期权定价公式及其应用

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Black-Scholes公式经典的Black-Scholes期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。其公式为其中T是到期时间，S是当前股价，是作为当前股价和到期时间的函数的欧式买入期权的价格.第九章期权定价公式及其应用一、引言第一节Black-Scholes期权定价公式K是期权的执行价格，r是无风险证券的（瞬时）收益率，称为股价的波动率{volatility,这是一个需要测算的参数}称为累积正态分布函数，定义为图1期权价格曲线随到期时间T的变化

Black-Scholes公式的方便之处在于除股价的波动率外，其他参数都是直接在市场上可以找到的。例如,如果这里价格以元计,时间以年计,从而涉及的两个比率都指的是年率。那么（以下的等号实际上都是近似等号）把这些值代入公式，得到:利用累积正态函数在点2.8017和2.7267处的近似值，买入期权的价格是3.3749，即更精确的计算可得:2.金融资产的定价问题

金融资产的定价问题(assetvaluation)是现代财务金融理论的一个基本问题。对于具有固定现金流的金融产品、如债券等金融工具，其价格都是通过净现值方法来确定的。对于期权来讲，其风险究竟有多大?如何计算出相应的风险溢价以及未来的现金流?这都是较为难解决的问题。3.Black-Scholes公式发展过程(1)巴列切尔公式(Bachelier1900)n是标准正态分布的密度函数

法国数学家Bachelier·Louis,在其博士论文《TheTheoryofSpeculation》中首次给出了欧式买权的定价公式但他在建立模型时有3个假设与现实不符。第一，假设标的股票的价格服从标准正态分布。这使得股价出现负值的概率大于零，从而与现实明显不符。第二，认为在离到期日足够远的时候,买权的价值可能大于标的股票的价值，这显然也是不可能的。第三，假设股票的期望报酬(即股价变化的平均值)为零，这也违背了股票市场的实际情况。

(2)斯普伦克莱(Sprenkle,1961)

在Bachelier的研究基础上,人们对期权定价问题进行了长期的研究。1961年Sprenkle提出了“股票价格服从对数正态分布”的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的可能性。是股票价格的平均增长率，A是对应的风险厌恶程度。其中(3)博博内斯(Boness,1964)其中，1964年，，Boness将货币时时间价值的概概念引入到期期权定价过程，但但他没有考虑虑期权和标的的股票之间风风险水平的差异。(4)塞塞缪尔森(Samuelson,1965)其中是期权权价格格的平平均增增长率率。1965年年，著著名经经济学学家萨萨缪尔尔森(Samuelson)把上上述成成果果统一一在一一个模模型中中。在1973年Black和Scholes提出出Black——Scholes期期权定价模模型.我们可可以看看到，，所有有这些些公式式都与与后来来的Black-Scholes公式式有许许多相相似的的地方方。1969年年，他他又与与其研研究生生Merton合作作，提提出了了把期期权权价价格作作为标标的股股票价价格的的函数数的思思想。。20世世纪60年年代末末，两两人开开始合合作研研究期期权的的定价价问题,并并找到到了建建立期期权定定价模模型的的关键键突破破点,即构构造一一个由标标的股股票和和无风风险债债券的的适当当组合合(买买入适适当数数量的的标的股股票,同时时按无无风险险利率率借入入适当当金额额的现现金)。该该组合具具有这这样的的特点点,即即无论论未来来标的的资产产价格格如何何变化化,其损益益特征征都能能够完完全再再现期期权在在到期期日的的损益益特征征。Black和Scholes得到到了描描述期期权价价格变变化所所满足足的随机偏偏微分分方程程，即即所谓谓的B—S方程程。从而得得出了了期权权定价价模型型的解解析解解,这这就是是B——S模模型。。Merton也也对期期权定定价理理论和和实践践的发发展做做出了了独立立的和开创创性的的贡献献,他他几乎乎在与与Black和和Scholes同同一时时间,得到了期期权定定价模模型及及其他他一些些重要要的成成果。。