平面解析几何

平面解析几何第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线 l与x轴相交时，取 x轴作为基准，x轴正向与直线 l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.(2)规定：当直线 l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.(3)范围：直线 l倾斜角的取值范围是 [0，π)．2．斜率公式π(1)定义式：直线 l的倾斜角为 αα≠2，则斜率 k＝tanα.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，y2－y1且x1≠x2，则l的斜率 k＝x2－x1.3．直线方程的五种形式名称方程点斜式y－y0＝k(x－x0)斜截式y＝kx＋b两点式y－y1x－x1y2－y1＝x2－x1x＋y＝1截距式ab一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0

适用范围不含垂直于 x轴的直线不含垂直于 x轴的直线不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)不含垂直于坐标轴和过原点的直线平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为 x＝x1；(2)直线过点 P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为 y＝y1；(3)y轴的方程为 x＝0；(4)x轴的方程为 y＝0.考点一直线的倾斜角与斜率ππ的倾斜角的取值范围是()[典例](1)直线2xcosα－y－3＝0α∈6，3ππB.ππA.，，3634πππ2πC.，D.，4243(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．[解析](1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈ππ1≤cosα≤3，，，所以6322因此k＝2·cosα∈[1， 3]．设直线的倾斜角为 θ，则有tanθ∈[1， 3]．ππ又θ∈[0，π)，所以θ∈ ， ，4 3ππ即倾斜角的取值范围是 4，3.(2)设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－3，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为 [1，＋∞)．当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3]．故直线l斜率的取值范围是 (－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．[答案] (1)B (2)(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)[变透练清]1.变条件若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A(cosθ，sin2θ)，B(0,1)，则直线AB的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cosθ≠0，则斜率k＝tanα＝sin2θ－1＝－cosθ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直cosθ－0π3π线AB的倾斜角的取值范围是0，4∪4，π.π3π答案：0，4∪，π4变条件若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，则直线l斜率的取值范围为________．解析：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1＋k)(－3＋k)≤0，即(3k－1)(k－3)≤0，解得1≤k≤3.3即直线l的斜率的取值范围是1，3.3答案：1，333．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析：因为kAC＝5－3＝1，kAB＝a－3＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，6－45－4即a＝4.答案：4考点二 直线的方程[典例]

(1)若直线经过点

A(－5,2)，且在

x轴上的截距等于在

y轴上的截距的

2倍，则该直线的方程为

________________．(2)若直线经过点

A(－

3，3)，且倾斜角为直线

3x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为

________________．(3)在△ABC

中，已知

A(5，－2)，B(7,3)，且

AC

的中点

M在

y轴上，BC

的中点

N在

x轴上，则直线

MN

的方程为

________________．[解析]

(1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为

y＝kx，将(－5,2)代入22y＝kx中，得k＝－，此时，直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.55②当横截距、纵截距都不为零时，xy设所求直线方程为2a＋a＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－1，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.2综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.(2)由3x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为3.又直线过点A(－3，3)，所以所求直线方程为y－3＝3(x＋3)，即3x－y＋6＝0.5＋x0y0－2，N7＋x0y0＋3.(3)设C(x0，y0)，则M2，2，22因为点M在y轴上，所以5＋x0＝0，所以x0＝－5.2y0＋3因为点N在x轴上，所以 ＝0，所以y0＝－3，即C(－5，－3)，5所以M0，－2，N(1,0)，所以直线MN的方程为x＋y＝1，－52即5x－2y－5＝0.[答案] (1)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0(2) 3x－y＋6＝0 (3)5x－2y－5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是2的直线方程是________________．2解析：由题知，倾斜角为π3π或－1，直线方程为y－2＝x－1或y－2或4，所以斜率为14＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.答案：x－y＋1＝0或x＋y－3＝02．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x＋y＝1，则6＋－2＝1，解得a＝2或a＝1，则直a＋1aa＋1a线的方程是

