高教五版高数(经济类)定积分的概念与性质随堂讲义

30一月20231高等数学多媒体课件华南农业大学理学院数学系牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）30一月20232第五章定积分及其应用（DefiniteIntegralsanditsApplication）积分学不定积分定积分30一月20233主要内容第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的计算方法第四节广义积分

第五节定积分的应用第六节经济应用Ⅴ

30一月20234第一节定积分的概念与性质

第五章（ConceptionsandPropertiesof

DefiniteIntegrals）一、引例二、定积分的定义四、定积分的性质三、定积分的几何意义30一月20235一、引例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积30一月202361)

大化小.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

常代变.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得解决步骤:30一月202374)取极限.令则曲边梯形面积3)近似和.30一月20238设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得已知速度n

个小段过的路程为2.变速直线运动的路程30一月202394)取极限.上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限3)近似和.30一月202310二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限

I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称

f(x)在[a,b]上可积

.记作30一月202311积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即30一月202312定理1定理2且只有有限个间断点可积的充分条件:应当指出的是，30一月202313曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和定积分的几何意义:30一月20231430一月202315四、定积分的性质（设所列定积分都存在）(k为常数)证:=右端30一月202316证:

当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取

c

为分点,于是30一月202317则有当a,b,c

的相对位置任意时,例如30一月202318则证:推论1若在[a,b]上则6.若在[a,b]上30一月202319证:即7.

设则推论2积分估值定理30一月202320证:例3（补充题）试证:在区间[0,1]上单调递增，利用积分估值定理，得30一月202321则至少存在一点使证:则由性质7

可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.8.

积分中值定理30一月202322

可把故它是有限个数的平均值概念的推广.

积分中值定理对因说明:30一月202323内容小结1.定积分定义——乘积和式的极限2.定积分的几何意义3.定积分存在的2个充分性条件4.定积分的7条基本性质课后练习习题5-130一月202324思考与练习1.

用定