2020高考试卷全国卷一

2020年全统一高考数学试卷（文科）（新课标口）副标题题号 -二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合4={%|%2-3%-4<0},B={-4,1,3,5},则4GB=（）A.{-4,1} B.{1,5} C.{3,5} D.{1,3}.若2=1+2i+i3，则|z|=（）A.0 B.1 C.夜 D.2.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角4.形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）C.45+14A.45-1 B.，5-14.形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）C.45+14A.45-1 B.，5-1设O为正方形ABCD的中心，在O,的概率为（）A.5 B.2D.45+12A,B,C,D中任取3点，则取到的3点共线C.12.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度%（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（壬,匕）。=1,2,…，20）得到下面的散点图：

100%100%20% 0!!!io 1.G 20 30由)温度/t由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度l的回归方程类型的是()A.y=a+bxB.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+blnx.已知圆第2+y2-6%=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.4.设函数f(%)=cos(3%+与在［-耳兀］的图象大致如图，则f(%)的最小正周期为()6A.皿 B.田 C.血.设出。％4=2，则4-a=()D.16A,工 B.1 D.16.执行如图的程序框图，则输出的九=()TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"A.17 B.19 C.21 D.23\o"CurrentDocument".设｛a｝是等比数列，且0+aO+a=1,a+q+a，=2,则a+a+a=（）vnJ 1 2 3 2 3 4 678、，\o"CurrentDocument"A.12 B.24 C.30 D.32.设工，F,是双曲线。：、2—返=1的两个焦点,0为坐标原点,点尸在。上且|OP|=2,1 2 3则△。尸产2的面积为（）\o"CurrentDocument"A.z B.3 C.5 D.22 2.已知A,B,。为球O的球面上的三个点，。。1为△4BC的外接圆.若。。1的面积为4tt,AB=BC=AC=00v则球。的表面积为（）A.647r B.487r C.36tt D.32tt二、填空题（本大题共4小题，共20・0分）2%+y—2<0>.若％,y满足约束条件｛%—y—120,则z=%+7y的最大值为.y+i>o,.设向量G=（L—1），b=（m+1,2m—4），若Gl，，则m=..曲线y=m％+l+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为..数列｛4｝满足4+2+（-l）nan=3n-1,前16项和为540,则％=.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A,5,C,。四个等级.加工业务约定：对于A级品、3级品、。级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于。级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这

种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？18.19.△4BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，口已知8=150°.18.19.(1)若a=V3c，b=2«,求△4BC的面积；(2)若s讥4+V3sinC=应，求C.2如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△4BC是底面的内接正三角形，P为DO上一点,UPC=90°.(1)证明：平面P4B1平面PAC；D(2)设DO=衣，圆锥的侧面积为V3仅求三棱锥P-D.已知函数f(%)=ex—a(x+2).(1)当a=1时，讨论f(%)的单调性；(2)若f(%)有两个零点，求a的取值范围..已知4,B分别为椭圆E：蛙+y2=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG-02禧=8.P为直线％=6上的动点，PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.22.在直角坐标系xQy中，曲线加的参数方程为x=C0S：：,（t为参数）.以坐标原点为极1 y=sin就点，％轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4pcos6-16Ps讥6+3=0.（1）当k=i时，q是什么曲线？（2）当k=4时，求q与c2的公共点的直角坐标.23.已知函数f(%)=|3%+1|-2|%-1|.(1)画出y=f(%)的图象；(2)求不等式f(%)>f(%+1)的解集.第7页，共19页答案和解析.【答案】D【解析】解：集合4={%|%2-3%-4<0}=(-1,4),B=[-4,1,3,5},则4GB={1,3},故选：D.求解一元二次不等式化简A，再由交集运算得答案.本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题..【答案】C【解析】【分析】本题考查了复数的定义以及复数模的求法，是基础题.根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可.【解答】解：z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,•••|z|=V12+12=V2.故选：C..【答案】C【解析】解：设正四棱锥的高为九底面边长为。，侧面三角形底边上的高为人%2=1ahf则依题意有：{, 2 ,、，h2=h72-(2)22因此有h,2-d)2=1。"04(a)2-2(瓦)-1=00a=&1(负值舍去)；2 2 a a a4故选：C.先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论.本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题..【答案】A【解析】【分析】本题考查了古典概型概率问题，属于基础题.根据古典概率公式即可求出.【解答】解：O，A，B，C，D中任取3点，共有或=10，其中共线为A，O，C和B，O，D两种，故取到的3点共线的概率为P=120=5，故选：A..【答案】D【解析】解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度%所对应的点(居y)在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y=a+讥几%可作为发芽率y和温度％的回归方程类型.故选：D.直接由散点图结合给出的选项得答案.本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题..【答案】B【解析】解：由圆的方程可得圆心坐标C(3,0),半径r=3；设圆心到直线的距离为力则过。(1,2)的直线与圆的相交弦长|4B|=2/7-五,当d最大时|4B|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d=£D|=V(3-1)2+(2-0)2=2V2,所以最小的弦长|4B|=2V32-(272)2=2,故选：B.由相交弦长|4B|和圆的半径r及圆心C到过。(1,2)的直线的距离d之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与CD垂直时d最大，求出d的最大值，进而求出弦长的最小值.本题考查直线与圆相交的相交弦长公式，及圆心到直线的距离的最大时的求法，属于中档题..【答案】C

