电路分析-第一章集总中电压、电流约束关系

1-1-1-1-

1 §1 一、电路：若干个电气设备或电子器件按照一定的方式开 导2集当实际电路的尺寸使用时其最高工作频率所对应的波长时，可以用“集数元件”来构成实际部、器件的模型。每一种元件只反映电容元件：只电能的元件；电感元件：只磁能3电流源)。3件”来构成实际部、器件的模型。 最高工作频率所对应的波件”来构成实际部、器件的模型。例如，无线电调 ，若所接收的信号频率为100MHz，对应波长λ＝c/f=3m，连接接收天线与之间的传输线即便只有1m又如，我国电力用电频率为50Hz，对应的波长为6×106m，4不考虑电路中电场与磁场的相互作不考虑电磁波 现象当电路的当电路的尺寸大于最高频率所对应的波长或两集总电路：由电阻、电容、电集总电路：由电阻、电容、电感等元件组成的电5三、电路模型 由集总(理想)元件构成的电路叫电模型，我们所研究的是电路模型而不是实际开灯导 开灯导61、一个电路的模型及参数与该器件的工作条件有 3、电路模型只是对实际物理过程的一种近似描述。7§12i(t)dqi(t)dq8大小和方向均不随时间变化的电流，称为恒定电流，简称为直流(dc或一般用符号I表示

直流符号i表示。时变电流在某一时刻t的值i(t)大小和方向随时间作周期性变化且平均值为零的时变电流，称为交流电流，简称为交流(ac或AC) 交流 电流的参考电流电流的参考方向：预先假定的方向，用箭头表示，称正方向根据所设参考方向进行计如果求出i>0，则真实方向与参考方向如果求出i<0，则真实方向与参考方向算得结果的正负配合参考方向就可确定真实方向，但不到b当规定电流参考方向由a点指向点时，该流i=，如图)所示；若规定电流参考方向由b点指向a点时，则电流i=2A，如图(b所示。若采 下标表示电流参考方向iai。电荷在电路中移动，就会有能量的交换发生定义：单位正电荷由a点移动到b能量能量，即a,b两点之间的电能量，单位为焦耳单位为伏特u(t)a点转移到b点的电荷量单位为库仑转移时电荷dq获得或失去+表+表示高电位，－表示低电位当取电压的参考极性与真实极性一致：“正值+”当取电压的参考极性与真实极性相反：“负值-”表示方法：①箭头→uab0，则真实极性与参考极性一致。uab0，则真实极性与参考极性相反。恒恒定电压：大小和极性不随时间改交变电压：大小和极性随时间作周期性改关联参考方向：电流参考方向与电压参考“+”极到“-”极一致，即电流与电压降参考方向一致。关联参考方 dq，且由a到为电压降u，则dq失去能量，也就是这段电路吸收能这段电路吸收的能量：功率为吸收能量的速p(t)dwui(t)关联参考方p(t)u(t)i(t)非关联参考方p(tp(t0吸收（消耗）功率；p(t0提供（产生）功率例1-2：图中电流均为2A，均由a流向b，已知u1=1V，u2=－1V，求两元件功率p(t)。若b图中元件提供功率吸收功 吸收功 i=-吸收功 吸收功 i=-

pt=-ui=-(-1)i=-部分国际单位制的单位，称为SI单位在实际应用中感到这些SI单位太大或太小时，可以加1mA1mA11035μs51062kW2103§1 定定律是任何 数电路都适用夫电流定律描述电路中各电流的约束关系，基尔基本定律，它包括电流定律和电压定律。基尔霍夫电流定律描述电路中各电流的约束关系，基尔二 1.支路1.支路(branch)：任何一个二端元件称为一条支路。其电aabc 二 电流定律(Kirchhoff’scurrent 对于任一集总电路中的任一节点，在任一时刻，流（或流进）该节点的所有支路电流的代数和为K其数学表达式iktKk式中，ikt为流出(或流进)节点的第k条支路的电流，K为节点处路数KCL是电荷守恒法则运用于集总电路的例1-3：对下图所示电路中的a、b、c、d4个节点写出KCLi1i2i4i6i5i6i3i4i5i1i2i3流出节点的电流的总和等于流入这个节点的电流拓展KCL也适用于电路中任一假设的闭合面。流出（或流入）封闭面电流的代数i1+i2+i3= 例1-4：求图示电路中的各未知电流。已知i2=－1A，i6=4Ai3=－3A=i4，i3的真实方向与参考方向i5=2A，i5的真实方向与参考方向解后总结1KCL的一个重要应用是：根据电路中已知的某些支路电流，求出另一些支路电流2在列写KC方程时，应先标出所有电流的参考方向，已知电流的参考这些参考方向为准。注意两套符号括号前的符号取决于参考方向相对于节点的关系。设流出为正，流为负，是列方程出现的符号括号里的符号正的相同，负的相反。求出的值无论正负， 参考方向改成真实方向其数学表达式uk其数学表达式uktkukt为该回路中的第k条支路电压，K为该回路中Kw1w2w3w4w5w6p1p2p3p4p5p6pdw1, dw212p1 u22u1i1u2i2u3i3u4i1u5i3u6i1p3

