《正态分布》同步练习 全省一等奖

《正态分布》同步练习一、填空题1．若P(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(（x－1）2,2)(x∈R)，则下列判断正确的是________．①有最大值，也有最小值；②有最大值，无最小值；③无最大值，有最小值；④无最大值，也无最小值．【解析】这是当μ＝1，σ＝1时的正态分布密度函数，所以其在x＝1时取得最大值，无最小值．【答案】②2．如图2－6－3所示的是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3按从小到大的顺序排列是________．图2－6－3【解析】图象越陡峭的，概率分布越集中，σ越小，故σ1<σ2<σ3.【答案】σ1<σ2<σ33．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________．【解析】由对称性，P(X≤μ)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4．已知随机变量X～N，，则X落在区间，中的概率是________．【解析】P<X<＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＝.【答案】5．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为，则ξ在(0，2)内取值的概率为________．【解析】由对称性知，P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝，∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝.【答案】6．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝，则P(ξ≥11)＝________．【解析】由P(9≤ξ≤11)＝且正态曲线以x＝μ＝10为对称轴知，P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝，即P(10≤ξ≤11)＝，又P(ξ≥10)＝，∴P(ξ≥11)＝－＝.【答案】7．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，eq\f(1,2))，则该随机变量的方差等于________．【解析】∵最高点为(10，eq\f(1,2))，∴eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,2)，∴σ2＝eq\f(2,π)，即V(X)＝eq\f(2,π).【答案】eq\f(2,π)8．(2022·山东潍坊检测)某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩X服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的人数所占的百分比约为________．【解析】根据正态分布参数的意义，可知正态密度曲线关于直线x＝90对称，由60分以下的人数占10%可知120分以上的人数占10%，所以60分至120分之间的人数占80%，故90分至120分之间的人数占40%.【答案】40%二、解答题9．若随机变量ξ～N(0，1)，查标准正态分布表，求：(1)P(ξ≤；(2)P(ξ>；(3)P(ξ<－；(4)P(|ξ|<．【解】(1)P(ξ≤＝5；(2)P(ξ>＝1－P(ξ≤＝1－6＝4；(3)P(ξ<－＝P(ξ>＝1－P(ξ≤＝1－5＝5；(4)P(|ξ|＜＝P(－<ξ<＝P(ξ<－P(ξ≤－＝2P(ξ<－1＝2×2－1＝4.10．一建桥工地所需要的钢筋的长度服从正态分布，其中μ＝8，σ＝.质检员在检查一大批钢筋的质量时发现有的钢筋长度不到7m．这时，他应该让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋，还是让钢筋工停止加工，检查钢筋切割机？【解】设这批钢筋的长度为Xm，则X～N(8，，所以钢筋长度在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内，即在区间，内的概率为，而质检员在检查时发现有的钢筋长度不到7m，即出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为钢筋切割机出现了问题，应停工检查．11．若某省2022年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500，1002)，现有考生75000名，计划招生30000名，试估计录取分数线．【解】设录取分数线为μ，则分数超过μ的概率为录取率．即P(ξ≥μ)＝eq\f(30000,750000)＝.∵ξ～N(500，1002)，∴P(ξ≥μ)＝P(eq\f(ξ－500,100)≥eq\f(μ－500,100))＝1－P(eq\f(ξ－500,100)<eq\f(μ－500,100))