【解析】【分析】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题.由图象观察可得最小正周期小于于，大于个，排除4。；再对照选项B，C求得小代入f(-41)=0计算，即可得到结论.【解答】解：由图象可得最小正周期小于兀-(-")=皿，大于2X(兀-妞)=皿，排除4,D；9 9 9 9由图象可得/■(-：)=3$(-彳3+6)=0,即为一彳3+6=上兀+：,kez,(*)若选B，即有3=言=?,由-y*?+：=上兀+1可得k不为整数，排除B；6若选C,即有3=膂=3，由-mx3+4=而+巴可得上=-1,成立.3 2 9 2 6 2故选：C..【答案】B【解析】【分析】本题考查了对数和指数的运算性质，属于基础题.直接根据对数和指数的运算性质即可求出.【解答】则10g34a=2,则4a=32=9解：因为出。034则10g34a=2,则4a=32=9故选：B..【答案】C【解析】解：九=1,S=0,不满足退出循环的条件，九=3；不满足退出循环的条件，九=5；不满足退出循环的条件，九=7；第一次执行循环体后，S=1,第二次执行循环体后，S=4不满足退出循环的条件，九=3；不满足退出循环的条件，九=5；不满足退出循环的条件，九=7；第五次执行循环体后，S=25,不满足退出循环的条件，九=11；第六次执行循环体后，S=36,不满足退出循环的条件，九=13；第七次执行循环体后，S=49,不满足退出循环的条件，九=15；第八次执行循环体后，S=64,不满足退出循环的条件，九=17；第九次执行循环体后，S=81,不满足退出循环的条件，九=19；第十次执行循环体后，S=100,不满足退出循环的条件，九=21；第十一次执行循环体后，S=121,满足退出循环的条件，故输出n值为21,故选：C.由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题..【答案】D【解析】解：｛4｝是等比数列，且4+。2+%=1,则出+。3+。4=q(4+。2+%),即q=2,•••%+%+4=q5(4+4+q)=25x1=32,故选：D.根据等比数列的性质即可求出.本题考查了等比数列的性质和通项公式，属于基础题..【答案】B【解析】解：由题意可得a=1,b=V3,c=2,••%F2|=2c=4,••|OP|=2,••|OP|=*产2|,••△。4弓为直角三角形，••明1PF2,|P%|2+|PF2|2=4c2=16,••||PF]|-|PF2||=2a=2,