1976年年，Merton把把B——S期期权定定价模模型推推广到到股票票价格格变化化可能能存在在跳跃跃点的的场合合,并并包含含了标标的股股票连连续支支付股股利的情况况，从从而把把该模模型的的实用用性又又大大大推进进了一一步，，学术术界将将其称称为Merton模模型。。另外Cox，Ross和和Rubinstein等人人还提提出了了二项项式期期权定定价模型型。他他们最最初的的动机机是以以该模模型为为基础础，从从而为为推导导B-S模型型提供供一种种比较较简单单和直直观的的方法法。但是,随着着研究究的不不断深深入，，二项项式模模型不不再是是仅仅仅作为为解释B-S模型型的一一种辅辅助性性工具具,它它已经经成为为建立立复杂杂期权（如如美式式期权权和非非标准准的变变异期期权））定价价模型型的基基本手段。。二、Black-Scholes期权权定价价公式式（一））基本本假设设：1.股股票票价格格满足足的随随机微微分方方程中中,,为常数数;2.股股票票市场场允许许卖空空;3.没没有有交易易费用用或税税收;4.所所有有证券券都是是无限限可分分的;5.证证券券在有有效期期内没没有红红利支支付;6.不不存存在无无风险险套利利机会会;7.交交易易是连连续的的;8.无无风风险利利率为为常数数.(二)股股票价价格的的轨道道在通常常情况况下，，假设设股票票价格格St满足下下列随随机微微分方方程：：为概率率空间间上的Brownian运运动（1)(三)期期权套套期保保值寻找期期权定定价公公式（（函数数）的的主要要思想想：构造以某一一种股票以以及以该股股票为标的的的期权的的一个证券组合，所所构造的证证券组合正正好是一个个无风险资资产的复制制。命题1设设函数关关于t一一阶连续偏偏导数,关关于x二阶阶连续有界界偏导数,且满满足终值条条件：为期权现价价格(t时时刻的价格格),则是是下下列偏微分分方程的解解：为要套期保保值此期权权,投资者者必须卖空空股此股票（7）下面求复制制期权的证证券组合期权价格的的分解：由此可知证证券组合（（portfolio）是自融资证证券组合(四)方方程（7））解的概率率表示命题2设设是下列随机机微分方程程的解：其中是定义在上的P-Brownian运运动。又设是方程（7）式具有有有界偏导导数的解，，则Feynman-Kac公公式成立：：(五)Black-Scholes公式式定理1股票价格设设所满足的的方程（1）中的系系数均为常常数,则期权价格格由下式给给出：证明：a)由于于所满足的方方程(1)中的系数为常常数，由所满足的随机微分方程可得到,的显示表达式：由条件期望望性质可得得a)的结结果。对看涨期权权（Calloption）由于可令为执行集（exerciseset）：(1)(2)(3)注⒈Black-Scholes公公式不仅告告诉我们Calloption的价格,且以以证券组合合的形式给给出：债券的套期期保值证券券组合或者者说复制Calloption的证券组合。。股股票，需购买注⒉设Calloption和Putoption的价格格分别为和，则有第二节期期权价值值的敏感性性因素分析析影响期权价价值的因素素一共有五五个，即标的资产产市场价格格St、执行价格格X、无风风险利率r、距离到期日日时间T-t和标的的资产价格格的波动率率。一、标的的资产价格格变化对期期权价值的的一阶影响响通常用Delta来来表示期权权价值对标标的资产价价格St变动的敏感性。。从而可可以近似地地表示为：：期权组合而而言，其Delta值为：二、标的的资产价格格对期权价价值的二阶阶影响Gamma指的是期期权Delta对于于股票价格的一阶偏导导数,也就就是期权价值值对于股票票价格的二二阶偏导数数。买权Gamma的计算公式为：：另一方面，，由卖权Gamma的计算公公式，我们们可以知道道卖权的Gamma值值等于买权权的Gamma值，，即：⑴Gamma具有有非负性。。也就是说说,无论对对于买权还还是卖权，，在其他因素素不变时,其Delta值都都随着股票价格格的上升而上上升，随着股票价格的下降而下下降。⑵Gamma与st的关系。当当期权处于于平价状态态附近（也也就是在附近）），其Gamma相相对比较大大；当期权权处于较深深的亏价或盈价价状态时,其Gamma接近近于零。⑶Gamma与时时间变量T-t的关关系。如果果期权处于于平价状态,在其他他因素不变变的情况下下,其Gamma值值随着到期期日的临近而变大大。三、无风风险利率对对期权价值值的影响买权价格对对无风险利利率变化的的敏感度由由Rho值值来衡量，，其公式为：：由上面的计计算公式，，可得到Rho的如如下特点：：⑴Rhoc一般大于零零，而Rhop一般小于零零。