巩固练习-数列的求和问题-提高

【巩固练习】一、选择题1．已知函数f(n)n2当n为奇数时。且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋⋯＋a100等于()n2当n为偶数时A．0B．100C．－100D．102002．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且an1ananan1(n≥2)，则这个数列的第10项等于()an1an11B.1A.292101D.1C.5103．数列{an}中，an1，其前n项和为9，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0n(n1)10在y轴上的截距为()A．－10B．－9C．10D．94．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＞0，a8＜0，则下列结论正确的是()A．S7＜S8B．S15＜S16C．S13＞0D．S15＞05．（2016汕头模拟）已知数列an的前n项和为Sn，a11,Sn2an1，则当n1时，Sn=（）3n1n111A.B.2n1C.223D.2n113二、填空题6．(2015江苏)数列{an}满足a11，且an1ann1（nN*），则数列{1}的前10项和an为。7．求数列1，1，⋯，1，⋯的前n项和Sn=.1447(3n2)(3n1)8．已知函数f(x)＝3x2－2x，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数f(x)的图象上，bn3，Tn是数列{bn}的前n项和，则使得Tnm对所有n∈N*都成立的最小正整数m等于________．anan1202n-1，若已知f(0)12*，则9．设函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x＋⋯＋anx2，且数列{an}满足f(1)＝nan(n∈N)数列{an}的前n项和Sn＝________.10．已知函数f(x)＝log2x，若数列{an}的各项使得2，f(a1)，f(a2)，⋯，f(an)，2n＋4成等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝________.三、解答题11.求数列1，3，5，⋯，2n1，⋯的前n项和Sn.2482n12.已知数列1，3a，5a2，⋯，(2n1)an1，求此数列前n项和Sn.13．nd＝2，a2是a1与a4的等比中项．在等差数列{a}中，已知公差(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设bann1，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－⋯⋯＋(－1)nbn，求Tn．n214．已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{ann}的前n项和．215.(2016天津文)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且112,S663.a1a2a3(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{(1)nbn2}的前2n项和.【答案与解析】【答案】B【解析】由题意， a1＋a2＋⋯＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋⋯＋992－1002－1002＋1012＝(1＋2)＋(3＋2)＋⋯－(99＋100)＋(101＋100)＝100.【答案】D【解析】∵1anananan2，an1an11，∴an1an1211，∴1是首项为1，anan1an1an2公差为1的等差数列，∴11n，∴a101.2an25【答案】B【解析】数列{an}的前n项和为1111111111223n(n1)223nn1119，所以n＝9，于是直线(n＋1)x＋y＋n＝0即为10x＋y＋9＝0，所以其在y轴上的截距n110为－9.【答案】C【解析】因为公差非零的等差数列具有单调性 (递增数列或递减数列 )，由已知可知该等差数列 {an}是递减的，且S7最大即Sn≤S7对一切n∈N*恒成立．可见选项A错误；易知a16＜a15＜0，S16＝S15＋a16＜S15，选项B错误；S1515(a1a15)15a80，选项D错误；S1313(a1a13)13a70.22【答案】A【解析】 Sn 2an1,a1 1,a12a2,解得a21，2当n2时，Sn12an，an2an12an,化为an13an2数列an3从第二项起为等比数列，公比为2n1n1Sn2an12133。故选：A222【答案】2011an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1nn121n(n1)【解析】由题意得：21112(112n,S1020所以2(n),Sn)n111ann1n1故答案为：20117．【答案】n13n【解析】Sn1111447(3n2)(3n1)1[(11)(11)(121)]34473n3n11(11)n133n13n【答案】10【解析】由 Sn＝3n2－2n，得an＝6n－5，又∵bn31(11)，anan126n56n1∴Tn1(11)(11)(11)1(11)1，277136n56n126n12要使1(11)m对所有n∈N*成立，26n120只需m1，∴m≥10，故符合条件的正整数m＝10.202n9.【答案】n 111【解析】由f(0)得a122

.由f(1)＝n2an得a1＋a2＋⋯＋an＝Sn＝n2an，①所以当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1②，①－②得 an＝n2an－n2an－1－an－1＋2nan－1，(n2－1)an＝(n2－2n＋1)an－1，于是(n＋1)an(n－1)an－1，即ann1.an1n1因此ana1a2a3a4an1123n11，a1a2a3an12345n1n(n1)而an111，n(n1)nn1所以Sn1111111n1.223nnn10.【答案】16(4n1)3【解析】设等差数列的公差为d，则由题意，得2n＋4＝2＋(n＋1)d，解得d＝2，于是log2a1＝4，log2a2＝6，log2a3＝8，⋯，从而a1＝24，a2＝26，a3＝28，⋯.易知数列{an}是等比数列，其公比qa24，所a1以Sn244n116(4n1)．41311.【答案】Sn312n12n22n【解析】∵Sn13572n1248162n，11352n32n12Sn48162n2n1∴Sn1Sn122222n11112n12248162n2n122n1n1，2故Sn12n1.32n2n212.【解析】Sn13a5a2(2n1)an1，①当a0时，Sn1当a1时，Sn135(2n1)n[1(2n1)]n2.2当a0且a1时，aSna3a25a3(2n3)an1(2n1)an②由①-②得：(1a)Sn1(2a2a22a32an1)(2n1)an12a(1an1)(2n1)an1a∴Sn2(aan)1(2n1)an(1a)21a.13．【解析】(Ⅰ)∵a2是a1与a4的等比中项，a22＝a1a4，∵在等差数列{an}中，公差d＝2，(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即(a1＋2)2＝a1(a1＋3×2)，化为 ，解得a1＝2．an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n．(Ⅱ)∵bn ann1 nn 1，2Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－⋯⋯＋(－1)nbn＝－1×(1＋1)＋2×(2＋1)－⋯⋯＋(－1)nn?(n＋1)．当n＝2k(k∈N*)时，b2k－b2k－1＝2k(2k＋1)－(2k－1)(2k－1＋1)＝4kTn＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋⋯⋯＋(b2k－b2k－1)＝4(1＋2＋⋯⋯＋k)kk 1＝42＝2kk 1nn22当n＝2k－1(k∈N*)时，Tn＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋⋯⋯＋(b2k－2－b2k－3)－b2k－1n1n1nn12n122nn2，n2kkN*2．故Tn12n，n2k1kN*214．【解析】2(1)方程x－5x＋6＝0的根为2，3．又{an}是递增的等差数列，故a2＝2，a4＝3，可得2d＝1，d＝1，2故an＝2＋(n－2)×1＝1n＋1，2 2n设数列{n}的前n项和为Sn，2Sna1a2a3an1an，①2122232n12n1a1a2a3an1an2Sn222324＋2n2n1，②311）（1a11111an21412n1an①－②得2Sn2d(222324＋2n)2n122112n1，231(11n2n4解得Sn)2．442n12n22n1【解析】（1）解：设数列{an}的公比为q，由已知有112a1(1q6)a1a1qa1q2，解之可得q=2，q=－1，又由Sn631q知q≠－1，所以a1(12)663，