KCL：i2i1{ p4u4i4pp4u4i4p5u5i5代入 (u1u4u6u2)i1(u2u3u5)i3uuu

uu

u1u4u1u4u6u5u30元件、、、8例1-5：如图表示一复杂电路中的一个回路。已知解：设u5的参考极性如图，从uab=-u3uab=-u3-u4+u5+u6=-3V-(-7V+-5V+2V例1-6：求图示电路中的u1u2,u3uu3-(6)-u2+u3-KVL解题中需要注意的 通常约定：在列写回路KVL方程时，其电压参考方向与回路绕行方向相同的支路电压取正号，与绕行方向相反的支 §l 电阻元 数电路(模型)由电路元件连接而成。电路元件是 一种理想元件，它们(a)二端元 (b)三端元 (c)四端元

在物理课中学过的遵从欧姆定律的电阻，是一种最常用的线性电阻元件(简称电阻)。随着电子技术的发展和电如果一个二端元件在任一时刻的电压u与其电流i的关(1f(u,i)这条曲线称为电阻的特性曲线。它表明了电阻电压与电流间的约束系CuntRlationh称为。从曲线上可以看，在任一时刻，电阻的电压（或电流）是由同一时刻的电流（或电压）决定的。表示电阻的电压（或电流）不能“ ”电流（或电压）在“历史”起过的作—无 性质。其特性曲线为通过坐标原点直线的电阻，称为线性电阻；其特性曲线随时间变化的电阻，称为时变电阻；否则称线性时不变电c)非线性时不变电

线性时变电d)非线性时变电 线性时不变电阻的电压电流关系由欧姆定律描述，其u(t)Ri(t)i(t)/u(t)Ri(t)i(t)/式中RSI单位为欧[姆GSI单位为西[门子(a)开路的电压电流关系曲 (b)短路的电压电流关系曲线其电压无论为何值，电流恒等于零的二端电阻，称为开路。的特性曲线与u轴重合，是R=∞或G=0的特殊情况[图(a)]其电流无论为何值，电压恒等于零的二端电阻，称为短路。短的特性曲线与i轴重合，是R=0或G=∞的特殊情况[图(b)] p(p(t)Ri(t)Gp(t)u2Ru2R则p(t0,算得的结果为电阻消耗的功

i2R 负电阻, p(t)0,元件对外电路提供功且仅当其吸收的能量w(t)满如果元件在所 及所且仅当其吸收的能量w(t)满tw(t)t

则此元件称为无源元件，即无源元件从不向外电路提供能 I=0,R=∞，电流很小，电阻很大。电路中的耗能器件或装置有电流流动时，会不断消耗能量，电路中必须有提供能量的器件或§1 电压电路中的耗能器件或装置有电流流动时，会不断消耗能量，电路中必须有提供能量的器件或直流稳压电源和直流稳流电源等。常用的交流电装置——电源，作为电路的输入，也叫激励。常用的直流电源有干电池、蓄电池、直流发电机、直流稳压电源和直流稳流电源等。常用的交流电源有电力系统提供的正弦交流电源、交流稳压电源和产生多种波形的各种信号发生器等。为了得到各种实际电源的电路模型，定义两种理想的电电压源（理想）：其两端总能保持一定的电压而不论流过电压源的符号如图所示，图中“+”，“-”号表示电压(a)直流电压源(b)一般电压源的符电压源的两个基本性质与流过的电流无关。进一与流过的电流无关。进一步说，即使电流为0，端压仍为us或时间的函电压源的电压是由它本身确定的，与电流无关，接受能量是一种有源元件§§1-电流源（理想）：提供出定值的电流Is或一定时间函数电流源有两个基本性输出定值的电流is或一定时间函数的电流is(t)，与端电压 us2=14V，uab=5V，R1=2，R2=3，求iuuab=R1i+us1+R2i-iaU=-aU=- 求功率 左右左右电3.电流源，电压源均为有源元解：任何两点间的电压与计算时所选择的路径无关。 520 ubc

