复合材料结构及其力学

复合材料结构

及其力学孟松鹤哈尔滨工业大学复合材料与结构研究所内容安排1-2：复合材料定义、分类、特点及其典型结构和应用3-4：代表性增强相、基体性能及复合材料的力学行为5-6：简单层板的宏观力学性能-1（各向异性材料的应力-应变关系，正交各向异性材料的工程常数；正交各向异性材料平面应力问题的应力-应变关系）7-8：简单层板的宏观力学性能-2（简单层板在任意方向上的应力应变关系，正交各向异性简单层板的不变量性质）内容安排9-10：简单层板的宏观力学性能-3（正交各向异性简单层板的强度问题及二向强度理论）11-12：简单层板的微观力学性能-1（刚度的材料力学分析方法）13-14：简单层板的微观力学性能-2（刚度的弹性力学分析方法）15-16：简单层板的微观力学性能-3（强度的材料力学分析方法）内容安排17-18：层合板的宏观力学性能-1（经典层合理论、层合板刚度的特殊情况）19-20：层合板的宏观力学性能-2（层合板刚度的理论和实验的比较、层合板强度）21-22：层合板的宏观力学性能-3（层间应力、层合板刚度的不变量及其在设计中的应用）23-24：层合板的弯曲、振动与屈曲行为分析内容安排25-26：复合材料制备方法及其力学特点27-28：复合材料结构设计方法29-30：复合材料结构分析与软件31-32：热防护复合材料与热结构分析33-34：复合材料结构可靠性性设计与分析方法35-36：复习要点、讨论及答疑经典层合理论层间变形一致性假设直法线不变假设第k层的应力-应变关系层与层过渡和层与层的结合方式的考虑？沿厚度方向的积分UndeformedClassicalplatetheoryFirst-orderplatetheoryThird-orderplatetheoryStackingsequencedoesnotaffectthe[A]matrix[B]=0aslongassymmetryispreserved[D]matrixmostaffectedbystackingsequenceForbalancedlaminatesA16=A26=0Generally,D16andD26areinsignificantwithrespecttoD11for>16pliesBij的存在意味着层和板在弯曲和拉伸之间的相互耦合拉力不仅引起层合板的拉伸变形，而且也使层合板扭转或弯曲层合板承受力矩作用时，也会引起中面的拉伸变形层间应力层间应力产生的原因LaminateStraindistributionStressdistribution因层合板沿厚度方向物理性质不连续导致应力的不连续层间应力产生的原因层合板是由于特性不同的单层板粘接在一起构成的在各种载荷的作用下个单层板的变形情况是不一致的，但通过粘合在一起构成了一体各自的变形，必须协调一致成为整体，达到受力平衡因此在层与层之间必然会出现变形的相互制约，这样就必然会通过层间产生相互作用是变形协调受力平衡的力，这就是层间应力协调平面剪切变形的一致和平衡时，就会出现层间剪应力协调法线变形的一致和平衡时，还会出现层间正应力层间应力产生的原因xyNxY方向的变形也要一致，上层y方向收缩的多，下层y方向收缩的少，所以上板将下板往里拉，下板将上板向外拉，出现y1（拉应力）和y2（压应力）可是板的边缘是自由边，不能在侧面提供这样的力，只能由层的间面来提供这个协调平衡的力，这就是层间应力yz层间应力各向同性材料制备的板或梁等构件，受到横向载荷作用时，将在构件的横截面内产生剪应力分析证明：当梁或板的跨度大于其高度或厚度的4-5倍以上时，截面上的剪应力对于截面内法向应力的分布影响甚小，同时这种材料的剪应力最大值远小于材料的剪切强度，因此在强度计算中可以不考虑横向剪应力的影响但对层合板，抵抗层间剪应力的能力与基体剪切强度同量级，这个值通常是很低的，有时要考虑层间应力层间应力是使层合板破坏的一个重要原因层合板是一种多层结构，当它的层间应力超过强度极限时就会导致分层破坏层合板的承载能力由于层间破坏而明显地下降，致使材料的潜力未能充分发挥层合复合材料在自由边缘附近可能产生分层，这种自由边缘可能会是板边、孔的周围或者是管状试样的两端提高层间剪切强度缝合、针刺整体编织设计…经典层合理论包含的xy值，在层合板边缘是不可能存在的经典层合理论中，不考虑层间应力z，zx，zy，而仅仅考虑层合板内的应力x，y

