2023届数学二轮复习讲练测：思想04 运用转化与化归的思想方法解题（精讲精练）（原卷版）

思想04运用转化与化归的思想方法解题【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．【核心考点目录】核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．2．（2020·全国·统考高考真题）设复数，满足，，则=__________.3．（2020·天津·统考高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．甲、乙两球都不落入盒子的概率为，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为：；.4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．【方法技巧与总结】将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、建系等方法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特殊化、等价转化、不等转化等方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解答，达到解决复杂问题的目的．3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为直观的问题来解决．4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，此时从反面考虑较简单．【核心考点】核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题【典型例题】例1．（2023春·云南昆明·高三昆明市第三中学阶段练习）如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=，cosB=，∠ADB=．(1)求AD的长；(2)求△ADE的面积．例2．（2023·吉林·高三校联考竞赛）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E､F分别是AC､BC的中点，，则球O的表面积为____________.例3．（2023春·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为____________．例4．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为___________例5．（2023春·广西桂林·高三校考阶段练习）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，分别是，的中点，，则球的体积为（

）A． B． C． D．核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题【典型例题】例6．（2023春·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）平面四边形ABCD中，，AB=2，则AD长度的取值范围________.例7．（2023春·北京·高三北京市第一六一中学校考）三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________例8．（2023秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=4，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么点P到平面ABC的距离为___________.例9．（2023春·湖南衡阳·高三校考）设，，为正数，且，则（

）A． B． C． D．核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题【典型例题】例10．（2023春·北京·高三校考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（

）A． B．C． D．例11．（2023·全国·高三专题练习）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是A． B． C．2 D．例12．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题【典型例题】例13．（2023·全国·高三专题练习）已知矩形,,,将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,在翻折的过程中A．存在某个位置,使得直线和直线垂直B．存在某个位置,使得直线和直线垂直C．存在某个位置,使得直线和直线垂直D．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直例14．（2023春·湖南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为__________．例15．（2023秋·陕西宝鸡·高三陕西省宝鸡市长岭中学校考阶段练习）如图，用K，，三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，，正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为___________.例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统，．当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90．则系统N1正常工作的概率为___________，系统正常工作的概率为___________．【新题速递】一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）已知满足，若存在实数，使得不等式成立，则实数k的最小值为（

）A．-4 B．-1 C．1 D．42．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2023春·安徽淮北·高三淮北一中校考阶段练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则等于（

）A．0 B．2 C．4 D．84．（2023春·广东广州·高三校考）已知数列是公比不等于的等比数列，若数列，，的前2023项的和分别为，，9，则实数的值（

）A．只有1个 B．只有2个 C．无法确定有几个 D．不存在5．（2023春·山西太原·高三统考）下列结论正确的个数是（

）①已知点，则外接圆的方程为；②已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为；③已知点在圆上，，且点满足，则点的轨迹方程为.A．0 B．1 C．2 D．36．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（

）A． B． C． D．37．（2023·全国·高三专题练习）在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（

）A． B． C． D．二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知M为圆C：上的动点，P为直线l：上的动点，则下列结论正确的是（

）A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为9．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）函数，图像一个最高点是，距离点A最近的对称中心坐标为，则下列说法正确的有(

)A．的值是6B．时，函数单调递增C．时函数图像的一条对称轴D．的图像向左平移个单位后得到图像，若是偶函数，则的最小值是10．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知函数，若过点（其中是整数）可作曲线的三条切线，则的所有可能取值为（

）A．2 B．3 C．4 D．511．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知、分别是椭圆的左、右焦点，点A是椭圆C上一点，则下列说法正确的是（

）A． B．椭圆C的离心率为C．存在点A使得 D．面积的最大值为1212．（2023春·江苏南通·高三校联考）已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，，当时，都有；③，下列选项成立的是（

）A． B．若，则C．若， D．，使得三、填空题13．（2023·高三课时练习）如图，在三棱锥中，底面边长与侧棱长均为，点，分别是棱，上的点，且，，则的长为______．14．（2023秋·广东佛山·高三统考期末）若函数的图像在上恰好有一个点的纵坐标为