uoc2010

102 251i1

15

分别对节点a、b、c2 2

303

i1is1i4

is1 cd

i2is2i1

is24 4

3

i3is3i2

is3

i4

i3

is4验证结果：o点KCL方is1is2is3is40.23.34.21.1 §1 受控源(非独立源有些电路不能只用电阻和电压/流源构成模型，例如放大电 放大 一、受控源：受电路中其他支路电压或电流控制的电压受控支路，或用一个受控表明该支路的电压受控制，或用一个受控“电流源”二、受控源的种类(线性受控源

u1 (1 (电)流控(制)电压 r具有电阻量纲，称为转移电阻

i1 (1 (电)压控(制)电流 g具有电导量纲，称为转移(电)流控(制)电流

u11 1

无量纲，称为转移电流i1

(1(电)压控(制)电压 亦无量纲亦无量纲，称为转移电压当受控源的控制系数r、g、和为常量时，为支路），不变受控源，并采用菱形符号来表示受控源（支路），u u2R R1 1

u

一族对应于不同控制 对于控制回路（输入回路），p1u1i10,对于被控制回路（输出回路），对于控制回路（输入回路），p1u1i10,可由受控支路来计

p(t)u1(t)i1(t)u2(t)i2 u2(t)i2控制支路或开路（控制支路或开路（i1=0），或短路独立 受控源（非独立源是电路的输入或激励，它为电路提供按给定时间函数变化的电压和电流，从而在电路中二端元

四端耦合例1-10：VCVS连接于信号电压源us与负载电阻RL之间，KVL:µu控制支路:输出电压和输入电压成正比，µ>1时，uo>us，线性放大器。 p=µu1iL=µu1(-u0/RL)=-(µu1)2/RLba解：ba解：对由1V电压源、2Ω电阻和2V电由KVL：12I20Ic为求出各元件功率，需求出各支路电和电压为求出各元件功率，需求出各支路电和电压各元件功1V电压 PI1u1I2I对节点b，由KCL：I1II2Ω电 PIuba1Ω电 PIuba对节点a，由KCLI22II12.5ubaI22I受控电流 P2Iuac2V电压 PI2u2 解：列方程时暂时把受控源看作独对节点a，由KCL

u10i4i 6对由受控电流源、1Ω电阻和2Ω电阻构成的网由KVL有代入求出

ui4 u02i流经受控源的电

4i16例1-13i1思路思路：暂时把受控源看作独立（1）流过左边2Ω电阻的电流i=3A，可求u1，则受控电压源两端电压2.4u1（即a、b两端电压）可知（2）6Ω电阻两端电压为2.4u1，求出i2，则受控电流源的电流可（3）对节点a列KCL方程，求出b二二、找出控制量和受控量的关系，代入方程求§1 分压电路和分流参考节点电压为零，又称为“参考节点电压为零，又称为“零点”或“零电位点”。通常节点电压毋需标示参考极性，参考点被认为是节点电压的“-”端。的电压降叫该点的节点电压（电位）。由于参考点是任意选择的，所以电位是一个相对若c点为参考点，节点a的节点电压即为节点a至参考点c的电ius1us

64R1 uauacR1ius220.545Vubus24VuabuaubucudR2i20.5ubcubuc若若d点接地(参考点i0.5uaus1ubus2R2i420.5 ucR2i20.51Vuduabuaub651Vubcubuc51

参考点选的不同，各点电位不同，但两点之间电源不用图形符号表示，而改为只标出其极性和分压电分流电 电阻的串特点1：在串联电路中，各元件特点1：在串联电路中，各元件流过的电流相同R1iR1R2n令RR1nRk

uu1Ruu22Ru112 kknu特点2令令ii1G1uG1G2GG1GGkkn特点2：并联电阻电路有分流功特点1：各并联元件两端的电压相分流公式的一分流公式的一般形 kGkni