，xy，即假设为平面应力状态，不可能断定某些实际上使复合材料破坏的应力在层合板的自由边上(层合板边界或孔边)层间剪应力很高(甚至是奇点)，从而导致在这些区域内脱胶改变铺层叠合顺序，即使不改变每一层的方向，也要引起层合板拉伸强度的不同（在经典层合理论中，这种改变不影响拉伸刚度），层合板边界附近的层间正应力z的改变是上述强度不同的结果层间应力层间应力经典层合理论——考虑正交各向异性的对称角铺设层合板xyzzzyzxyxxy-+-+层间应力材料主方向的平面应力时的应力-应变关系为：转换为层合板轴向的应力-应变关系为：拉伸刚度为：层间应力力与应变关系为:中面应变层合板没有剪应变，但在每一层材料主方向上，除了正应变，还有剪应变=0层间应力相应于此剪应变的剪应力在层边是不存在的在自由边上xy为零，意味着作用在脱离体其他边缘上的xy所引起的力偶必定有反应，满足力矩平衡条件的反应力偶只能是由作用在与下一层接界的铺层下表面部分的xz引起的层间应力在选定区域的左侧，CLT预报由于0和90层的弹性模量和泊松比不同，存在横向正应力，而右边的自由边是不存在的，y方向的平衡只有通过层间间应力提供同样左边0和90层横向正应力产生的力矩，在左边自由边只能通过层间正应力来的得到平衡层间应力层间应力的计算不采用经典层合理论，其他层合板理论或以弹性力学的方法来计算小挠度理论有限挠度理论小应变理论有限应变理论一阶剪切变形理论Reddy型的简化高阶理论LCW型的高阶理论三维弹性理论具有非线性本构关系的板壳理论实际计算工作很大，根据层合板特殊性可以适当地简化层间应力——弹性力学解法

分析层间应力必须考虑三向应力状态，而不是平面应力状态。对正交各向异性层合板，考虑了三向应力状态材料主方向的应力-应变关系为：利用平面内的坐标变换，可得：层间应力——弹性力学解法应变-位移关系为：xyz考虑x=constant，所有应力与x无关，位移表达式可假设为：应力平衡方程可简化为：在端部X等于常数处受均匀拉伸情况层间应力——弹性力学解法这个联立的二阶偏微分方程——没有封闭解简化引入边界条件采用有限差分等近似数值解法三维有限元或准三维有限元法位移场代入几何方程-代入应力-应变关系-代入平衡方程得：层间应力——弹性力学解法高模量石墨/环氧复合材料[45/-45/-45/45]宽度b=8h（厚度）利用弹性力学三维问题计算出来的应力，当接近到自由边时，x下降，趋于零，而xz由零增加到无穷大，即在y=b处出现奇异点经典层合理论的偏差可以看作是边缘效应或边界效应，在离开边缘一个层合板厚度后，经典层合理论是正确的层间应力——弹性力学解法四层层合板，考虑上边两层从层合板中面不同距离处的层间剪应力xz沿截面厚度的分布由数值外推的应力值用虚线表示在层合板表面和中面上xz的值为零，其极大值发生在层间界面上（z/h0=1）最大值发生在自由端与层间界面的交线上并出现奇点（y=1.00b）沿层板厚度的层间剪应力分布层间应力小结有限宽的层合板是结构上常用的构件形式，测量材料基本性能的试件大多更是有限宽的，边缘效应的影响，会使测量结果出现很大的误差±300铺层的层合板，在强度试验时的破坏载荷仅仅约为计算值的一半±600铺层的层合板，在强度试验时的破坏载荷几乎与计算值相等只有层间剪切效应才能解释用试验确定材料的强度的时候，必须注意选择试件的铺层方向，使层间应力尽可能地小层间应力小结层合板的铺层顺序对层间法向应力是有影响的帕加诺和派普斯工作设想，改变叠合顺序可使层间正应力从拉伸变为压缩启发—福耶和贝克的试验发现：对±15和±45对称角铺设层合板，当±15和±45层位置颠倒时，其疲劳强度相差很大，大约25000磅/平方英寸，静强度等其他数据也定性地显示出类似差别（但是经典层合理论中拉伸应力不受叠合顺序的影响）。