x ＋y＝1或2＋1 2

x ＋y＝1，即1＋1 1

2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.答案：2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0考点三 直线方程的综合应用[典例]已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为―→―→l的方程．坐标原点，求当|MA||·MB|取得最小值时直线[解]x＋y＝1，设A(a,0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，直线l的方程为ab所以2＋1＝1.ab―→―→―→―→|MA||·MB|＝－MA·MB＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－52＋1－5＝(2a＋b)ab2b＋2a≥4，ab当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线 l的方程为 x＋y－3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件， 由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在 x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A．1B．2C．4D．8解析：选C∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，a＋b＝ab，即1a＋1b＝1，a＋b＝(a＋b)1＋1ab＝2＋b＋a≥2＋2ba＝4，abab当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与A(－1,0)，B(1,0)两点连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是()A．[－6，6]B.－∞，－6∪6，＋∞66C.－∞，－6∪6，＋∞66D.－2，222解析：选C设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得y·y＝3，即y2＝3x2－3.x＋1x－1x－my＋3m＝0，1223联立y2＝3x2－3，得m2－3x＋mx＋6＝0(m≠0)，23212166则＝m－24m2－3≥0，即m≥6，解得m≤－6或m≥6.∴实数m的取值范围是－∞，－6∪6，＋∞.66[课时跟踪检测 ]1．(2019·肥模拟合)直线l：xsin30＋°ycos150＋°1＝0的斜率是( )3B.3A.33C．－3D．－3解析：选A设直线l的斜率为k，则k＝－sin30°3cos150＝°3.2．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是()A.3x－y＋1＝0B.3x－y－3＝0C.3x＋y－3＝0D.3x＋y＋3＝0解析：选D由于倾斜角为120°，故斜率k＝－3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.3．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为()A．2x＋y－12＝0B．2x－y－12＝0C．2x＋y－8＝0D．2x－y＋8＝0解析：选C由题知M(2,4)，N(3,2)，则中位线MN所在直线的方程为y－4＝x－2，整2－43－2理得2x＋y－8＝0.4．方程y＝ax－1表示的直线可能是()a解析：选

C

当a＞0时，直线的斜率

k＝a＞0，在

y轴上的截距

b＝－1＜0，各选项都a不符合此条件；当

a＜0时，直线的斜率

k＝a＜0，在

y轴上的截距

b＝－1a＞0，只有选项

C符合此条件．故选 C.5．在等腰三角形则直线MN的方程为(A．3x－y－6＝0C．3x－y＋6＝0

MON)

中，MO＝MN，点O(0,0)，M(－1,3)，点B．3x＋y＋6＝0D．3x＋y－6＝0

N在

x轴的负半轴上，以

解析：选C因为MO＝MN，所以直线kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为

MN的斜率与直线y－3＝3(x＋1)，即

MO的斜率互为相反数，所3x－y＋6＝0，选C.6．若直线

mx＋ny＋3＝0在

y轴上的截距为－

3，且它的倾斜角是直线

3x－y＝3 3的倾斜角的

2倍，则

(

)A．m＝－

3，n＝1

B．m＝－

3，n＝－3C．m＝

3，n＝－3

D．m＝

3，n＝1解析：选

D

对于直线

mx＋ny＋3＝0，令

x＝0得

y＝－3，即－n

3＝－3，n＝1.n因为

3x－y＝3 3的斜率为

60°，直线

mx＋ny＋3＝0的倾斜角是直线

3x－y＝3 3的

2倍，所以直线

mx＋ny＋3＝0的倾斜角为

120°，即－mn＝－

3，m＝

3.7．当

0<k<1时，直线2

l1：kx－y＝k－1与直线

l2：ky－x＝2k的交点在

(

)A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限k解析：选Bkx－y＝k－1，x＝k－1，由得2k－1ky－x＝2ky＝k－1.又∵0<k<1，∴x＝k2k－12k－1<0，y＝k－1>0，故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．8．若直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交x轴负半轴于 A，交y轴正半轴于 B，则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为()A．x－2y＋4＝0B．x－2y＋8＝0C．2x－y＋4＝0D．2x－y＋8＝0解析：选B由l的方程，得A－2＋4k，0，B(0,2＋4k)．依题意得－2＋4k＜0，k解k2＋4k＞0，得k＞0.因为S＝112＋4k12＋4k214＋16≥12|OA||OB|·＝2k·|2＋4k|＝2·k＝216k＋k2(2×8＋16)＝4116，当且仅当16k＝k，即k＝2时等号成立．此时l的方程为x－2y＋8＝0.9．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________________．解析：由A，B两点得kAB＝1，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程2是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.答案：2x＋y－14＝010．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________________．解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为1，则tanα＝1，221所以直线l的斜率k＝tan2α＝2tanα2＝2×2＝4，1－tanα1231－24所以由点斜式可得直线 l的方程为 y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.答案：4x－3y－4＝011．直线 l经过点 A(1,2)，在

