圆环形电流的磁场分布

圆环形电流的磁场分布福建省石狮市石光中学陈龙法摘要本文详细推算出圆环形电流的磁场分布（包括磁标势、磁感应强度），证明了圆电流平面上圆内的磁感应强度为r的单调增函数，且在圆心处磁感应强度有极小值。设圆环形电流强度为I，圆半径为R0，以圆心为原点，过圆心垂直于圆面的轴为极轴，建立球坐标系。如图所示。用半径为R0的球面把整个空间分成两个区域，在这两个区域内，磁场的标势分别满足拉普拉斯方程V2。mi=0 （r<RV2。mi=0 （r<R0）， V2。m2=0 （r>R0）由于具有轴对称性，磁标势与方位角祖无关，所以满足边界条件。_10^有限，ml的通解可取为：。=ZmlnarnP(cos0)^n~P(cos6)rn+1nr>8，有限（r<R0）（r>R0）r=Rr=R0的球面上，。和。满足边值关系:ml m2ex©。2-V。1）=e•(V^-V。)=0解上列⑴⑵⑶⑷式得:bdP(cos0)a一 f£bdP(cos0)a一 fn0 d6nZEPn(cos0)+£naRn-1n0Rn-1PGos6)=0其中，面电流密度afn56—-l2)，I是圆环中的电流强度—。56—-l2)可按连带勒让德函数展开:雨*卜£fP(cos耽£曰I2)nn 2

又P(cosO)=—当g, P，(0)=0, P,(0)=(-1>J2^n d。 2k 2E (k!力22k于是⑸⑹式可化为:aRn-in0nkP<(cos0)=-—£naRn-iaRn-in0nk―—Rn+20 /(n+―—Rn+20 /(n+1》■R+rPn(cos0)+£naRn-iP(cos。)=0于是得到系数a”和气满足的方程:aRn-aRn-1———n—=0---2n+\p，g)R2n(n+1/n0aR2n+1=0解⑻⑼式，当n=2k时，有:—aR4k+1=0+———aR4k+1=02k+12k0这是关于。2k和«k的齐次方程组，其系数行列式—R4k+12kR4k+1*02k+10所以方程组只有零解，即a=b=0 (10)当n=2k+1时，有：aR2k-—=(-1)k+号4^±^寒2k+10R2k+3 R(2k+2龙2k+1(k!/2b2k+1+竺±1a R4kb2k+12k+22k+10解得:a2k+1=(-1)k+1I <2k)R2k+1SI22k+10(IDb =("2k+2,Gk+出)(12)2k+1 0(2k+2)22k+1(k\)2(12)由(10)(11)(12)及⑴⑵式，得到球内外的磁标势：0二£(-1*1二J^kLr2k+1P (cos6)R2k+1(k\)222k+1 2k+1k0ml(r<R0)(13)(r>R0)(14)=£(—1)k+1IR2k+2 P((r>R0)(14)0 (2k+2)k!力22k+1r2k+22k+1k于是球内外的磁感应强度为:B=wV0=Z(-1口『毕)仁TlGk+1)P(cos6\+dP.k,1(cos6)eTOC\o"1-5"\h\z1 0m1 0k R0砖31用L 2k+1 r d6 6(r<R0) (15)B=_^VOgE1)L %；? [RTkk+2)P《。小-dP2k+1(cos6)e2 0 m2 0R(2k+2贝\力22k+1(rJ 2k+1 r d6 'k 0(r>R0) (16)根据(15)(16)式，当6=；时，利用P (0)=0,吧k+1%s6)=(-1)kGk+1)2k+1 d(cos6) (k!)222k便得到圆电流平面上圆内和圆外的磁感应强度为:其中B1(r)=虹其中B1(r)=虹X0kB2(r)=RX0a_ [(2k+1)Lk_(2k+1)24k(k\)42ke62k+3e6(r<R0)(r>R0)g= [(2k+1)1k_(2k+2)24k(k\)4(17)(18)从7式知，当Q>0,故圆