|P%|2+|PF2|2-2|P4|・|PF2|=4,••|P%|・|PF2|=6,:•△%P2的面积为s=1|PF1|-|PF2|=3,故选：B.先判断△0％%为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出.本题考查了双曲线的性质，直角三角形的性质，双曲线的定义，三角形的面积，属于中档题..【答案】A【解析】解：由题意可知图形如图：。。]的面积为4兀，可得0/=2,则340]=4Bsi九60°,3/0=上48,2 1 2 1 2•4B=BC=4C=00]=2V3,外接球的半径为：R=V布2"+西2=4，球O的表面积：4X42X兀=64兀.故选：A.画出图形，利用已知条件求出0〃，然后求解球的半径，即可求解球的表面积.本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键..【答案】12%+y-2<0,【解析】解:％,y满足约束条件％-y-120,,y+1>0,不等式组表示的平面区域如图所示，2、+v-2=0由%-y-1=0，可得4(1,0)时，目标函数z=%+7y,可得y=-l%+1z,当直线yu-Lx+Zz,过点A时，在y轴上截7 7距最大，此时z取得最大值：1+7X0=1.故答案为：1.先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线街轴上的截距最大值即可.本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题..【答案】5【解析】解：向量&=(1,-1)，B=(6+1,26-4)，若G1反—则G・b=m+1—(2m-4)=-m+5=0，则加=5，故答案为：5根据向量垂直的条件可得关于m的方程，解之可得结果.本题考查了向量的垂直的条件和向量数量积的运算，属于基础题..【答案】y=2x【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的方程,考查直线方程的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.求得函数丫=仇%+%+1的导数，设切点为(科九)，可得切线的斜率，解方程可得切点,进而得到所求切线的方程.【解答】解：y=Inx+x+1的导数为y'=1+1，X设切点为(加,九)，可得k=1+\=2，解得加=1，即有切点(1,2)，则切线的方程为y-2=2(%-1)，即y=2%，故答案为：y=2%..【答案】7【解析】解：由4+2+(-1"4=3九一1，当n为奇数时，有4+2-%=3几-1，可得册-%-2=30-2)-1，・・・。3-4=3.1-1，累加可得4-4=3[1+3+…+S-2)]-止广=3,[1+(九-2)].二—n-1—(二一1)(3九一5)；2 2 4当n为偶数时，4+2+,=3n-1,可得a4+。2=5,4+%―17,42+4。=29,46+44—41.可得出+a4H +a16—92.」.a1+。3+…+45=448.•••8al+](0+8+40+96+176+280+408+560)=448,•••8al=56,即4=7.故答案为：7.在已知数列递推式中，分别取n为奇数与偶数，可得。九-。九-2=3(n-2)-1与。九+2+匕=3n-1,利用累加法得到n为奇数时匕与a的关系，求出偶数项的和，然后列式求解a「本题考查数列递推式，考查等差数列的前n项和，考查运算求解能力，是中档题.17.【答案】解：(1)由表格可得，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为40,故频率为皿=0.4,100乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为28,故频率为言=0.28,故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别是0.4,0.28；(2)由表格可知甲分厂加工四个等级的频率分别为0.4,0.2,0.2,0.2,故其平均利润为(90-25)X0.4+(50-25)X0.2+(20-25)X0.2+(-50-25)X0.2=15(元)；同理乙分厂加工四个等级的频率分别为0.28,0.17,0.34,0.21,故其平均利润为(90-20)X0.28+(50-20)X0.17+(20-20)X0.34+(-50-20)X0.21=10(元)；因为15>10,所以选择甲分厂承接更好.【解析】(1)根据表格数据得到甲乙A级品的频数分别为40,28,即可求得相应频率;(2)根据所给数据分别求出甲乙的平均利润即可.本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题.18.【答案】解：(1%4BC中，B=150°,a=V3c,b=2«,a2+c2-b2_3c2+c2-28—2ac

