2022年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市中考数学试卷

第15页（共15页）2022年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市中考数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）5的相反数是（A）A．﹣5 B．﹣ C．5 D．2．（3分）如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（B）A．B． C． D．3．（3分）下列运算正确的是（B）A．（a2）4＝a6 B．a2•a4＝a6 C．a2+a4＝a6 D．a2÷a4＝a64．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（D）A．B． C． D．5．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的销售量如下表所示：尺码/cm2222.52323.52424.525销售量/双12511731所售30双女鞋尺码的众数是（C）A．25cm B．24cm C．23.5cm D．23cm6．（3分）下列一元二次方程无实数根的是（C）A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+x+5＝0 D．x2﹣2x+1＝07．（3分）甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，将每次命中的环数绘制成如图所示统计图．根据统计图得出的结论正确的是（A）A．甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定 B．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数 C．甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数 D．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数8．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（D）A．k1•k2＜0 B．k1+k2＜0 C．b1﹣b2＜0 D．b1•b2＜09．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（C）A． B． C． D．10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（A）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，b＜0．∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴①的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴9a﹣3×2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），∵a＜0，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．∵＞0＞﹣1，∴y1＞y2．∴③的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线一定经过点（1，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，∴④的结论正确；∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），∴﹣3k+c＝0，∴c＝3k．∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣3a，∴k＝﹣a．∴函数y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（2a+a）x＝ax2+3ax＝a+，∵a＜0，∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的结论不正确．综上，结论正确的有：①④，故选：A．二、填空题（本题共8小题，共小题3分，共24分）11．（3分）2022年北京冬奥会全冰面速滑馆的冰面面积约为12000平方米，为亚洲最大，将数据12000用科学记数法表示为1.2×104．12．（3分）分解因式：ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）．13．（3分）反比例函数y＝的图象经过点A（1，3），则k的值是3．14．（3分）质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：抽检产品数n1001502002503005001000合格产品数m89134179226271451904合格率0.8900.8930.8950.9040.9030.9020.904在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）0.9．15．（3分）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A（3，2），B（5，2），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标是（﹣1，2），则点B的对应点D的坐标是（1，2）．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是18°．17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AC＝＝＝2，当∠APQ＝90°时，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，∴△CAP∽△BAC，∴，即，∴AP＝3，当∠AQP＝90°时，如图2，∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DPEC是矩形，∴CQ＝QP，∵∠AQP＝90°，∴AQ垂直平分CP，∴AP＝AC＝2，综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2，故答案为：3或2．18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是5﹣5．【解答】解：∵将△ABE沿BE翻折得到△FBE，∴BF＝BA＝10，∴点F在以B为圆心，10为半径的圆上运动，∴当点G、F、B三点共线时，GF最小，连接EG，设AE＝x，由勾股定理得，BG＝5，∵S梯形ABGD＝S△EDG+S△ABE+S△EBG，∴（5+10）×10＝++，解得x＝5﹣5，∴AE＝5﹣5，故答案为：5﹣5．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19．（10分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝4．解：原式＝[+]•＝•＝，当a＝4时，原式＝＝2．20．（12分）根据防疫需求，某市向全体市民发出“防疫有我”的志愿者招募令，并设置了5个岗位：A．防疫宣传；B．协助核酸采样；C．物资配送；D．环境消杀；E．心理服务，众多热心人士积极报名，但每个报名者只能从中选择一个岗位．光明社区统计了本社区志愿者的报名情况，并将统计结果绘制成如下统计图表．光明社区志愿者报名情况统计表岗位频数（人）频率A600.15Ba0.25C1600.40D600.15E20c合计b1.00根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）b＝400，c＝0.05；（2）补全条形统计图；（3）光明社区约有4000人，请你估计该市市区60万人口中有多少人报名当志愿者？