在实验中观察到分层，并指出逐渐分层是疲劳的破坏形式层间应力小结层合板的铺层顺序对法向应力是有影响的后一种铺层有比前者高的强度，分层的倾向性小类似可推断：[45/-45/15/-15]s将与[15/45/-45/-15]s的拉应力成镜面对称，产生压应力，强度更高层间正应力正确把握是该类层合板设计成功的关键层间应力小结一般来说±层合板仅存在剪切耦合（层间没有泊松比不协调），所以xz是惟一不为零的层间应力0/90层合板仅存在层间的泊松比不协调（无剪切耦合）所以只有yz和z是不为零的层间应力上述的组合如±1和±2组成的层合板，存在剪切耦合和层间泊松比不协调的情况，层间应力有xz，yz和z层间应力对强度和刚度的影响复合材料层间的抗拉强度、剪切强度、剪切模量、粘接强度等性能一般较低，因而出现层间正应力和剪应力时，其强度及刚度下降，导致提前破坏，其破坏模式为剪切分层或张开分层，特别是在自由边附近，由于层间应力特别大，最容易出现分层破坏不同单层和不同叠层顺序将出现不同的变形协调要求，因而也就会出现不同的层间应力和叠层变形，并导致不同叠层半的耦合效应结构设计人员应在了解层间应力的基础上改进设计方案，使层间的不良影响尽量减少，导致破坏分层情况尽量减少自由边界脱层的抑制方法层合板设计层合板设计设计——外载是已知的在构造中改变材料和尺寸以支承给定载荷分析是确定特定构造能承受的载荷设计有效层合板的关键抵抗载荷的大小和方向性中的任何一个不超过设计能力，层合板设计到恰好满足特定需要各向同性是低效的，有过剩或冗余例如正交铺层抵抗主方向1和2上的载荷对称铺层中A11、A12、D11和D12抵抗N1，A12、A22、D12、D22抵抗N2角铺设层合板得到剪切和扭转刚度…考虑的因素刚度和强度特性取决于铺层不均匀性和某种程度的不连续性层间剪切模量较低，层间剪切和层间拉伸强度甚低拉、压模量不同和拉、压强度不同几何非线性和物理非线性…层合板设计层合板刚度不变量层合板刚度不变量正交各向异性间单层板和各向异性简单层板的二维刚度不变量转换刚度不变量有助于确定单层刚度在转换到非材料主方向时是如何变化的层合板刚度不变量现将简单层板的刚度不变量的概念扩展到正交各向异性层合板XY平面内的层合板刚度可以用通用的形式给出：层合板刚度不变量概念

当所有正交各向异性层的材料都相同时，常数U可以移到积分号外面层合板刚度不变量概念我们令：层合板刚度不变量概念刚度V0(A,B,D)V1(A,B,D)V2(A,B,D)V3(A,B,D)V4(A,B,D)(A11,B11,D11)U1U20U30(A22,B22,D22)U1-U20U30(A12,B12,D12)U400-U30(A66,B66,D66)U500-U302(A16,B16,D16)00U202U32(A26,B26,D26)00U20-2U3以单层性能为函数的层合板刚度层合板刚度不变量概念由于每一层在自己的空间范围内都是均匀的简化层合板刚度不变量的特殊结果研究几种特殊情况帮助理解Vi(A,B,D)的求和数学知识：奇函数（反对称）在对称于原点的区间内积分等于零偶函数（对称）在对称于原点的区间内积分等于有限数层合板刚度不变量的特殊结果考察以下四种情况铺层角是z的奇函数铺层角是z的偶函数铺层角是z的随机函数铺层角是/N的增量，N为总层数层合板刚度不变量的特殊结果1、铺层角是z的奇函数-+z下列积分项为奇函数下列积分项为偶函数下列和值为零：下列刚度分量为零：P=2or4层合板刚度不变量的特殊结果2、铺层角是z的偶函数下列积分项为奇函数下列积分项为偶函数下列和值为零：下列刚度分量为零：-+z-层合板刚度不变量的特殊结果3、铺层角是z的随机函数z定义为单独的Vi(A,B,D)的空间平均值其中p为偶数，互换积分次序层合板刚度不变量的特殊结果3、铺层角是z的随机函数z当所有Vi（A，B，D）为零时，刚度中仅有常数项层合板是宏观各向同性，但仍然是非均匀的，应力分布是不连续的且与各向同性材料不同层合板刚度不变量的特殊结果4、铺层角是/N（有N层等厚度，N〉2）的情况-/3+/3

