的主要责任方为.答案乙车解析由题意列出不等式s甲=0.Lt+0.01f>12,s乙=0.053+0.005/>10.分别求解,得x甲V—40或x甲>30,%乙v一50或x乙>40.由于a>0,从而得x甲>30km/h,x乙>40km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任.工拓广探究.在R上定义运算4*6=3+1)仇若存在使不等式(加一x)*(〃?+x)v4成立，则实数〃?的取值范围为.答案(-3,2)解析•・•存在xW[l,2],使不等式(加一])*(〃?+x)v4成立，・•・存在x£[l,2],使不等式(m—x+l)X(〃?+x)v4成立，工存在[1,2],使不等式x2—x+4>〃产+〃?成立，VxG[l,2],函数y=f—x+4的最大值为22—2+4=6.:.6>m2+〃?，:.—3<m<2.16.汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报瞥距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法(如图所示)将报警时间划分为4段，分别为准备时间小人的反应时间外、系统反应时间以制动时间外相应的距离分别为4),小,小，内,当车速为。(米/秒)，且0WvW33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数上随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.54ZW0.9).报警距离报警距离报警距离:一-危险距离报警距离:一-危险距离T阶段0推备I.人的反应2.系统反应3.制动时间to力=0.8秒/2=。.2秒h距离面=20米d\di必=捻米(I)请写出报警距离d(米)与车速。(米/秒)之间的函数关系式；并求攵=0.9时，若汽车达到报警距离，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/时？解(1)根据题意，得d=do+di+d2+d3=20+0.8o+0.2r+诋=20+。+诋，所以所求函数关系式为1=20+。+为，0WoW33.3.ZAjK当*=0.9时,4=§+1+品旃=3+的+12部毛+1=*/秒)，当且仅当"=360,即。时等号成立，所以汽车撞上固定障碍物的最短时间是当叵秒.(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则路况最糟糕时也需满足，即&=0.5时，J=20+p+,nvn,<80,ZU入U.J即l(h7—600<0,解得()W°<20.20米/秒=72千米/时，所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/时.

反思感悟分式不等式的解法（1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零.（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.跟踪训练1解下列不等式：x+I、5x4-1(旧2⑵干<3.解（解（1）不等式苧1力0可转化成不等式组•XD(a+1)(a—3)>0,.#3.解这个不等式组，可得入W—1或Q3.即知原不等式的解集为{4iW—l或x>3}.▼A-A-1.5x+1.5x+1(2)不等式［7<3可改写为i卜।—3<0,2d)

2d)

x+1<0.可将这个不等式转化成2（尤一1）。+1）<0,解得一1<x<1.所以原不等式的解集为二、简单的一元二次不等式恒成立问题例2对£R,不等式1<0,求m的取值范围.解若机=0,显然一1<0恒成立；m<0t若〃?wo,若〃?wo,/="P+4〃?vO今解得一4v〃7<0.综上，的取值范围为{m|—4<m的0}.延伸探究在本例中，是否存在〃i£R,使得不等式"优一1>0,若存在，求〃7的取值范围：若不存在，说明理由.解显然/”=0时不等式不成立；由题意可得由题意可得由题意可得心0,由题意可得心0,/="户+4用<0,解得机£0,所以不存在使得V*£R,不等式"小—〃?%—]>o反思感悟一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与X轴的交点问题，考虑X2的系数和对应方程的判别式的符号这两个方面.(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值.跟踪训练2若关于x的不等式(4—l)f+(&-l)x—1<0恒成立，则实数k的取值范围是答案｛用一34W1｝k—1<0,解析当攵=1时，-1<0恒成立；当时，由题意得、八(it—l)2+4(Ar—1)<0,解得一3<A<1,因此实数k的取值范围为｛M—3CW1).三、一元二次不等式的实际应用例3某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(乂称征税率为10个百分点)，计划可收购。万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低M.r>0)个百分点，预测收购量可增加2v个百分点.(1)写出降税后税收六万元)与x的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%,试确定工的取值范围.解(1)降低税率后的税率为(10—幻％,农产品的收购量为。(1+21%)万担，收购总金额为200〃(1+2x%)万元.依题意得y=200。(1+2a-%)(10-x)%=坊(100+2x)(10-x)((X.v<l0).(2)原计划税收为200ax10%=20〃(万元).依题意得需4(100+2v)(10-x)>20。X83.2%,JU化简得/+40X一84・0,解得一42WxW2.又因为04V10,所以(KiW2.即x的取值范围为｛x[0<xW2｝.反思感悟利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；(2)由题目中绐出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)：(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案.

