（新课改地区）2021届高考数学一轮复习课件：第二章函数及其应用2.9函数模型及其应用

第九节函数模型及其应用【教材·知识梳理】1.几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)反比例函数模型f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)幂函数模型f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增减性单调_____单调_____单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大,逐渐表现为与____平行随x的增大,逐渐表现为与____平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax递增递增y轴x轴【常用结论】“对勾”函数：形如f(x)=x+(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(-∞，-]和[，+∞)上单调递增，在[-，0)和(0，]上单调递减.(2)当x>0时，x=时取最小值2，当x<0时，x=-时取最大值-2.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大. (

)(2)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻. (

)(3)幂函数增长比直线增长更快. (

)(4)不存在x0,使 (

)提示:(1)×.当x=-1时,2-1<(-1)2.(2)×.“指数爆炸”是针对b>1,a>0的指数型函数y=a·bx+c.(3)×.幂函数增长速度是逐渐加快的,当变量较小时,其增长很缓慢,题目说的太绝对,也没有任何条件限制.(4)×.当a∈(0,1)时存在x0,使【易错点索引】序号易错警示典题索引1忽略图象的横纵坐标的意义考点一、T12忽略图象的变化趋势考点一、T2、43忽略函数的表示方法(列表)考点二、T34忽略自变量的取值考点三、角度15忽略基本不等式成立的条件考点三、角度2【教材·基础自测】1.(必修1P67例4改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是(

)A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元【解析】选D.由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3∶1,故A正确;由题图可知,7月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B正确;由题图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C正确;由题图可知,前6个月的平均收入为×(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D错误.2.(必修1P69习题2-3AT7改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为______万件.

【解析】利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.答案:183.(必修1P120巩固与提高T9改编)某动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,则到第8年繁殖到________只.

【解析】依题设知alog33=100,a=100.当x=8时,y=100log39=200.答案:200【核心素养】数学建模——解决实际问题中的函数模型的应用

【素养诠释】数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题.在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤:(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型.(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的函数模型.(3)解模:求解函数模型,得出数学结论.(4)还原:将数学结论还原为实际意义的问题.【典例】牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).(1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域.(2)求羊群年增长量的最大值.(3)当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.【解析】(1)根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为故空闲率为由此可得(2)由(1)知即当时,y取