x轴上的截距的取值范围是

(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，直线l在x轴上221或k<－1.的截距为1－，令－3<1－<3，解不等式得k>kk2答案：(－∞，－1)∪1，＋∞212．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是 ________．解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3,4)；1(2)斜率为6.解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－4－3,3k＋4，k由已知，得(3k＋4)4＋3＝±6，k解得k1＝－283或k2＝－.3故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为y＝1x＋b，它在x轴上的截距是－6b，6由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.∴直线l的方程为 x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.第二节 两直线的位置关系一、基础知识1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2?k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.2．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，的解．A2x＋B2y＋C2＝03．三种距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.(2)点到直线的距离公式|Ax0＋By0＋C|.点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝2＋B2A(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线 Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0|C1－C2|间的距离 d＝ A2＋B2.二、常用结论(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为：①垂直：Bx－Ay＋m＝0；②平行：Ax＋By＋n＝0.(2)与对称问题相关的四个结论：①点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．②点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．③点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．④点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．考点一 两条直线的位置关系[典例]已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；l1∥l2；l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.m2－8＋n＝0，[解] (1)由题意得2m－m－1＝0，m＝1，解得n＝7.即m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点 P(m，－1)．(2)∵l1∥l2，∴m2－16＝0，－m－2n≠0，m＝4，m＝－4，解得或n≠－2n≠2.即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.(3)当且仅当 2m＋8m＝0，即m＝0时，l1⊥l2.n又－＝－1，∴n＝8.即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－ 1.[解题技法]1．．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A12＋B12≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件A1＝B1C1A2≠(A2B2C2≠0)B2C2l1与l2相交的充分条件A1≠B1(A2B2≠0)A2B2l1与l2重合的充分条件A1＝B1C1A2＝(A2B2C2≠0)B2C2[题组训练]1．已知直线 4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为( )A．7B．9C．11D．－7解析：选A由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t,1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1,1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.2．(2019保·定五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C.考点二

距离问题[典例]

(1)过点

P(2,1)且与原点

O距离最远的直线方程为

(

)A．2x＋y－5＝0

B．2x－y－3＝0C．x＋2y－4＝0

D．x－2y＝0(2)若两平行直线

l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与

l2：2x＋ny－6＝0

之间的距离是

5，则

m＋n＝()A．0B．1C．－2D．－1[解析](1)过点P(2,1)且与原点O距离最远的直线为过点P(2,1)且与OP垂直的直线，因为直线OP的斜率为1－0＝1，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为2x＋y－52－02＝0.(2)因为l1，l2平行，所以 1×n＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m，解得 n＝－4，m≠－3，所以直线l2：x－2y－3＝0.又l1，l2之间的距离是5，所以|m＋3|＝5，解得m＝2或m＝1＋4－8(舍去)，所以m＋n＝－2，故选C.[答案](1)A(2)C[解题技法]1．点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．2．两平行线间的距离的求法利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式．[题组训练]1．已知点 P(2，m)到直线 2x－y＋3＝0的距离不小于 2 5，则实数 m的取值范围是________________．解析：由题意得，点P到直线的距离为 |2×2－m＋3|≥25，即|m－7|≥10，解得m≥1722＋12或m≤－3，所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[17，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[17，＋∞)2．如果直线 l1：ax＋(1－b)y＋5＝0和直线l2：(1＋a)x－y－b＝0都平行于直线 l3：x－2y＋3＝0，则l1，l2之间的距离为________．1解析：因为l1∥l3，所以－2a－(1－b)＝0，同理－2(1＋a)＋1＝0，解得a＝－ ，b＝0，因此l1：x－2y－10＝0，l2：x－2y＝0，d＝|－10－0|＝25.12＋－22答案：2 5考点三对称问题[典例]已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．(1)求点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．[解](1)设A′(x，y)，再由已知得y＋2×2＝－1，33，x＋13x＝－13x－1解得4y－2，2×2－3×2＋1＝0，y＝13所以A′－33，41313.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在m′上．设a＋2b＋02×2－3×2＋1＝0，6，30对称点为M′(a，b)，则解得M′1313.设m与l的交b－0×2＝－1，a－232x－3y＋1＝0，得N(4,3)．又因为m′经过点N(4,3)，所以由两点式得直线点为N，则由3x－2y－6＝0，m′方程为9x－46y＋102＝0.[变透练清]1.变结论 在本例条件下，则直线 l 关于点 A(－1，－________________．