z/2-/4

z/4层合板刚度不变量的特殊结果Aij是各向同性的，但Bij不为零，准各向同性材料层合板刚度不变量的应用U1和U5是层合板平均刚度的基本指标对各向同性材料，它们是拉伸刚度和剪切刚度建议正交各向异性不变量U1和U5依次称为各向同性刚度和各向同性剪切刚度是复合材料层合板最小刚度能力的一个实际度量可以与其他各向同性材料或正交各向异性材料进行比较借助于各向同性刚度，可以完成层合板的优化或设计层合板的某些性质是随着铺层角的改变围绕各向同性刚度变化的层合板刚度不变量的应用硼/环氧复合材料所有曲线下面的面积都是相同的复合材料力学重点内容经典层合理论层合板的强度问题层合板的应力应变关系刚度的特殊情况层间应力强度分析方法层合板设计层合板的宏观力学性能层合板的弯曲振动与屈曲层合平板的弯曲、屈曲与振动层合平板是复合材料层合板最简单和最广泛使用的一种形式学习的目的是分析各种耦合刚度（Bij、A16、A26、D16、D26）对层合平板弯曲、屈曲和振动性能的影响，这是纤维增强复合材料力学课程的主要部分，不包括层合板理论的全部研究内容，而是研究层合平板的某些很重要结果，用以评价刚度的物理意义从层合平板的基本理论—列出层合平板的弯曲、屈曲和振动的基本微分方程和边界条件以及可能的解法—特定例子的性能（特殊材料的简支矩形板）层合平板的弯曲、屈曲与振动层合平板的尺寸作用于层合平板的力和力矩弯曲、屈曲与振动的基本方程基本限制和假设限制是理论应用的限定，是明显的满足或不满足，什么理论适用于什么问题假设是对理论不精确性的限定（一些我们不清楚或者可以忽略的）限制和假设的区别在于限制只涉及已知量，而假设包含了未知量（我们要推测的未知量）弯曲、屈曲与振动的基本方程基本限制薄板（t<1/5aorb）、小变形（w<1/4t）,无面内张力每层单层板是正交各向异性的，但材料主方向不一定与层合板坐标轴一致，材料是线弹性的，且每一层及层合板是等厚度的板的厚度与其长度和宽度相比很小，即为薄板不考虑体积力弯曲、屈曲与振动的基本方程基本假设：与层合板理论依据的假设相同，对于薄层合板有下列基本假设：作用在xy平面（板平面）内的应力支配板的性能，假设z、xz、yz为零，即近似为平面应力状态，只考虑x、y、xy

。忽略横向剪应变xz、yz,Kirchhoff假设（直法线），横向剪应变近似为零，即固有的中面法线不变形。这与z=0矛盾，但通常忽略不计，x、y、xy以及u，v是z的线性函数位移u，v和w与板厚相比较很小，应变x、y、xy与1相比很小（小挠度理论），且略去转动惯量弯曲、屈曲与振动的基本方程如果忽略了横向剪应变或假设为零，那么根据应力-应变关系，整个板的横向剪应力也为零；另一方面，即使是对横向剪应变不做假设，我们知道如果没有剪切载荷，在板的上下表面的横向剪应力为零，在经典层合理论中，通常把横向剪应变视为零，横向剪应力由平衡方程来计算根据克希霍夫假设，留下x、y、xy以及u，v是z的线性函数，此外，应力也是相应横坐标z的线性不连续函数由于放宽了薄板的限制，平面应力假设z、xz、yz与面内应力相比很小，引起起的变形可以忽略不计，但在维持应力平衡是必需的，不能忽略层合平板的弯曲层合平板的尺寸作用于层合平板的力和力矩弯曲问题是指在横向载荷q（x，y）作用下求解层合板的挠度、变形和应力层合平板的弯曲由层合板的合力和合力矩与中