《空间向量及其运算》题型分析

《空间向量及其运算》题型分析题型一共线和共面向量【例1】设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点，求证：M、N、P、Q四点共面.【证明】因为＝eq\f(1,2)，＝eq\f(1,2)，所以＝2，＝2，又＝eq\f(1,2)(＋)，＝λ＝2λ，＝ω＝2ω，所以＝eq\f(1,2)(2λ＋2ω)＝λ＋ω，所以、、共面，即M、N、P、Q四点共面.【点拨】可以利用共面向量定理或其推论完成证明.用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行，更简捷，使问题简单化.【变式训练1】如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A、B、N、M四点共面.【证明】设＝a，＝b，＝c，则＝b－a.因为M是DD1的中点，所以＝c－eq\f(1,2)a.因为AN∶NC＝2，所以＝eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)(b＋c)，所以＝－＝eq\f(2,3)(b＋c)－a＝eq\f(2,3)(b－a)＋eq\f(2,3)(c－eq\f(1,2)a)＝eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)，所以A、B、M、N四点共面.题型二利用向量计算长度和证明垂直【例2】已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥平面A1BD.【解析】(1)设＝a，＝b，＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)，a²＝b²＝c²＝1.而＝a＋b＋c，所以||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋2×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,2)＝6，即||＝eq\r(6).(2)证明：因为＝a－c，所以·＝(a＋b＋c)·(a－c)＝a2－c2＋a·b－b·c＝1－1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0.所以⊥.同理可得⊥.所以AC1⊥平面A1BD.【点拨】利用|a|2＝a2是计算长度的有效方法之一；而利用向量数量积为零是证明垂直问题的常用方法之一.【变式训练2】已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与AB，AD的夹角都是120°.求AC1的长.【解析】||2＝2＝(＋＋)2＝eq\x\to(AB)2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋b2＋0＋2abcos120°＋2abcos120°＝2a2＋b2－2ab.所以|AC1|＝eq\r(2a2＋b2－2ab).题型三利用坐标求法向量和证明垂直问题【例3】正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别是BB1，CD的中点.(1)求证：D1F⊥平面ADE；(2)求平面ADE的一个法向量.【解析】(1)建立如图所示的直角坐标系D－xyz，则D1(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，F(0，eq\f(1,2)，0)，E(1,1，eq\f(1,2)).所以＝(0，eq\f(1,2)，－1)，＝(－1,0,0)，＝(0,1，eq\f(1,2))，因为·＝0，所以⊥，又·＝0，所以⊥，所以D1F⊥平面ADE.(2)由(1)知D1F⊥平面ADE，故平面ADE的一个法向量为＝(0，eq\f(1,2)，－1).【点拨】空间向量坐标化，大大降低了立体几何试题的难度，同学们需要善于利用.【变式训练3】已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列各点中，在平面α内的是()(2,3,3) (－2,0,1)(－4,4,0) (3，－3,4)【解析】由于n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，所以它应该和平面α内任意一个向量垂直，只有在选项A中，＝(2,3,3)－(1，－1,2)＝(1,4,1)，·n＝0.故选A.题型四利用坐标法求解线面及面面位置关系【例4】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.(1)证明：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，不妨设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0，0,2).设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则所以2x1＝0,2x1＋2y1＋z1＝0.令y1＝1，得n1＝(0,1，－2).同理可得平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1).因为n1·n2＝0，所以平面AED⊥平面A1FD1.(2)由于点M在直线AE上，所以可设＝λ＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，可得M(2,2λ，λ)，于是＝(0,2λ，λ－2).A1M⊥平面DAE，则A1M⊥AE，所以·＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0，得λ＝eq\f(2,5).故当AM＝eq\f(2,5)AE时，A1M⊥平面DAE.【变式训练4】已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，求平面ABC的单位法向量.【解析】设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，且n·＝0，即2x＋2y＋z＝0且4x＋5y＋3z＝0，解得所以n＝z(eq\f(1,2)，－1,1)，单位法向量n0＝eq\f(n,|n|)＝±(eq\f(1,3)，－eq\f(2,3)，eq\f(2,3)).总结提高1.利用共线向量定理，可解决立体几何中三点共线和两直线平行等问题.2.利用共面向量定理，可解决立体几何中直线在平面内，直线与平面平行以及四点共面等问题.3.同时要重视空间向量基本定理的运用，要注意空间向量基底的选取，用基向量表示出已知条件和所需解决问题的所有向量，将几何问题转化为向量问题.4.用空间向量处理某些立体几何问题时，除要有应用空间向量的意识外，关键是根据空间图形的特点建立