2)对称的直线

l′的方程为解析：法一： 在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.答案：2x－3y－9＝02．(2019

·肥四校联考合

)已知入射光线经过点

M(－3,4)，被直线

l：x－y＋3＝0

反射，反射光线经过点解析：设点

N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为 ________．M(－3,4)关于直线 l：x－y＋3＝0的对称点为 M′(a，b)，则反射光线所在b－4＝－1，直线过点M′，所以 解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点 N(2,6)，3＋a－b＋4＋3＝0，22y－0 x－1所以所求直线的方程为 ＝ ，即6x－y－6＝0.答案：6x－y－6＝0[解题技法]1．中心对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于点对称x＝2a－x1，若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求y＝2b－y1解．(2)直线关于点对称①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程；③轨迹法，设对称直线上任一点M(x，y)，其关于已知点的对称点在已知直线上．2．轴对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，x1＋x2y1＋y2＋C＝0，A×2＋B×由方程组2可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，Ay2－y1＝－1，x2－x1×－By2)(其中B≠0，x1≠x2)．(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决， 有两种情况：一是已知直线与对称轴相交； 二是已知直线与对称轴平行．[课时跟踪检测 ]1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0解析：选C因为直线x－2y－2＝0的斜率为1，2所以所求直线的斜率k＝－2.所以所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.2．已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0和l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，则a＝()A．2或1B.1或－1231C.3D．－1解析：选B因为直线l⊥l，所以2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0，解得a＝1或－1.1233．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的坐标为()A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)|x－5＋3x－1|解析：选C 设P(x,5－3x)，则d＝ ＝ 2，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，2 21＋－1解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)．4．(2018·阳一模揭)若直线l1：x－3y＋2＝0与直线l2：mx－y＋b＝0关于x轴对称，则m＋b＝()1A.3B．－11C．－3D．1解析：选B直线l1：x－3y＋2＝0关于x轴对称的直线为x＋3y＋2＝0.由题意知m≠0.因为mx－y＋b＝0，即x－y＋b＝0，且直线l1与l2关于x轴对称，mm11－m＝3，m＝－3，所以有解得b＝2，2，mb＝－3则m＋b＝－1＋－2＝－1.335．点A(1,3)关于直线y＝kx＋b对称的点是 B(－2,1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是()35A．－2B.465C．－5D.63－13解析：选D由题意，知1＋2·k＝－1，k＝－2，解得512＝k·－2＋b，b＝4.∴直线方程为355×－25y＝－x＋，它在x轴上的截距为－43＝.故选D.2466．(2019成·都五校联考)已知A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是()A．2x＋y－7＝0B．x＋y－5＝0C．2y－x－4＝0D．2x－y－1＝0解析：选B由|PA|＝|PB|得点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据直线PA的方程为x－y＋1＝0，可得A(－1,0)，将x＝2代入直线x－y＋1＝0，得y＝3，所以P(2，3)，所以B(5,0)，所以直线PB的方程是x＋y－5＝0，选B.7．若动点A，B分别在直线 l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则 AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．32B．22C．33D．42解析：选A依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线|m＋7||m＋5|m＝的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝?|m＋7|＝|m＋5|?22－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为|－6|＝32.28．已知点A(1,3)，B(5，－2)，在x轴上有一点P，若|AP|－|BP|最大，则P点坐标为()A．(3.4,0)B．(13,0)C．(5,0)D．(－13,0)解析：选B作出A点关于x轴的对称点A′(1，－3)，则A′B所在直线方程为x－4y13＝0.