只有在在到（T=t）），Rhoc和RhoP才会等于零零。⑵相对于于影响期权权价值的其其他因素而而言，r的的影响要小得多。⑶因为Rho的绝绝对值与T-t成正正比，因此此对于距到到期日时间间较长的期期权，r对对于其价值值的影响不不容忽视。。四、标的的资产价格格波动率对对期权价值值的影响方差或标准准差是布莱莱克-斯科科尔斯模型型中的重要要变量,也也称波动率，是是股票连续续计息收益益率的标准准差，它也也是公式中中唯一不可直直接观测的的变量买权权价格对很很小的波动动率变化的的反映被称为为Vega，即：由买权价值值与卖权价价值可知卖卖权Vega与买权权Vega完全相同同当期权处于于平价状态态时，其Vega值值较大；当期权处于于较深的盈盈价或亏价价状态时，，相应的Vega值较较小。因此，期权权Vega随变化的的曲线是一一个倒U形形。五、到期时时间长短对对期权价值值的影响由于到期时时间的临近近,期权的的时间价值值下降,这这就造成期权的价格格下降。时间价值的的消耗用Theta表示，买买权Theta的定定义为始终是一个个小于零的的数则有可能大大于零，第三节期期权套期保保值的基本本原理一、有关期期权套期保保值的一个个例子综上所述,甲所采取取的上述套套期策略具具有以下两两个特点：：第一是自融融资性(self——financing)，即即套期所需需的资金只需期初初一次性投投人,此后后，在套期期的整个过过程中不需需要增加新的的外部融资资。或者说说，套期策策略只需要要期初投入入，不需要维持持成本。第二是精确确复制性(replicating),即套期期策略能够够精确地复制受受险资产的的收益和风风险特征，，从而将面面对的风险险完全抵消消。套期策略略所具有有的这两两个特点点具有十十分重要要的意义义。首先，自自融资性性说明套套期策略略的成本本可以在在事先确确定，即为期初初所需的的投入。。其次，精精确复制制性说明明套期策策略组合合应当与与受险资资产具有相同同的价值值，这是是由无套套利定价价原则所所决定的的。最后，既既然风险险已经完完全抵消消，甲所所要求的的报酬率率就应该是无无风险报报酬率。。二、期期权套期期保值的的基本原原理考虑一个个由m种种期权组成的投投资组合合，vi,i=1,2,……m表示示第i种种资产的的价格,该投资组组合的价价值V可可以表示示为：其中，是组合中中第j种种期权的的权重。。期权套期期保值的的基本思思想是构构造一个个头寸,使其风风险暴露与原原组合的的风险暴暴露相反反,从而而部分或或者全部部对冲掉掉风险。如如果所构构造的头头寸,其其风险性性质与原原组合的的风险性性质呈完全全相反的的状态，，则原组组合的风风险可以以被全部部消除。。这称为完完全对冲冲。在构造对对冲时，，就是通通过选择择合适的的nj,使得当当风险因因素变动时，，组合价价值V能能够保持持不变。。对于一一阶风险险，就是是选择nj，使得：：这样，当当x发生生微小变变化x时，组组合的价价值变化化为：这里，风风险因素素可以是是标的股股票价格格的变化化、无风风险利率的变化化、时间间的变化化或者是是波动率率的变化化。第四节连连续续调整的的期权套套期策略略一、Delta套期期（Delta中性组组合）通过适当当地调整整不同期期权及其其标的资资产的比比例，我们可以以将风险险暴露程程度降低低到所愿愿意的任任何程度度，甚至可以以将该资资产组合合对于标标的资产产价格变变动的风风险降低到零零。这样样的一个个资产组组合,我我们称之之为“Delta中性组合合”。我们可以以用公式式来表示示上述这这一概念念。假设构造造这样一一个投资资组合：：做空一一个买权权，其价价格为Ct，Delta值值为N(d1)；同时时买入数数量为N(d1)的标的的资产，，其价格为为St。不难证证明，该该组合为为一个Delta中性性买权组组合。事实实上，这这个组合合当前的的价值为为：显然，V关于St的偏导数数为0，，即该组组合是一一个Delta中性组合，组组合的价价值不受受St变化的影影响。更一般地地，对于于任意一一个资产产组合而而言，总总能通过过适当地地选择n1,n2，使得整整个组合合的Deltay等于于0，也也就是：：很容易就就可以解解得：二、Delta-Gamma套期期策略Delta-Gamma套期期策略是是Delta套套期策略略的推广广,它指的是是构造一一个Delta和Gamma值都为为0的组组合,即通过构构造一个个Delta-Gamma中中性的组组合，从从根本上回避避价格风风险。