正弦函数和余弦函数图像与性质

..6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入1、复习〔1函数的概念在某个变化过程中有两个变量、,若对于在某个实数集合内的每一个确定的值,按照某个对应法则,都有唯一确定的实数值与它对应,则就是的函数,记作,。〔2三角函数线设任意角的顶点在原点,始边与轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,过作轴的垂线,垂足为；过点作单位圆的切线,设它与角的终边〔当在第一、四象限角时或其反向延长线〔当为第二、三象限角时相交于.规定：当与轴同向时为正值,当与轴反向时为负值；当与轴同向时为正值,当与轴反向时为负值；当与轴同向时为正值,当与轴反向时为负值；根据上面规定,则,由正弦、余弦、正切三角比的定义有：；；；这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线。二、讲授新课[问题驱动1]——结合我们刚学过的三角比,就以正弦<或余弦>为例,对于每一个给定的角和它的正弦值<或余弦值>之间是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义；若不存在,请说明理由．1、正弦函数、余弦函数的定义〔1正弦函数：；〔2余弦函数：[问题驱动2]——如何作出正弦函数、余弦函数的函数图象？2、正弦函数的图像〔1的图像[方案1]——几何描点法步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线〔正弦线得三角函数值；步骤2：描点——平移定点,即描点；步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点小结：几何描点法作图精确,但过程比较繁。[方案2]——五点法步骤1：列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标；步骤2：描点——定出五个关键点；步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结五个点小结：的五个关键点是、、、、。〔2的图像由,所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状一样,只是位置不同.于是我们只要将函数的图像向左、右平行移动<每次平行移动个单位长度>,就可以得到正弦函数的图像。3、余弦函数的图像〔1的图像〔2的图像图像平移法由,可知只须将的图像向左平移即可。三、例题举隅例、作出函数的大致图像；[设计意图]——考察利用"五点法"作正弦函数、余弦函数图像[解]①列表②描点在直角坐标系中,描出五个关键点：、、、、③连线练习、作出函数的大致图像二、性质1．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或<－∞,＋∞>］,分别记作：y＝sinx,x∈Ry＝cosx,x∈R2．值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,所以｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,即－1≤sinx≤1,－1≤cosx≤1也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是［－1,1］其中正弦函数y=sinx,x∈R①当且仅当x＝＋2kπ,k∈Z时,取得最大值1②当且仅当x＝－＋2kπ,k∈Z时,取得最小值－1而余弦函数y＝cosx,x∈R①当且仅当x＝2kπ,k∈Z时,取得最大值1②当且仅当x＝<2k＋1>π,k∈Z时,取得最小值－13．周期性由sin<x＋2kπ>＝sinx,cos<x＋2kπ>＝cosx<k∈Z>知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。一般地,对于函数f<x>,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f<x＋T>＝f<x>,那么函数f<x>就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。由此可知,2π,4π,……,－2π,－4π,……2kπ<k∈Z且k≠0>都是这两个函数的周期对于一个周期函数f<x>,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f<x>的最小正周期。4．奇偶性由sin<－x>＝－sinx,cos<－x>＝cosx可知：y＝sinx为奇函数,y＝cosx为偶函数∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称5．单调性结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ,＋2kπ］<k∈Z>上都是增函数,其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ,＋2kπ］<k∈Z>上都是减函数,其值从1减小到－1。余弦函数在每一个闭区间［<2k－1>π,2kπ］<k∈Z>上都是增函数,其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ,<2k＋1>π］<k∈Z>上都是减函数,其值从1减小到－1y=sinxy=cosx图象定义域RR值域[-1,1][-1,1]最值当且仅当x＝＋2kπ,k∈Z时,取得最大值1当且仅当x＝－＋2kπ,k∈Z时,取得最小值－1当且仅当x＝2kπ,k∈Z时,取得最大值1当且仅当x＝<2k＋1>π,k∈Z时,取得最小值－1周期性2p2p奇偶性奇函数偶函数单调性在闭区间［－＋2kπ,＋2kπ］<k∈Z>上单调递增,；在闭区间［＋2kπ,＋2kπ］<k∈Z>上单调递减在闭区间［<2k－1>π,2kπ］<k∈Z>上单调递增；在每一个闭区间［2kπ,<2k＋1>π］<k∈Z>上单调递减典型例题〔3个,基础的或中等难度例1：求使下列函数取得最大值的自变量x的集合,并说出最大值是什么。