面应变和曲率有下列关系层合平板的弯曲从层合板中取一板元素dxdyt，其上作用合力和合力矩层合平板的弯曲平衡方程为绕y轴力矩平衡绕x轴力矩平衡层合平板的弯曲层合平板的弯曲得到用u0、v0、w表示的平衡方程，为书写简单，将的下标0略去，用“，”表示对下标的微分，可得三个方程，三个未知数u，v，w层合平板的弯曲引进算子含有Bij，反映拉伸、弯曲耦合效应层合平板的弯曲平衡方程可以简化成层合平板的弯曲当层合板对称于中面时，Bij=0，三个式子相互独立，第三个方程只包含w项层合平板的弯曲u,v与w的方程相互独立，可分别求解层合平板的弯曲-挠度方程对称情况下，与均匀各向异性板的方程一致，只是计算Dij时不同如果是正交各向异性层合板，D16=D26=0与均匀正交各向异性板的方程一致，如果是各层均为各向同性材料，但每层不一定相同，D16=D26=0，D11=D22=D12+2D66=D，平衡方程与各向同性板完全一样层合平板的弯曲-边界条件非对称层合板的一般情况，需要联合求解平面问题和弯曲问题。相应地，在边界条件中也要同时规定平面边界条件和弯曲边界条件，对于四阶微分方程，每边需要有4个边界条件简支边界条件（用S表示）层合平板的弯曲-边界条件非对称层合板的一般情况，需要联合求解平面问题和弯曲问题。相应地，在边界条件中也要同时规定平面边界条件和弯曲边界条件，对于四阶微分方程，每边需要有4个边界条件固支边界条件（用c表示）层合平板的弯曲-简支板的弯曲考虑一四边简支并承受分布横向载荷q(x,y)作用的矩形层合板可用双三角级数解，将横向载荷q(x,y)展开为层合平板的弯曲-简支板的弯曲一般来说m,n为任意正整数，qmn可由下式求出可用双三角级数解，将横向载荷q(x,y)展开为对于均布载荷q（x，y）=q0特殊正交各向异性层合板板的挠度w只由一平衡微分方程描述简支边界条件：满足简支边界条件假设特殊正交各向异性层合板对于均布载荷

精确解对称角铺设层合板假设边界条件为不为零由于D16、D26的存在，挠度w的表达式不能用双三角级数展开，否则w，xxxy和w，xyyy将出现正弦和余弦奇次函数，变量不能分离，此外挠度展开式也不满足边界条件，因此可以用近似解法——瑞利-里茨法（Rayleigh-Ritz）对称角铺设层合板

应变能外力所做的功为层合板总势能为对称角铺设层合板仍选取表达式它满足位移边界条件，即但仍不满足力的边界条件，即这时可用最小势能原理，将w的表达式代入总势能表达式，由最小势能原理可知对称角铺设层合板如果选取m=1，2，3…,7，n=1，2，3，…7,则由上式可得到49个线形代数方程，可解得49个未知量amn对于受均布载荷q0正方形板（a=b），当得到层合板的最大挠度为精确解对称角铺设层合板如果忽略D16和D26，即把对称角铺设近似地作为即为特殊正交各向异性层合板，则最大挠度为精确解比较以上结果可知，忽略弯曲、扭转耦合刚度后误差约为28%,所以不允许采用特殊正交各向异性层合板作为对称角铺设层合板的近似反对称正交铺设层合板反对称正交铺层合板拉伸：A11=A22，A12，A66耦合：B11，B22=-B11弯曲：D11=D22，D12，D66平衡方程反对称正交铺设层合板S2简支条件选取位移满足边界条件，可得精确解反对称正交铺设层合板不同层数反对称碳/环氧正交层合板的挠度无限多层相当于忽略了拉伸-弯曲耦合的特殊正交层合板对2层，如果忽略影响很大，3倍随层数增加，拉弯耦合对挠度影响衰减很快，与长宽比无关层数>6，可忽略耦合影响反对称角铺设层合板A16=A26=D16=D26=0拉弯耦合刚度B16、B26耦合影响类似层合板的屈曲屈曲：失稳，特殊的失效状态，变形严重而失去使用功能，结构行为平板的屈曲是当平面内载荷（压缩、剪切）达到一定大时，以致初始平直的平衡状态不再稳定而挠曲成为曲面形状，使板产生偏离平衡状态的载荷叫屈曲载荷层合平板的屈曲是指在平面内压缩