八个无敌模型-全搞定空间几何的外接球和内切球问题-

八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球文：付雨楼、段永建今天给大家带来8个求解立体几何内切球与外接球半径的模型，本文最开始源自付雨楼老师分享的模型，教研QQ群(群号：545423319)成员段永建老师进一步作图编辑优化分享。例1(1)例1(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是(C)A.16冗 B.20K C.24兀 D.32冗ACB(3)题ACB(3)题-1(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为%回，则其外接球的表面积是 9冗解：(1)V=a2h=16,a=2,4R2=a2+a2+h2=4+4+16=24,S=24冗，选C；4R2=3+3+3=9,S=4兀R2=9兀(3)在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM±MN，若侧棱SA=2后，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是 。36冗解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图(3)-1,取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD,AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，丁•SH1平面ABC,「.SH±AB,0AC=BC,AD=BD，.二CD1AB，.二AB1平面SCD,・••AB1SC,同理：BC1SA,AC1SB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图(3)-2,0AM1MN,SB//MN,「.AM1SB,0AC1SB，.二SB1平面SAC,1

「.SB±SA,SB±SC,0SB±SA,BC±SA,二.SA1平面SBC，.;^A±SC，故三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，「.(2R)2=(2*3)2+(2<3)2+(2<3)2=36，即故三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，（4）在四面体S-ABC中，SA1平面ABC(3)（4）在四面体S-ABC中，SA1平面ABC(3)题-2B.7九/BAC=120。,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接球的表面积为（D）B.7九D.&3（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为 解析：(4)在AABC解析：(4)在AABC中，BC2=AC2+AB2—2AB•BC•cos1200=7，BC= ，AABC的外接球直径为2r=BCsin/BAC<3247 “40c40冗(2R)2=(2r)2+SA2=(——)2+4=——，S= ，选Dv33 3（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b,c（a,b,cgR+），则'ab=12<Cc=8 ，/. abc=24，:.a=3，b=4，c=2，(2R)2 =a2+b2+c2 =29，S =4兀R2 =29兀，ac=6.一一3一v-3(6)(2R)2=a2+b2+c2=3，R2=，R=——41 2V=4兀R3=4兀.至3=亘兀3 3 8 2类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）.题设：如图5,PA1平面ABC解题步骤：

第一步：将AABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：O为^ABC的外心，所以OO1平面ABC，算出小圆O的半径O1D=r(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得sinAsinBsinC第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2=PA2+(2r)2o2R=、P)/22+(2r)2；②R2=r2+OO2oR=r,r2+OO21 1.题设：如图6,7,8,P的射影是AABC的外心o三棱锥P-ABC的三条侧棱相等o三棱锥P-ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点图7-2图7-1图8图8-2图图7-2图7-1图8图8-2图6第一步：确定球心O的位置，取AABC的外心O，则P,O,O三点共线;第二步：先算出小圆O的半径AO=r，再算出棱锥的高PO]=h第二步：先算出小圆O的半径AO=r，再算出棱锥的高PO]=h(也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：OA2=OA2+OO2nR2=(h—R)2+r2，解出R1方法二：小圆直径参与构造大圆。例2一个几何体的三视图如右图所示16rt则该几何体外接球的表面积为()C3九2九D.以上都不对解：选C,(<3—R)2+1=R2,3—2<3R+R2+1=R2,4—2v/3R=0,c2 「16R=—=,S=4兀R2=兀<3 31.题设：如图9-1,平面PAC±平面ABC,且AB±BC（即AC为小圆的直径）第一步：易知球心O必是APAC的外心，即APAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC=2r；第二步：在APAC中，可根据正弦定理-^―=—[=一==2R，求出RsinAsinBsinC.如图9-2,平面PAC±平面ABC,且AB±BC（即AC为小圆的直径）OC2=01c2+O1O2=R2=r2+O]O2=AC=2、『R2—Op.如图9-3,平面PACI平面ABC，且AB±BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是AABC的外心=三棱锥P-ABC的三条侧棱相等=三棱P-ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取AABC的外心Oj则P,O,O]三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径AO1=r，再算出棱锥的高PO「h（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2=OA2+OO2nR2=（h—R）2+r2，解出R11.如图9-3,平面PAC±平面ABC,且AB±BC（即AC为小圆的直径），且PA±AC,则|利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①（2R）2=PA2+（2r）202R=、、P2+（2r）2；②R2=r2+OO2OR=Jr2+OO2' 1

例3（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2回，则该球的表面积为。（2）正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为v：2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为一解：（1）由正弦定理或找球心都可得2R=7，S=4兀R2=49兀，4兀（2）方法一：找球心的位置，易知丫=1，h=1，h=人故球心在正方形的中心ABCD处，R=1，V=—方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是ASAC的外接圆，此处特殊，RtASAC的斜边是球半径，4兀R=2，R=1，V=——3（3）在三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC=v3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60。，则该三棱锥外接球的体积为（）A.九C.4A.九、.；3解：选D,圆锥A,B,C在以r=—的圆上，R=1（4）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的求面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）AA.~6~B.<3C.A.~6~B.<3C.解：OO]解：OO]=\'R2一r2=J1一Gy-)2=浮,h=^3-,V=1Sh,亘殳=立类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图10-1图10-3图10-1图10-3题设：如图10-1,图10-2,图10-3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O的位置，O]是AABC的外心，则OO]1平面ABC；第二步：算出小圆O的半径AO=r,OO=1AA=1h（AA=h也是圆柱的高）；1 1 12 12 1