〔1y＝cosx＋1,x∈R；〔2y＝sin2x,x∈R解：〔1使函数y＝cosx＋1,x∈R取得最大值的x的集合,就是使函数y＝cosx,x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ,k∈Z｝。∴函数y＝cosx＋1,x∈R的最大值是1＋1＝2。〔2令Z＝2x,那么x∈R必须并且只需Z∈R,且使函数y＝sinZ,Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ,k∈Z｝由2x＝Z＝＋2kπ,得x＝＋kπ即使函数y＝sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ,k∈Z｝∴函数y＝sin2x,x∈R的最大值是1。例2：求下列函数的单调区间〔1y＝－cosx〔2y=sin<4x->〔3y=3sin<-2x>解：〔1由y＝－cosx的图象可知：单调增区间为［2kπ,<2k＋1>π］<k∈Z>单调减区间为［<2k－1>π,2kπ］<k∈Z>〔2当2kπ-≤4x-≤2kπ+,∴函数的递增区间是[-,+]<k∈Z>当2kπ+≤4x-≤2kπ+∴函数的递减区间是[+,+]<k∈Z>〔3当2kπ-≤-2x≤2kπ+时,函数单调递减,∴函数单调递减区间是[kπ-,kπ+]<k∈Z>当2kπ+≤-2x≤2kπ+时,函数单调递增,∴函数单调递减区间是[kπ+,kπ+]<k∈Z>例3：求下列三角函数的周期：<1>y=sin<x+><2>y=cos2x<3>y=3sin<+>解：<1>令z=x+而sin<2+z>=sinz即：f<2+z>=f<z>f[<x+2>+]=f<x+>∴周期T=2.<2>令z=2x∴f<x>=cos2x=cosz=cos<z+2>=cos<2x+2>=cos[2<x+>]即：f<x+>=f<x>∴周期T=。<3>令z=+则f<x>=3sinz=3sin<z+2p>=3sin<++2>=3sin<>=f<x+4>∴周期T=4。注：y＝Asin<ωx＋φ>的周期T=。〔四课堂练习〔2个,基础的或中等难度1、求使下列函数y=3-cos取得最大值的自变量x的集合,并说出最大值是什么。解：当cos=-1,即=2kp+p,k∈Z,∴{x|x=4kp+2p,k∈Z},y=3-cos取得最大值。2、求y=的周期。解：∵y==<1-cos2x>=-cos2x,∴T=p。3、求函数y=3cos<2x+>的单调区间。解：当2kπ≤2x+≤2kπ+p时,函数单调递减,∴函数的单调递减区间是[kπ-,kπ+]<k∈Z>当2kπ-p≤2x+≤2kπ时,函数单调递增,∴函数的单调递增区间是[kπ-,kπ-]<k∈Z>〔五拓展探究〔2个1、求下列函数的周期：〔1y=sin<2x+>+2cos<3x->〔2y=|sinx|〔3y=2sinxcosx+2cos2x-1解：〔1y1=sin<2x+>最小正周期T1=y2=2cos<3x->最小正周期T2=∴T为T1,T2的最小公倍数2∴T=2〔2T=〔3y=sin2x+cos2x=2sin<2x+>∴T=2、求下列函数的最值：〔1y=sin<3x+>-1〔2y=sin2x-4sinx+5〔3y=解：〔1当3x+=2k+即x=<kZ>时,ymax=0当3x+=2k-即x=<kZ>时,ymin=-2〔2y=<sinx-2>2+1∴当x=2k-kZ时,ymax=10当x=2k-kZ时,ymin=2〔3y=-1+当x=2k+kZ时,ymax=2当x=2kkZ时,ymin=作业一、填空题1、函数y=cos<x->的奇偶性是_________________。2、函数y=-5sinx+1的最大值是__________,此时相应的x的值是________________。3、函数y=sinxcosx的最小正周期是_________。4、函数y=sinxcos<x+>+cosxsin<x+>的最小正周期是________。5、函数y=3cos<2x+>的单调递减区间是___________________。6、函数y=sinx和y=cosx都为减函数的区间是___________________。7、函数y=sin<-2x>的单调递增区间是________________________。8、已知函数y=f<x>是以为周期,且最大值为3,最小值为-1,则这个函数的解读式可以是________________。二、选择题1、函数y=sinx,x∈[,]的值域是〔〔A[-1,1]〔B[,1]〔C[,]〔D[,1]2、下列函数中,周期是的函数是〔〔Ay=sinpx〔By=cos2x〔Cy=sin〔Dy=sin4kπ3、下列函数是奇函数的是〔〔Ay=sin|x|〔By=xsin|x|〔Cy=-|sinx|〔Dy=sin<-|x|>4*、函数y=sin<2x+>+cos<2x+>的最小正周期和最大值分别为〔〔Ap,1〔Bp,〔C2p,1〔D2p,三、解答题1、已知函数y=acosx-2b的最小值为-2,最大值为4,求a和b的值。2、求函数y=2+5cosx-1的值域。3、判断下列函数的奇偶性：〔1y=cos<2x->；〔2y=xsinx+cos3x4、求函数y=-sinxcosx的单调区间。一、填空题1、奇函数；2、6,{x|x=2kπ-,k∈Z}；3、p；4、π；5、[kπ-,kπ+]<k∈Z>；6、[2kπ+,2kπ+p]<k∈Z>7、[kπ+,kπ+]<k∈Z>；8、y=2sin6x+1〔答案不唯一二、1、B；2、D；3、B；4