和剪切载荷作用下，当载荷增加到一定值时产生有横向挠度的另一种平衡状态，此时属于不稳定平衡状态，通常称板发生屈曲，相应于产生屈曲的载荷值称为临界载荷从理论上讲，板的屈曲形式和相应的临界载荷值有无穷多个，但实际应用只需求得其中最小的一个临界载荷值，并称为屈曲载荷屈曲方程和边界条件假设屈曲以前是薄膜应力状态，不考虑拉弯耦合影响，当薄板受平面载荷时，由薄膜状态进入屈曲状态，控制屈曲的微分方程为式中表示从屈曲前的平衡状态开始的变分（力和力矩的变分、位移的变分），其中合力和合力矩的变分与应变变形的变分的关系仍用经典层合理论的力-中面应变/曲率，力矩-中面应变/曲率关系。用位移表示的屈曲方程与弯曲方程相似（除用变分符号外），但二者有本质不同，弯曲问题数学上属边界值问题，而屈曲问题属求特征值问题，其本质是求引起屈曲的最小载荷，而屈曲后的变形大小是不确定的屈曲方程和边界条件屈曲问题的边界条件仅适用于屈曲变形，因为屈曲前变形假设为薄膜状态，特征值问题的一个明显特点是所有的边界条件都是齐次的，即皆为零，这样简支边界条件为屈曲方程和边界条件固支边界条件为在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲考虑沿着x方向作用均匀平面力的四边简支矩形层合板，讨论特殊正交各向异性层合板情况这种层合板没有拉弯耦合、拉剪耦合和弯扭耦合在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲对于板屈曲载荷问题，只有一个屈曲方程来描述四边简支的边界条件为：这个四阶微分方程和相应齐次边界条件的解与前面的弯曲问题一样，可选取双三角级数形式的解满足边界条件，这里m和n分别为x和y方向的屈曲半波数在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲当n=1时，上式有最小值，所以临界载荷为在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲不同m值下的临界载荷最小值并不明显，它随不同的刚度和长宽比a/b而变化角对称铺设层合板与分析弯曲类似，可获得近似解在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲a/b<2.5，在x方向以一个半波屈曲，对a=b随a/b增加，在x方向屈曲成更多的半波，但临界载荷对a/b的曲线趋于平坦，接近在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲反对称正交铺层合板拉伸：A11=A22，A12，A66耦合：B11，B22=-B11弯曲：D11=D22，D12，D66屈曲方程联立在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲S2简支条件选取位移满足边界条件，可得精确解在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲Nx是m、n的复杂函数，研究m和n取值范围的过程，求出其最小屈曲载荷在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲Nx0：B11=0，正方形，特殊正交各向异性反对称角铺设层合板A16=A26=D16=D26=0，拉弯耦合刚度B16、B26反对称角铺设层合板层合平板的振动对于板的振动问题，主要是求解板的固有频率和振型，这里限于讨论自由振动与屈曲问题类似，板的固有频率理论上有无穷多个，其中最低的频率称为板的基频与屈曲问题不同的是工程应用上除基频外，有时也需要求出其他更高阶的频率值另外，往往需要了解相应于各阶频率的振型振动方程和边界条件考虑到板的运动惯性力，振动方程为密度、加速度表示从平衡状态起的变分，挠度w