」.c=2,a=2V3，••・S=1acsinB=1-2V3•2・1=V3.△ABC222(2)sinA+V3sinC=V2,2即sin(180°-150°-C)+V3sinC=，，化简得1cosc+V3sinC=应，2 2 2sin(C+30°)=应，2•••0°<C<30°,:.30°<C+30°<60°,:.C+30°=45°,•••C=15°.【解析】（1）根据题意，B=150°,通过余弦定理，即可求得c=2,a=2V3,进而通过三角形面积公式S-bc=；acs讥B=1.2V3-2-1=V3.（2）通过三角形三边和为180°,将Z=180°-150°-C代入$讥2+73s讥C=V2,根据C2的范围，即可求得c=15°.本题主要考查解三角形中余弦定理的应用，结合三角恒等变换中辅助角公式的应用，属于基础题..【答案】解：（1）连接OA,OB,OC,△ZBC是底面的内接正三角形，所以ZB=BC=ZC.O是圆锥底面的圆心，所以：OZ=OB=OC,所以2。=BP=CP=OZ2+OP2=OB2+OP2=。。2+OP2,所以^ZPB34BPC34ZPC,由于/ZPC=90°.所以/ZPB=NBPC=90°所以2。1BP,CP1BP,AP,PC<=平面APC,由于ZPGCP=P,所以BP1平面APC,由于BPu平面PAB,所以：平面P4B1平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l,所以］=42+r2.由于圆锥的侧面积为V3仅所以兀-r72+r2=V3兀,整理得。2+3)02—1)=0,解得r=1.所以4B=71+1—2X1X1X(―1)=V3.2由于4P2+BP2=4B2,解得4P=732贝U：y =1X1xV3xV3xV3=76.P-48C 3 2 2 2 2 8【解析】(1)首先利用三角形的全等的应用求出4P1BP,CP1BP,进一步求出二面角的平面角为直角，进一步求出结论.(2)利用锥体的体积公式和圆锥的侧面积公式的应用及勾股定理的应用求出结果.本题考查的知识要点：面面垂直的判定和性质的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型..【答案】解：由题意，/(%)的定义域为(—叼+8),且f'(%)=e久—a.(1)当a=1时，f'(%)=e久一1,令f'(%)=0,解得％=0.•・当％G(一8,0)时，f'(%)<0,/(%)单调递减，当％G(0,+8)时，f'(%)>0,/(%)单调递增.••/■(%)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；(2)①当a<0时，f'(%)=。久一a>0恒成立，/(%)在(一8,+8)上单调递增，不合题意；②当a>0时，令f'(%)=0,解得第="a,当％G(一8"九。)时，f'(%)<0,/(%)单调递减，当％G(伍a,+8)时，f'(%)>0,/(%)单调递增.••f(%)的极小值也是最小值为f(Z几a)=a-a(Zna+2)=一。(1+仇a).又当％T-8时，f(%)T+8,当％T+8时，f(%)T+8.・•.要使f(%)有两个零点，只要f(ma)<0即可，则1+ma>0,可得a〉1.综上，若f(%)有两个零点，则a的取值范围是(2+8).

【解析】(1)当a=1时，/(%)=。久-1，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；(2)当a40时，f'(%)=e久-a>0恒成立，f(x)在(-8,+8)上单调递增，不合题意；当a>0时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得。的取值范围.本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求极值，考查利用函数零点的个数求参数的取值范围，是中档题.21.【答案】数求参数的取值范围，是中档题.21.【答案】解：(1)由题设得，4(-a,0),B(a,0),G(0,1),则％g=(a,1),GB=(a,-1),由ZZT•丽=8得a2-1=8,即a=3,所以E的方程为丝+y2=1.9(2)设ClyyJ，。(4，：^)，P(6，t)，若tW0,设直线CD的方程为％=my+几，由于直线PA的方程为丫=；(%+3)，所以兀于是有3yl(%2-3)=y2(%1+3)①.由题可知，一3〈九<3，=；(4+3)，同理可得y2=；(第2-3)，由于^i+y2=1，所以y2=一(久2+3)(久2-3)，9 2 2 9将其代入虫式，消去%2-3，可得27兀丫2=-。1+3)(%2+3)，即(27+62)兀丫2+m(n+3)(y1+y2)+(九+3)2=0②，(X=my+n联立｛丝_Le_1得，(62+9)y2+2mny+几2-9=0,+y2=1l9所以y1+y所以y1+y2=-2m■九，m2+9y?2=为2-9，m2+9代入②式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(九+3)2(m2+9)=0,解得几=；或-3(因为-3〈几<3,所以舍-3)，故直线CD的方程为％=my+2，即直线CD过定点(3,0).若t=0,则直线CD的方程为y=0,也过点(；,0).综上所述，直线CD过定点(：,0).

【解析】（1）根据椭圆的几何性质，可写出A、B和G的坐标，再结合平面向量的坐标运算列出关于。的方程，解之即可；（2）设其第了兀），D（%,y2），P（6,t），然后分两类讨论：①tW0，设直线CD的方程为%=my+九，写出直线PA和PB的方程后，消去t可得3yl（%2-3）=y2（4+3），结合琢+丫2=1，消去%2-3，可得（27+62）丫1丫2+6（九+3）（丫1+丫2）+（九+3）2=0，然后联立直线CD和椭圆的方程，消去％，写出韦达定理，并将其代入上式化简整理得关于m和n的恒等式，可解得几=；或-3（舍），从而得直线CD过定点（；,0）；②若t=0，则直线CD的方程为y=0，只需验证直线CD是否经过点（3,0）即可.本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，涉及分类讨论的思想，有一定的计