令y＝0得x＝13，所以点P的坐标为(13,0)．9．经过两直线 l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋50垂直的直线l的方程为________．x－2y＋4＝0，解析：由方程组得x＝0，y＝2，即P(0,2)．因为l⊥l3，所以直线l的x＋y－2＝0斜率k＝－4，所以直线l的方程为y－2＝－4x，即4x＋3y－6＝0.33答案：4x＋3y－6＝010．已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为________．解析：当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时，由直线P1P2的斜率k＝3－5＝－1，2＋43得所求直线的方程为y－2＝－1(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线过线段P1P2的中点时，因为3线段P1P2的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为x＝－1.综上所述，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.答案：x＋3y－5＝0或x＝－111．直线x－2y＋1＝0关于直线 x＝1对称的直线方程是 ________．解析：由题意得直线 x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x－2y＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y－0＝x－3，1－01－3即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝012．过点P(0,1)作直线l使它被直线 l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝013．已知△ABC的三个顶点是A(1,1)，B(－1,3)，C(3,4)．(1)求BC边的高所在直线l1的方程；(2)若直线l2过C点，且A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程．解：(1)因为k＝4－3＝1，又直线l与BC垂直，所以直线l的斜率k＝－1＝－4，BC3＋1411kBC所以直线 l1的方程是 y＝－4(x－1)＋1，即4x＋y－5＝0.(2)因为直线 l2过C点且A，B到直线l2的距离相等，所以直线l2与AB平行或过 AB的中点M，3－1因为kAB＝－1－1＝－1，所以直线 l2的方程是 y＝－(x－3)＋4，即x＋y－7＝0.因为AB的中点M的坐标为(0,2)，4－2 2所以kCM＝ ＝，所以直线 l2的方程是2y＝3(x－3)＋4，即2x－3y＋6＝0.综上，直线 l2的方程是x＋y－7＝0或2x－3y＋6＝0.第三节圆的方程一、基础知识1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b)，半径：r?x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心：－D，－E，一般方程(D2＋E2－4F＞0)22122?半径：2D＋E－4F标准方程强调圆心坐标为(a，b)，半径为r.22DE?(1)当D＋E－4F＝0时，方程表示一个点－2，－2；(2)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y－a)2＋(y－b)2＞r20)在圆外，则(x00.(2)若M(x0，y－a)2＋(y－b)2＝r20)在圆上，则(x00.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.二、常用结论A＝C≠0，(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.考点一 求圆的方程[典例] (1)圆心在y轴上，半径长为 1，且过点 A(1,2)的圆的方程是 ( )22＝1A．x＋(y－2)B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝4(2)圆心在直线 x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为 ________．[解析](1)根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(2)法一：几何法设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点 C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过 A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即2a＋3－22＋a＋322a＋3＋22＋a＋52，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝ 10，2 2法二：待定系数法设所求圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2，2 2 22－a＋－3－b＝r，a－2b－3＝0，解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，2 2故所求圆的方程为 (x＋1)＋(y＋2)＝10.设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为 －D，－E，2 2－D2－2×－E2－3＝0，由题意得4＋9＋2D－3E＋F＝0，4＋25－2D－5E＋F＝0，解得D＝2，E＝4，F＝－5.故所求圆的方程为 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.[答案] (1)A (2)x2＋y2＋2x＋4y－5＝0[题组训练