构成了以以下组合合关于St求一、二二阶偏导导数令组合的同时等于零，可得到：投资者只只要根据据计算出出来的n2和n3的值买卖卖相应的的资产就可以完完全回避避手中资资产的价价格风险险。三、Delta-Gamma-Vega套套期策略略如果投资资者不愿愿意承担担波动率率的变化对对套期结结果的影响,可可以在Delta-Gamma中性性组合的的基础上上,构造造一个Delta-Gamma-Vega中性性组合,我们需需要引进进第三种种期权的交交易，记记该期权权的价格格为4，交易数数量为n4新的组合合为对上式两两端分别别关于St求一、二二阶偏导导，并且关于于求一阶偏偏导实现完全全的连续续性套期期会受到到一些限限制,这这是因为为：第一，市市场不具具备充分分的多样样性。第二，交易费费用的存在。。第五节组组合套期策略略一、90／／10策略90／10策策略又称为保保证报酬基金金(guaranteedreturnfunds)，它有狭义义和广义之分分。广义的90／／10策略则则不限于上述述对投资比例例的机械划分，而是允许许根据情况适适当进行调整整。狭义的90／／10策略是是指机构投资资者将暂时闲闲置资金的90％用来购购买无风险的的货币市场工工具,剩余的的10%用来来购买期权。。为保证90／／10策略的的两个基本目目标(保证资资本安全和得得到足够的杠杠杆)得以实实现，以下两两个条件是必必要的，即：第一，货币市市场利率越高高越好；第二，买权的的价格越低越越好。这样，，既可以减少少套期成本，又又可以增加杠杠杆程度。二、无成本本期权套期所谓无成本期期权是指两个个期权的特殊殊组合，其中中一个期权为做多，，需要支付相相应的权利金金，另一个期期权则为做空，并因因此得到相应应的权利金。。如果两个期期权的权利金大致相相同，则该组组合的净成本本就近似等于于零无成本套期策策略一方面避避免了出现巨巨大损失的风风险，另一方方面也失去了了获得巨大收收益的可能性性，因此这是是一种比较保保守的选择。。根据这一性性质，该套期期策略比较适合投投资者预期市市场会出现暴暴跌或缓升，，且缓升的可能性性更大的场合合。9、静夜夜四无无邻，，荒居居旧业业贫。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨雨中中黄黄叶叶树树，，灯灯下下白白头头人人。。。。01:28:4701:28:4701:281/6/20231:28:47AM11、以我独沈沈久，愧君君相见频。。。1月-2301:28:4701:28Jan-2306-Jan-2312、故故人人江江海海别别，，几几度度隔隔山山川川。。。。01:28:4701:28:4701:28Friday,January6,202313、乍见见翻疑疑梦，，相悲悲各问问年。。。1月-231月-2301:28:4701:28:47January6,202314、他乡生生白发，，旧国见见青山。。。06一一月20231:28:47上午午01:28:471月-2315、比比不不了了得得就就不不比比，，得得不不到到的的就就不不要要。。。。。一月月231:28上上午午1月月-2301:28January6,202316、行动出成果果，工作出财财富。。2023/1/61:28:4701:28:4706January202317、做前前，能能够环环视四四周；；做时时，你你只能能或者者最好好沿着着以脚脚为起起点的的射线线向前前。。。1:28:47上上午1:28上上午午01:28:471月-239、没有失失败，只只有暂时时停止成成功！。。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事情努努力了未必有有结果，但是是不努力却什什么改变也没没有。。01:28:4701:28:4701:281/6/20231:28:48AM11、成功就是是日复一日日那一点点点小小努力力的积累。。。1月-2301:28:4801:28Jan-2306-Jan-2312、世间成成事，不不求其绝绝对圆满满，留一一份不足足，可得得无限完完美。。。01:28:4801:28:4801:28Friday,January6,202313、不不知知香香积积寺寺，，数数里里入入云云峰峰。。。。1月月-231月月-2301:28:4801:28:48January6,202314、意志坚强强的人能把把世界放在在手中像泥泥块一样任任意揉捏。。06一月月20231:28:48上上午01:28:481