解析几何-柱面、旋转曲面与二次曲面

观察柱面的形成过程:定义4.1.1

平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.柱面母线准线柱面定义平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线.设柱面的准线为母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线上一点，则过点M1的母线方程为且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0(3)从（2）（3）中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的柱面的方程。柱面举例抛物柱面平面从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面母线//轴双曲柱面母线//轴抛物柱面母线//轴

只含yx,而缺z的方程0),(=yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.1.椭圆柱面xyzO2.双曲柱面例1、柱面的准线方程为而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。例2、已知圆柱面的轴为点（1,-2,1)在此圆柱面上，求这个柱面的方程。（2）母线平行于坐标轴的柱面方程

І、F(x,y)=0准线C:xOy

平面上的曲线F(x,y)=0母线L与z轴平行；Ⅱ、G(x,z)=0准线C:xOz

平面上的曲线G(x,z)=0母线L与y轴平行；Ⅲ、H(y,z)=0准线C:yOz

平面上的曲线H(y,z)=0母线L与x轴平行.例如抛物柱面

y-x2=0C:xOy平面上的抛物线

y-x2=0L:平行于z轴圆柱面

x2+z2=1C:xOz平面上的圆

x2+z2=1L:平行于y轴oxyzoxyz空间曲线在坐标面上的投影

1、概念C：空间曲线投影柱面S：以C为准线，母线平行于坐标轴的柱面。投影C’：投影柱面与投影坐标面的交线。oxyzCS

2、求解步骤

空间曲线C的一般方程

(1)投影柱面方程(2)投影曲线方程例

已知两球面的方程为

求它们的交线C在xOy面上的投影方程．解消去变量z，得投影柱面方程于是投影方程为

例

设一个立体由上半球面与锥面所围成，求它在xOy面上的投影．解半球面与锥面的交线C:消去变量，得投影柱面方程投影曲线方程所求立体在xOy面上的投影就是该圆在xOy面上所围成的区域

旋转曲面一、.旋转曲面1、定义:以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫旋转曲面的轴.曲线C称为放置曲面的母线oC纬线经线二、旋转曲面的方程在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：旋转直线为：其中P0(x0,y0,z0)为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴L的方向数。设M1(x1,y1,z1)为母线C上的任意点，则M1的纬圆总可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中心，|P0M1|为半径的球面的交线。所以过M1的纬圆的方程为：当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆，这些纬圆就生成旋转曲面。又由于M1在母线上，所以又有：从（3）（4）的四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到一个三元方程：F(x,y,z)=0这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程。例1、求直线绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。解：设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过M1的纬圆方程是：又由于M1在母线上，所以又有：即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。下面特殊的旋转曲面曲线CCy

zo绕

z轴曲线

CxCy

zo绕z轴.曲线

C旋转一周得旋转曲面

SCSMNzPy

zo绕

z轴.f(y1,z1)=0M(x,y,z).xS曲线C旋转一周得旋转曲面SxCSMNzP.绕z轴..f(y1,z1)=0M(x,y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=0.y

zoS三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：

已知yoz面上一条曲线C,方程为f(y,z)=0,曲线C绕z

轴旋转一周就得一个旋转曲面.设M1(0,y1`,z1)是C上任意一点,则有f(y1,z1)=0当C绕z轴旋转而M1随之转到M(x,y,z)时,有将z1=z,代入方程f(y1,z1)=0,

得旋转曲面的方程:即规律：

当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。解

圆锥面方程例2:求直线z=ay绕z轴旋转所得的旋转曲面方程.zxyz=ay解:将y用代入直线方程,得平方得:z2=a2(x2+y2)该旋转曲面叫做圆锥面,其顶点在原点.例3

将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．旋转双曲面（单叶）（双叶）旋转双叶双曲面yzoxyzox

xyoz

xyoz旋转单叶双曲面例4、将圆绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。解：所求旋转曲面的方程为：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)该曲面称为圆环面。环面yxorR绕y轴旋转所成曲面5环面z绕y轴旋转所成曲面yxo.环面z绕y轴旋转所成曲面环面方程.生活中见过这个曲面吗？yxo..救生圈.环面旋转椭球面旋转抛物面（长形）（短形）旋转椭球面xyzxyz旋转抛物面xyzoxyzo第四节二次曲面二次曲面的定义：三元二次方程相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的平面截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．一、基本内容所表示的曲面称之为二次曲面．ax2+by2+cz2+dxy+exz+

fyz+gx+hy+iz+j=0截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo第四节椭球面一、性质

1.对称性

中心

：

坐标原点（1个）;主轴：

x轴、y轴和z轴（3条）;

主平面：

xOy面、yOz面和zOx面（3个）.

2.截距和顶点x=0,y=0→

z有解,

则z轴上两个顶点；

x=0,z=0→

则y轴上有两个顶点:z=0,y=0→则x轴上有两个顶点:

椭球面的方程椭球面与三个坐标面的交线：椭球面椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面和的交线也是椭圆.zoxyO2用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆当|k|c

时,|k|越大,椭圆越小;当|k|=c时,椭圆退缩成点.二.几种常见二次曲面.（一）椭球面椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆绕轴旋转而成．旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为与平面的交线为圆.球面截面上圆的方程方程可写为3类似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得椭圆:特别:当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面.椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面和的交线也是椭圆.（二）双曲面单叶双曲面（1）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的椭圆.与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.（2）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的双曲线.实轴与轴相合，虚轴与轴相合.双曲线的中心都在轴上.与平面的交线为双曲线.实轴与轴平行,虚轴与轴平行.实轴与轴平行,虚轴与轴平行.截痕为一对相交于点的直线.截痕为一对相交于点的直线.（3）用坐标面，与曲面相截均可得双曲线.单叶双曲面图形

xyoz平面的截痕是两对相交直线.一、概念在空间直角坐标系中，由方程所表示的曲面，叫做单叶双曲面,此方程叫做单叶双曲面的标准方程.方程与表示的曲面也是单叶双曲面.二、性质

1.对称性

中心

：

坐标原点（1个）;主轴：

x轴、y轴和z轴（3条）;

主平面：

xOy面、yOz面和zOx面（3个）.

2.截距和顶点x=0,y=0→

z无解,

则z轴上没有顶点；

x=0,z=0→

y=±b,

则y轴上有顶点:z=0,y=0→

x=±a,则x轴上有顶点:

（0，±b，0）（2个）；（±a，0，0）（2个）.3.主截线(1):双曲线实轴为y轴,

虚轴为z轴;:双曲线实轴为x轴,

虚轴为z轴;(2)(3):(腰椭圆）.4.平行截线无论h取何值，此方程组总表示在平面:上的椭圆，它的两半轴为：与此时椭圆的两轴端点（±，0，h）与（0，±，h）分别在两条主截线（双曲线）上，且所在平面与腰椭圆平行.结论：单叶双曲面可以看成是由一个椭圆变动其大小和位置而产生的，在变动中这个椭圆始终保持：所在平面平行于xOy面，且两轴的端点分别沿着yOz和zOx面上的主截线（双曲线）滑动。三、图形