第三步：勾股定理：OA2=O1A2+O1O2nR2=(g)2+丫2nR7r2+(g”，解出RTOC\o"1-5"\h\z例4(1)一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9 .且该六棱柱的体积为3,底面周长为3，则这个球的体积为 8. 1解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为r，则a=-，底面积为S=6•=•(?)2=^^，V=Sh=^^~h=&，/.h=v：3，R2=(=)2+(()2=1，4 2 8柱8 8 2 24冗R=1，球的体积为V=--(2)直三棱柱ABC—AB1cl的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=叫=2,/BAC=120°，则此球的表面积等于 。2“3解：BC=2、3，2r=—--=4，r=2，R=丫5，S=2加sin120。(3)已知AEAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3,AD=2,/AEB=60°，则多面体E—ABCD的外接球的表面积为。16冗解析：折叠型，法一：AEAB的外接圆半径为r1=v3，OO1=1，TOC\o"1-5"\h\z- 山'3 JU 313. 一R=y1+3=2；法二：OM=—，r=OD= ，R2=—+=4，R=2，S=16几1 2 2 2 2 44， ， 兀 ，(4)在直三棱柱ABC—ABC中，AB=4,AC=6,A=—,AA=4则直三棱柱ABC—ABC的外接球160的表面积为。—冗解析：BC2=16+36-2•4•6•1=28，BC=2<7R2=R2=r2+（空）228/40——+4=——c2M4d 2-,;72r=——=^^，r=—，<3个3 %3类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)图11图11第一步：先画出如图所示的图形，将业CD画在小圆上，找出ABCD和AA'BD的外心H1和H2；第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心°，连接OEM；第三步：解AOEH1，算出OH1，在RtAOCH1中，勾股定理：OH1+CH12=OC2例5三棱锥P—ABC中，平面PAC±平面ABC，△PAC和^ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC外接球的半径为 .解析：2r=2r= =，r=rsin60o,3 1 2OH=-L2解析：2r=2r= =，r=rsin60o,3 1 2OH=-L2 <3R2=O2H2+r2=L4=533OH=1=，AH=1，1v3PR2=AO2=AH2+OH2+OO2=5<15，R=.3类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为凡b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组,<b2+c2=y2n(2R)2=a2+b2+c2=补充：匕.BCD=abc-1abcx4=1abc第三步：根据墙角模型，2R=a22+b2+c2=,x2+y2+z2； 2_x2+y2+z2 _，r=-,——y—^，求出r，8例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.(1)题解答图(2)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()(1)题解答图TOC\o"1-5"\h\zA.疸 B.国 C.亘 D.国4 3 4 12解：(1)截面为A尸。01,面积是%；2；(2)高h=R=1，底面外接圆的半径为R=1,直径为2R=2,设底面边长为a，则2R= a=2,a=v3,S=+a2= ,sin60o 4 41- .3三棱锥的体积为v=3Sh=—29——兀2(3)在三棱锥A—BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,则三棱锥A—29——兀2面积为解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c,则a2+b2=9,b2+c2=4,c2+a2=16a2(a2+b2+c2)=9+4+16=29,2(a2+b2+c2)=9+4+16=29,, 29 …29 「29a2+b2+c2= ,4R2= ,S=冗2 2 2(4)如图所示三棱锥A—BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7,则该三棱锥外接球的表面积为.解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c,2(a2+b2+c2)=25+36+49=110,a2+b2+c2=55,4R2=55,S=55几【55冗；对称几何体；放到长方体中】(5)正四面体的各条棱长都为“：2，则该正面体外接球的体积为 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R=<3,,,类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型A图13A图13题设：/APB=/ACB=90o，求三棱锥P—ABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点0，连接OP,OC，则OA=OB=OC=OP=1AB，.二O为三棱锥P—ABC外接球球心，然后在OCP中求出半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例7(1)在矩形ABCD中，AB=4,则四面体ABCD的外接球的体积为例7(1)在矩形ABCD中，AB=4,则四面体ABCD的外接球的体积为BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B—AC—D,125A.——兀12125B.——兀

9)125C.——兀解：(1)2R=AC=5,R—5(2)在矩形ABCD中，AB=2,的外接球的表面积为 ■6「 4八4V——兀R3——兀.3 3125D.——兀

3125125兀，选CBC=3,沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC,所得三棱锥A-BCDB图14图15第三步：解出B图14图15第三步：解出r=解析：(2)BD的中点是球心O,2R=BD=v13,S=4兀R2=13兀；类型八、锥体的内切球问题.题设：如图14,三棱锥P-ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；第二步：求DH=gBD,PO=PH-r,PD是侧面AABP的高；第三步：由APOE相似于APDH，建立等式：OE=PO，解出rDHPD.题设：如图15,四棱锥P-ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；第二步：求FH=1BC,PO=PH-r,PF是侧面APCD的高；OGPO第三步：由APOG相似于APFH，建立等式：--— ，解出HFPF.题设：三棱锥P-ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r,建立等式：VPABC=VOABC+VOPAB+VOPAC+VOPBCnV=1S-r+1S,r+1S,r+1S,r=1(S+S+S+S)-rP-ABC3AABC 3PAB3PAC3PBC3 AABC APAB PAC APBC3V PABC O-ABC+O-PAB+O-PAC+O-PBC习题：.若三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2,SB=SC=4,则该三棱锥的外接球半径为(A.3 B.6 C.36 D.9

解：【A】(2R)2=、4+16+16=6,R=3TOC\o"1-5"\h\z【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】_ _.三棱锥S-ABC中，侧棱S