]1．已知圆

E经过三点

A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在

x轴的正半轴上，则圆

E的标准方程为()A.x－32225B.x＋322252＋y＝44＋y＝16C.x－32225D.x－322254＋y＝164＋y＝4解析：选C法一：根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a＞0)，半径为r，则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)．a2＋12＝r2，3，2－a2＝r2，a＝4由题意得解得225a2＋－12＝r2，r＝16，所以圆E的标准方程为x－32＋y2＝25416.法二：设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，1＋E＋F＝0，3，D＝－2则由题意得4＋2D＋F＝0，解得E＝0，1－E＋F＝0，F＝－1，所以圆E的一般方程为223322＝25x＋y－x－1＝0，即x－4＋y.216法三：因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，1所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－2＝2(x－1)上．又圆E的圆心在 x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为3，0.43225则圆E的半径为|EB|＝2－4＋0－0＝4，32225所以圆E的标准方程为x－4＋y＝16.2．已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________．解析：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－5＝0，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．2 2所以半径r＝ 3－1 ＋－2＋4＝2 2，2 2故所求圆的方程为 (x－1)＋(y＋4)＝8.答案：(x－1)2＋(y＋4)2＝83．已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在 x轴上截得的弦长等于 6，则圆C的方程为________________．解析：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，将P，Q两点的坐标分别代入得2D－4E－F＝20，①3D－E＋F＝－10.②又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④联立①②④，解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.2 2 2 2故所求圆的方程为 x＋y－2x－4y－8＝0或x＋y－6x－8y＝0.答案：x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0考点二 与圆有关的轨迹问题[典例] (1)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是 ( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1(2)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2,3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为________．x＝x1＋42，x1＝2x－4，[解析](1)设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则y1－2即y＝y1＝2y＋2，2，代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.(2)设P(x，y)，圆心C(1,1)．因为P点是过点A的弦的中点，所以―→―→PA⊥PC.―→―→又因为PA＝(2－x,3－y)，PC＝(1－x,1－y)．所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.所以点P的轨迹方程为x－32＋(y－2)2＝5.24[答案](1)A(2)x－322＝52＋(y－2)4[变透练清]变条件若将本例(2)中点A(2,3)换成圆上的点B(1,4)，其他条件不变，则这些弦的中点P的轨迹方程为________．解析：设P(x，y)，圆心C(1,1)．当点P与点B不重合时，因为 P点是过点 B的弦的中―→ ―→点，所以 PB⊥PC.又因为―→―→＝(1－x,1－y)．PB＝(1－x,4－y)，PC所以(1－x)·(1－x)＋(4－y)·(1－y)＝0.P的轨迹方程为(x－1)2529所以点＋y－2＝4；当点P与点B重合时，点 P满足上述方程．529综上所述，点P的轨迹方程为(x－1)＋y－2＝4.答案：(x－1)2＋y－522＝942．已知圆 x2＋y2＝4上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点， P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知， P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为 (x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接 ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为 x2＋y2－x－y－1＝0.[课时跟踪检测 ]级1．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8解析：选B直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，所以圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.2．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为()A．1B．2C.2D．4解析：选B由半径r＝1D2＋E2－4F＝14a2＋4b2＝2，得a2＋b2＝2.22∴点(a，b)到原点的距离d＝a2＋b2＝2，故选B.3．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－1)2＝5B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5C．(x－1)2＋y2＝522＝5D．x＋(y－1)解析：选A由题意知，圆心到这两条直线的距离相等，即圆心到直线2x－y＋4＝0的距离d＝|2a－1＋4|＝|2a－1－6|，解得a＝1，d＝5，∵直线与圆相切，∴r＝d＝5，∴55圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.4．(2019银·川模拟)方程|y|－1＝1－x－12表示的曲线是()A．一个椭圆B．一个圆C．两个圆D．两个半圆解析：选D由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝1－x－12表示的曲线是两个半圆，选D.5．已知a∈R，若方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为()A．(－2，－4)B.－1，－12C．(－2，－4)或－1，－1D．不确定2解析：选A∵方程2222＝a＋2≠0，解得aax＋(a＋2)y＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0.配方，得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，225所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程化为x＋y＋x＋2y＋2＝0，此时方程不表示圆．故选A.6．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋y2＝2B．(x＋1)2＋y2＝8C．(x－1)2＋y2＝2D．(x－1)2＋y2＝8解析：选A直线x－y＋1＝0与x轴的交点(－1,0)．根据题意，圆C的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝|－1＋0＋3|＝2，12＋12则圆的方程为 (x＋1)2＋y2＝2.7．圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．解析：设圆心C的坐标为(a，b)，－1＋12＋4则a＝2＝0，b＝2＝3，故圆心C(0,3)．11[1－－2＋4－22＝2.半径r＝|AB|＝21]2∴圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.答案：x2＋(y－3)2＝28．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，6)在圆C内，则m的取值范围为________．解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半径r＝|CA|＝2＋12＋12＝10.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.由题意知(m－2)2＋(6)2＜10，解得0＜m＜4.答案：(0,4)9．若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是________________．解析：抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因为该圆与直线y＝x＋3相切，所以r＝d＝|－1＋3|＝2，故该圆的标准方程是2x2＋(y－1)2＝2.答案：x2＋(y－1)2＝210．(2019

·州模拟德

)已知圆

C的圆心在

x轴的正半轴上，点

M(0，

5)在圆

C上，且圆心到直线

2x－y＝0的距离为4 5，则圆

C的标准方程为

________________．5解析：因为圆

C的圆心在

x轴的正半轴