2022年浙江省台州市中考数学试卷

第13页（共13页）2022年浙江省台州市中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）计算﹣2×（﹣3）的结果是（A）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣52．（4分）如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（A）A． B． C． D．3．（4分）无理数的大小在（B）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间4．（4分）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（C）A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°5．（4分）下列运算正确的是（A）A．a2•a3＝a5 B．（a2）3＝a8 C．（a2b）3＝a2b3 D．a6÷a3＝a26．（4分）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为（40，a），则飞机D的坐标为（B）A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）7．（4分）从A，B两个品种的西瓜中随机各取7个，它们的质量分布折线图如图．下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是（D）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差8．（4分）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校．设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（C）A． B． C． D．9．（4分）如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（D）A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC10．（4分）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（B）A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m2二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．12．（5分）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）掷一次，朝上一面点数是1的概率为．13．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为10．14．（5分）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为8cm2．15．（5分）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是5．先化简，再求值：+1，其中x＝★．解：原式＝•（x﹣4）+（x﹣4）…①＝3﹣x+x﹣4＝﹣116．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为3；当点M的位置变化时，DF长的最大值为6﹣3．【解析】如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠C＝60°，∴△ADB，△BDC都是等边三角形，当点M与B重合时，EF是等边△ADB的高，EF＝AD•sin60°＝6×＝3．如图2中，连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AF的中点R，连接OR．∵AD∥CG，OK⊥AD，∴OK⊥CG，∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，∴四边形AGTK是矩形，∴AG＝TK＝AB•sin60°＝3，∵OA＝OM，∠AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，∴△AOK≌△MOT（AAS），∴OK＝OT＝，∵OK⊥AD，∴OR≥OK＝，∵∠AOF＝90°，AR＝RF，∴AF＝2OR≥3，∴AF的最小值为3，∴DF的最大值为6﹣3．解法二：如图，过点D作DT⊥CB于点T．∵DF＝AD﹣AF，∴当AF最小时，DF的值最大，∵AF＝FM≥DT＝3，∴AF的最小值为3，∴DF的最大值为6﹣3．故答案为：3，6﹣3．三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）计算：+|﹣5|﹣22．【解答】解：+|﹣5|﹣22＝3+5﹣4＝8﹣4＝4．18．（8分）解方程组：．【解答】解：，②﹣①得：y＝1，把y＝1代入①得：x＝2，∴原方程组的解为．19．（8分）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝3m，∠BAC＝75°，sin∠BAC＝sin75°＝≈0.97，解得BC≈2.9．答：梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．20．（8分）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．（1）求y关于x的函数解析式．（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．【解答】解：（1）由题意设：y＝，把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，∴y关于x的函数解析式为：y＝；（2）把y＝3代入y＝，得，x＝4，∴小孔到蜡烛的距离为4cm．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD．（1）求证：BD＝CD．（2）若⊙O与AC相切，求∠B的度数．（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E．（不写作法，保留作图痕迹）【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD；（2）解：∵⊙O与AC相切，AB为直径，∴BA⊥AC，∵AB＝AC，∴△BAC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°；（3）解：如图，作∠ABC的角平分线交于点E，则点E即是劣弧的中点．22．（12分）某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：小时）的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成下表．学生目前每周劳动时间统计表每周劳动时间x（小时）0.5≤x＜1.51.5≤x＜2.52.5≤x＜3.53.5≤x＜4.54.5≤x＜5.5组中值12345人数（人）2130191812（1）画扇形图描述数据时，1.5≤x＜2.5这组数据对应的扇形圆心角是多少度？（2）估计该校学生目前每周劳动时间的平均数．（3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量说明其合理性．【解答】解：（1）×100%＝30%，360°×30%＝108°；（2）＝＝2.7（小时），答：由样本估计总体可知，该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时．（3）（以下两种方案选一即可）①从平均数看，标准可以定为3小时，理由：平均数为2.7小时，说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时，把标准定为3小时，至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标，同时至少还有51%的学生未达标，这样使多数学生有更高的努力目标．②从中位数的范围或频数看，标准可以定位2小时，理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数在1.5≤x＜2.5范围内，把标准定为2小时，至少有49%的学生目前能达标，同时至少有21%的学生未达标，这样有利于学生建立达标的信心，促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性．23．（12分）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在正方形ABCD各边上分别取点B1，C1，D1，A1，使AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1；再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2，C2，D2，A2，使A1B2＝B1C2＝C1D2＝D1A2＝A1B1，依次连接它们，得到四边形A2B2C2D2；……如此继续下去，得到四条螺旋折线．（1）求证：四边形A1B1C1D1是正方形．（2）求的值．（3）请研究螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，∵AB1＝BC1＝CD1＝DA1＝AB，∴AA1＝BB1＝AB，在△A1AB1和△B1BC1中，，∴△A1AB1≌△B1BC1（SAS），∴A1B1＝B1C1，∠AB1A1＝∠BC1B1，∵∠BB1C1+∠BC1B1＝90°，∴∠AB1A1+∠BB1C1＝90°，∴∠A1B1C1＝90°，同理可证：B1C1＝C1D1＝D1A1，∴四边形A1B1C1D1是正方形．（2）解：设AB＝5a，则AB1＝4a，AA1＝a，由勾股定理得：A1B1＝a，∴＝＝；（3）相邻线段的比为或．证明如下：∵BB1＝AB，B1B2＝A1B1，∴＝＝，同理可得：＝，∴相邻线段的比为或（答案不唯一）．24．（14分）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．【解答】解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，设y＝a（x﹣2）2+2，又∵抛物线过点（0，1.5），∴1.5＝4a+2，∴a＝﹣，∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），∴喷出水的最大射程OC为6m；②∵对称轴为直线x＝2，∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，∴点B的坐标为（2，0）；③∵EF＝0.5，∴点F的纵坐标为0.5，∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，解得x＝2±2，∵x＞0，∴x＝2+2，当x＞2时，y随x的增大而减小，∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，则x≤2+2，∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，∵DE＝3，灌溉车