（4）光明社区从报名“心理服务”岗位的20人中筛选出4名志愿者，这4人中有2人是一级心理咨询师，2人是二级心理咨询师，现从4人中随机选取2人负责心理服务热线，请用列表或画树状图的方法求所选2人恰好都是一级心理咨询师的概率．【解答】解：（1）统计的志愿者总人数为：60÷0.15＝400，∴b＝400，c＝20÷400＝0.05，故答案为：400，0.05；（2）a＝400×0.25＝100，补全的条形统计图如图所示；（3）60×＝6（万人），答：估计该市市区60万人口中有6万人报名当志愿者；（4）设一级心理咨询师用A表示，二级心理咨询师用B表示，树状图如下所示：由上可得，一共有12种可能性，其中所选2人恰好都是一级心理咨询师有2种可能性，∴所选2人恰好都是一级心理咨询师的概率为＝．四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21．（12分）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？【解答】解：（1）设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台A型收割机平均每天收割小麦（x+2）公顷，依题意得：＝，解得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，∴x+2＝3+2＝5．答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．（2）设安排m台A型收割机，则安排（12﹣m）台B型收割机，依题意得：5m+3（12﹣m）≥50，解得：m≥7．答：至少要安排7台A型收割机．22．（12分）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414）【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，由题意得：∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，在Rt△ABD中，AB＝100海里，∴AD＝AB•cos50°≈100×0.643＝64.3（海里），BD＝AB•sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），在Rt△BDC中，CD＝＝76.6（海里），∴AC＝AD+CD＝64.3+76.6≈141（海里），∴此时货轮与A港口的距离约为141海里．五、解答题（满分12分）23．（12分）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：，解得：，故y与x的函数关系式为y＝﹣20x+500；（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，∵y＝﹣20x+500，∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）＝﹣20x2+760x﹣6500＝﹣20（x﹣19）2+720，∵﹣20＜0，∴当x＜19时，w随x的增大而增大，∵13≤x≤18，∴当x＝18时，w有最大值，最大值为700，∴售价定为18元/件时，每天最大利润为700元．六、解答题（满分12分）24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若sin∠BAC＝，CE＝6，求OF的长．【解答】（1）证明：连接OE，∵四边形ODEF是平行四边形，∴EF∥OD，EF＝OD，∵OA＝OD，∴EF∥OA，EF＝OA，∴四边形AOEF是平行四边形，∴OE∥AC，∴∠OEB＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠OEB＝90°，∴OE⊥BC，∵OE是⊙O的半径，∴BC与⊙O相切；（2）解：过点F作FH⊥OA于点H，∵四边形AOEF是平行四边形，∴EF∥OA，∴∠CFE＝∠CAB，∴sin∠CFE＝sin∠CAB＝，在Rt△CEF中，∠ACB＝90°，∵CE＝6，sin∠CFE＝，∴EF＝，∵四边形AOEF是平行四边形，且OA＝OE，∴▱AOEF是菱形，∴AF＝AO＝EF＝10，在Rt△AFH中，∠AHF＝90°，∵AF＝10，sin∠CAB＝，∴FH＝AF，∵AH2＝AF2﹣FH2，∴AH＝，∴OH＝AO﹣AH＝10﹣8＝2，在Rt△OFH中，∠FHO＝90°，∵OF2＝OH2+FH2，∴OF＝，∴OF＝2．七、解答题（满分12分）25．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD（AD不与AC重合），旋转角记为α，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC．（1）如图①，当α＝20°时，∠AEB的度数是45°；（2）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：BD+2CE＝AE；（3）当0°＜α＜180°，AE＝2CE时，请直接写出的值．【解答】（1）解：∵线段AB绕点A逆时针旋转α至AD，α＝20°，∴∠BAD＝20°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝×（180°﹣20°）＝80°，又∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝70°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝35°，∴∠AEB＝∠ADB﹣∠DAE＝80°﹣35°＝45°，故答案为：45°；（2）证明：延长DB到F，使BF＝CE，连接AF，∵AB＝AC，AD＝AB，∴AD＝AC，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE，又∵AE＝AE，∴△ADE≌△ACE（SAS），∴∠DEA＝∠CEA，∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ADE+∠ADB＝180°，∴∠ACE+∠ABD＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠BEC＝360°﹣（∠ACE+∠ABD）﹣∠BAC＝360°﹣180°﹣90°＝90°，∵∠DEA＝∠CEA，∴∠DEA＝∠CEA＝90°＝45°，∵∠ABF+∠ABD＝180°，∠ACE+∠ABD＝180°，∴∠ABF＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CE，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴AF＝AE，∠AFB＝∠AEC＝45°，∴∠FAE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△AFE中，∠FAE＝90°，∵cos∠AEF＝，∴EF＝，∵EF＝BF+BD+DE＝CE+BD+CE＝BD+2CE，∴BD+2CE＝AE；（3）解：如图3，当0°＜α＜90°时，由（2）可知BD+2CE＝AE，CE＝DE，∵AE＝2CE，∴BD+2DE＝2DE，∴＝2；如图4，当90°＜α＜180°时，在BD上截取BF＝DE，连接AF，方法同（2）可证△ADE≌△ACE（SAS），∴DE＝CE，∵AB＝AC＝AD，∴∠ABF＝∠ADE，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，又∵∠DAE＝∠CAE，∴∠BAF＝∠CAE，∴∠EAF＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF＝AE，∴BD＝BF+DE+EF＝2DE+AE，∵AE＝2CE＝2DE，∴BD＝2DE+2DE，∴+2．综上所述，的值为2+2或2﹣2．八、解答题（满分14分）26．（14分）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点