G1G2

i2

G1

k 21ii2 R2R1iR1

R RR1R1R2R3R解：将两个电位用两个电压源电位器滑动端移到最下端时，Va

12V

24V12V1k10k10k10kV1kV1k10ka24V12V12V-10V到+10V间连续变化 例1-16：已知,如图，求： 10

i 1ii 1020(A)119463a R

205103RR300150V120103解：设电路中各节点电流参考方向如图 i2iubus26R73062.6 i4对节点a，由KCL

uab 由 uabua求 ua对对节点c，由KCL323由求ubcubuc一、两类约§1一、两类约 数电路（模型）由电路元件连接而成，电路中各节点电流受到KCL约束，各支路电压受到KVL约束，这两种约束只与电路元件的连接方 数电路（模型）的电压和电流还要受到元件特性（例如欧姆定律u=Ri）的约束，这类约束只与元件的VCR有关，与元件连接方式无关，称任何 数电路的电压和电流都必须同时满根据电路的结构和参数，列出反映这两类约束关系根据电路的结构和参数，列出反映这两类约束关系的KCL、KVL和VCR方程（称为电路方程）二、2b

：：

i1i5i6i1i2i3i2i4i6i5i3i4

对n个节点的电路，可以证明：独立的KCL方程只有n-1个31211：uu u5u4u2u11352：uu 2433：uu u5u3u2u6uuuu3461126u5u4u6共12设电路的节点数为n，则独立的KCL（n-1）个，且为任意的（n-1）①该电路有[b-(n-1)]个网(3)综上，由KCL及KVL可以得到的独立方程(3)综上，由KCL及KVL可以得到的独立方程 对于具有b条支路n个节点的连通电路，可以列出线性((n－1)个KCL(b-n+1)个KVL2b得到以b个支路电压和b个支路电流为变量的电路方程电路的基本依据。求解2b方程可以得到电路的全部支路电(简称为2b方程)。这电路的基本依据。求解2b方程可以得到电路的全部支路电例l-20：图示电路中，已知uS1=2V,uS3=10V,uS6=4V,R2=3,解：根据电压源的VCR得u1uS1u3uS3

KVLuu2uS1uS32V10Vu4uS3uS610V4Vu5uS2uS612V4V

12V4A

6V3A

8V2A

2根据KCL求得电压源

i1i2i54A2A6Ai3i1i46A3A9Ai6i4i53A2A5A例1-21图示电路中，已知iS2=8A,iS4=1A,iS5=3A,R1=2R3=3和R6=6。试用观察法求各支路电流和支路电压。 3A

解：根据电流源的VCR得i2iS2i4iS4i5iS5i1i2i58A3A

5A1A根据KCL求得各电阻支电流分别为根据欧姆定律求出各电路电压分别为根据KVL求得各电流源支电压分别为

i6i5i43A1A2Au1R1i125A10Vu3R3i336A18Vu2u3u118V10Vu2u3u118V10Vu4u6u312V18Vu5u1u410V--6V 解：注意到电流i1=3A和电流源支路电流出，根据节点①的KCL求得i4i1i3 2A

i

用欧姆定律和KVL求得电流12V121A50V63A i2i1i2i1i53A4Ai6i4i51A4AKCL分别求得用KVL求得电流源电u121A36V4(3A)62A24V i1i1i5is1i1i2i3i2i4is16个方程，6R2i2R4i4R3i3R1i1R2i2u65u1i5

is1u1 u2u4

is1u1u3us10u2u4u30u1u2u60(1)标定各支路电(2)选定任意的(n–1)个节点，列写其KCL方程；支路电流法是最基本的方法，在方程数目不多流：i1、流：i1、i2和i3。此时只需列出一个i1i2i3KVL14142i13i23i228i3ii1=3A,i2=-2A和i3=1A+++--

i1i3iS1i2i3iS2i1G1u1i2 i3得到以u得到以u1、u2、u3为变量的KCLG1u1G3u3iS1G2u2G3u3iS2++--u1u2u3例1-25：用支路电流作为求解变量，列写求解KCLKCLi1i