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哈尔滨理工大学2002年高等数学试题姓名：学号：专业：一二三四五——八七八九十总分一、填空(每小题4分，共计32分)1、已知f(x)在(-3,+3)内可导，且limf'(x)=e2x—3lim(X+a)x=limf(x)-f(x一1)],则a=x—3x一a x—3V2、 设函数V=v(x)是由x3+V3-3axy=0(a>0)确定，0lim—=x—+3x3、 设圆锥面的顶点在原点，且三个坐标轴的正半轴都在其上，则圆锥面的方程为。4、已知y〃+(x+e2y)(y')3=0，则方程的通解为。5、 已知级数切un的一般项气与前n项的和s有如下关系：n=1(n>2)，且"]=22s(n>2)，且"]=2则级数切unn=16、，则f(x)+f(1-x)+Inx-ln(1-6、，则f(x)+f(1-x)+Inx-ln(1-x)=n=17、z=\x2+y2一2x一4y+9+yx2+y2一6x+2y+11的最小值为7、8、设Q是由z=xy，x+y+z=1与z=0围成的区域，则如xdV=<8、QTOC\o"1-5"\h\z二、(7分)设函数f(x)满足f(1)=1，且对x>1时，有f'(x)= -，x2+f2(x)n证明：(1)limf(x)存在，(2)limf(x)<1+-0x—3 x—3 4三、 (8分)设f(x)在［0,1］上连续，且j'f(x)dx=0，f1xf(x)dx=0，……，0…0J1xn-1f(x)dx=0，J1xnf(x)dx=1，证明：存在&e［0,1］，使0 0If(提|>2n(n+1)四、 (8分)证明：内切于一给定正方形的所有椭圆中，以圆的周长为最大。

五、设f3,y)有二阶连续偏导数，u=j2兀f(rcos0,rsin0)d0，且0—=j2f(rcos0,rsin0)d0,^-^=j2f(rcos0,rsin0)d0dr0dr dr2 0dr2f"+f"=1，求rd2U+半的值。11 12r dr2dr六、 (8分)设f(x)在[1,+8)上有连续的二阶导数，f(1)=0，f'(1)=1,且, 、一 、 合2Z合2Z二元函数z=(X2+y2)f(x2+y2)满足—+—=0，求f(x)在[1,+8)的最大值。七、 (7分)计算曲面积分jjyz(y—z)dydz+xz(z—x)dzdx+xy(x—y)dxdy， -一，3、 ■其中£是曲面z=,,：4Rx—x2—y2(R>1)在柱面(x—^)2+y2=1之内部分的上侧。八、（7分）设区域D为x2+y2<1，证明八、（7分）-^-n<jjsin"x2+y2)3dxdy<—n165 5D九、（8分）设f(x)=一1——，a=1f(n)(0)，证明级数黄""+九、（8分）并求其和。十、（8分）1—x—x2 nn! 0并求其和。十、（8分）计算曲线积分j(x2+y2dx+y[xy+ln(x+^x2+y2)]dy其中L是曲线y=5+1从点A(1,2)到点C(0,1)的部分。7、判别级数的敛散性8 3n⑵z云―74n—2nn=18、求解微分

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