跟踪训练3某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满.该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房口租金每增加10元，客房出租数就会减少1间.每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于18007E,该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？解设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金梃高到(80+10#元，则客房出租数减少工间，此时客房的租金总收入为(80+1。。(20—工)元.因为每天客房的租金总收入不低于1800元，所以(80+10x)(20—x)》1800.化简，得炉一l"+20W0.解得2Wx《10,所以20Wl(lrW100.又由题意可知80+10xW130,所以10xW50.因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是2()〜50元.-课堂小结-.知识清单：(1)简单的分式不等式的解法.(2)一元二次不等式的恒成立问题.(3)一元二次不等式在现实生活中的应用..方法归纳：等价变形转化、恒等变形..常见误区：(1)解分式不等式的等价变形.(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义.随堂演练.不等式=20的解集为()1Xa.(-1,1]b.r-ij)C.[-1,1]D.(-M)答案B解析原不等式解析原不等式O解析原不等式O解析原不等式O(x+1)(x—l)W0,L1W0,1..不等式中25的解集是答案卜-解析原不等式合r4-14»—I,一一5200里」WOOx(4x—l)W0,解析原不等式合r4-14»—I,一一5200里」WOOx(4x—l)W0,ibo,解得F答案。>4或4<—4解析•・・炉+纨+4<0的解集不是空集，即不等式/+or+4Vo有解，•••/=标一4义1义4>0,解得。>4或。<一4.4.某商品在最近30天内的价格》与时间/(单位：天)的关系式是9=T+10((X/W30,f£N)；销售量”与时间/的关系式是”=一/+35(()<430,/£N),则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的取值范围为.答案｛/|10WrW15,r€N)解析z="+10)(一什35),依题意有0+10)(—，+35)2500,解得I0W/WI5,，£N,所以解集为｛巾0W/W15,£N).课时对点练n基础巩固.不等式FW0的解集是()人I1{小<一1或一14W2}{川一1〈kW2}{小〈一1或x22}{x\~\<x^2]答案D解析此不等式等价于解析此不等式等价于解析此不等式等价于(x-2)(.r+l)W0,x+lWO,解析此不等式等价于(x-2)(.r+l)W0,x+lWO,:.—lvW2..不等式分1》1的解集是()4人3-43-4A-l3-4A-l3-4XITOC\o"1-5"\h\z3-4A-l3-4XICax4>2时用D/x1玉答案B解析不等式”21,移项得"一120,2~x2~x

为化可O,w3-42为化可O,w3-42X-X即为化可O,w3-42X-为化可O,w3-42X-X即x—2W0,3.若关于大的不等式ar-^o的解集为｝,则关于工的不等式空用＞0的解集为（A.3.A.A.{x\x>\A.{x\x>\或A<—2}B.{x\\<x<2]B.C.[x[x>2或A<—1}D.{x|-l<v<2}C.答案C解析x=l为ax—b=0的根,6=0,即a=b,*.*ax—h>0的解集为{x[x>1},«>0,心+力X—2心+力X—2抬+1)

x~2>0,等价为。+1）。-2）＞0..'.x＞2或4v—1..关于x的不等式区2—6日+A+8W0的解集为空集，则实数A的取值范围是（）A.OWkvlB.04W1C.心＞1或k〈0D.kWO答案A解析由题意得不等式丘2-6日+2+8W0的解集为空集，则当々=0时，8W0不成立，因此，2=0满足题意.当2#当2#。时，必有，Q0,4=3622—软优+8)<0,B.-ID.2解得B.-ID.2综上得OWkvl,所以实数攵的取值范围是0WN1..（多选）若对任意a+2],不等式/一2x—3W0恒成立，则实数。的值可能为（）A.-2C2

答案BC解析不等式x2—2丫一3W0的解集是[-1,3].因为对任意工£①，a+2],不等式f-2r-3W0恒成立,所以［a,。+2隹［-1,3］,所以心一1,a+2W3,解得所以心一1,a+2W3,所以实数。的值可能为一1,.(多选)为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为丫的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出8升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%,则V的可能取值为()A.5B.20C.35D.50答案BCV-io解析第一次操作后，剩下的纯药液为V—10,第二次操作后，剩下的纯药液为V-10-—X8,因为第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%,所以V-10—^X8^VX60%,解得5WPW40,又V210,所以V的取值范围为[10,4()]..不等式一彳》一】的解集是.X-I答案{小W0或Q1}解析—10't+1200/72。X—IX—1X-Ix(x—1)20,今x—1W0,，不等式的解集是{x|xW0或x>l}..某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增X%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是.答案20解析由已知，3860+500+[500(1+.v%)+500(I+j%)2]X227000,化简得Cv%)2+3・x%—0.6420,解得3％20.2,或—3.2(舍去),所以4220,即x的最小值为20.

.已知关于X的不等式x2—2x—l>a(a£R).(1)若。=1,求不等式x2—2a—的解集：(2)若不等式炉一2x—的解集为R，求实数。的取值范围.解(1)当4=1时，不等式X2-2%—1>〃，即X2—2x—1>1,可得。一1尸一3>0,即(工一1一小)(工一1+小)>0,解得工<1一小或A>1+小.即不等式的解集为(-8,1一小)u(i+，5,+°°).(2)因为不等式x2-2.x-\>a的解集为R,所以f—2r—1—〃>0恒成立，则函数丁=/-2x—1一〃的图象恒在x轴上方，与x轴无交点，从而一元二次方程/—2%—1一。=0无实数根，・・・/=22—4X(-1—4<0,解得a<—2.即实数。的取值范围为(一8,-2).10.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<rvl),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6.r,已知年利润=(出厂价一投入成本)X年销售量.(|)写出本年度预计的年利润)，与投入成本增加的比例％的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解(1)由题意得y=[12(1+0