八年级数学竞赛例题专题讲解17：等腰三角形的判定

专题17等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结..等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等..证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等.善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧.常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线.如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC中，AB=7,AC=11,点M是BC的中点，AD是NBAC的平分线，MF//AD，则CF的长为.（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M”.【例2】如图，在"BC中，NB=2NC,则AC与2AB之间的关系是（ ）A.AC>2AB B.AC=2ABC.ACW2AB D.AC<2AB（山东省竞赛试题）解题思路：如何条件NB=2NC,如何得到2AB，这是解本题的关键.

【例3】两个全等的含300,600角的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD中点M，连结ME，MC，试判断△EMC的形状，并说明理由.（山东省中考试题）解题思路：从八ADE/△BAC出发，先确定"DB的形状，为判断^EMC的形状奠定基础.【例4】如图，已知在^ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于耳，求证：AF=EF.（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明/FAE=ZAEF,利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形.【例5】如图，在等腰"BC中，AB=AC,ZA=200,在边AB上取点D，使AD=BC,求NBDC度数.（"祖冲之杯"竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300,这些角并不是特殊角，但它们的差却为600,600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口.如图1,以BC为边在△ABC内作等边^BCO；如图②，以AC为边作等边△ACE.BC图1

BC图1能力训练A级.已知4ABC为等腰三角形，由顶点A所引BC边的高线恰等于BC边长的一半，则ZBAC=..如图，在RtAABC中，ZC=900,ZABC=66o,AABC以点C为中点旋转到△A，B‘C的位置，顶点B在斜边A，B上，A，C与AB相交于。，则ZBDC=.（第2题） （第3题） （第4题）.如图,△ABC是边长为6的等边三角形，DE±BC于E,EF±AC于F,FD±AB于D,则AD=.（天津市竞赛试题）TOC\o"1-5"\h\z.如图，一个六边形的六个内角都是1200,其连续四边的长依次是1cm,9cm,9cm,5cm,那么这个六边形的周长是 cm.（"祖冲之杯"邀请赛试题）.如图，1BC中，AB=AC,ZB=360,D、E是BC上两点，使ZADE=ZAED=2ZBAD,则图中等腰三角形共有（ ）A.3个 B.4个C.5个 D.6个.若^ABC的三边长是a，b,c,且满足a4=b4+c4-b2c2,b4=a4+c4-a2c2,c4=a4+b4-a2b2，则△ABC（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形（"希望杯"邀请赛试题）.等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）A.300 B.300或1500 C.1200或1500 D.300或1200或1500（"希望杯"邀请赛试题）.如图，已知Rt^ABC中，ZC=900,ZA=300,在直线BC或AC上取一点P，使得AAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）A.2个 B.4个 C.6个 D.8个（江苏省竞赛试题）

第5题图第8题图第5题图第8题图第9题图.如图在等腰RtAABC中，/ACB=900,D为BC中点，DE±AB，垂足为E，过点B作BF//AC交DE的延长线于点F,连接CF交AD于G.⑴求证：AD±CF；⑵连结AF,度判断△ACF的形状，并说明理由..如图，△ABC中，AD±BC于D,ZB=2ZC,求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）.如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得4CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：4CMN是等边三角形.（江苏省竞赛试题）12.如图112.如图1,Rt△ABC中，ZACB=900,CD±AB，垂足为D,CB于点F.图1图1⑴求证：CE=CF；⑵将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A'D'E的位置，使点£落在BC边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论.（山西省中考试题）B级.如图，△ABC中，AD平分/BAC,AB+BD=AC,则NB：ZC的值二（第1题） （第2题）.如图，△ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若NBAC+NDAE=1500,则NBAC的度数是.在等边IBC所在平面内求一点P，使"4B、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有4.交AD、如图，在△ABC中，NABC=600,NACB=45o4.交AD、如图，在△ABC中，NABC=600,NACB=45o,AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别CF于Q、S,则图中的等腰三角形的个数是234)55.A如图，在五边形ABCDE中A.300B.450NA=NB=1200C.600EA=AB=BC=-DC=-DE，则ND=( )D.67.50（"希望杯"竞赛试题）6.如图，NMAN=160,A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA］，再在AM上取一点A3,6.使A3A2=A2Al，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ）A.A5 B.A6 C.A7 D.A8.若P为^ABC所在平面内一点，且NAPB=ZBPC=ZCPA=1200,］则点P叫作△ABC的费尔马点，如图1.⑴若点P为锐角△ABC的费尔马点，且NABC=600,PA=3,PC=4,则UPB的值为.⑵如图2,在锐角△ABC外侧作等边△ACB，，连结BB，.求证：BB，过△ABC的费尔马点P，且BB'=PA+PB+PC.（湖州市中考试题）.如图，"BC中，NBAC=600,NACB=400,P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是NBAC、NABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP.（全国初中数学联赛试题）.如图，在△ABC中，AD是NBAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME〃AD交BA延长线于E,交AC于R求证：BE=CF=）（AB+AC）.（重庆市竞赛试题）.在等边△ABC的边BC上任取一点D，作NDAE=600,DE交/C的外角平分线于E,那么△ADE是什么三角形？证明你的结论.(《学习报》公开赛试题).如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线/：y=-1x+m与％轴、j轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(—4,—4)作平行于J轴的直线交AB于点D,CD=10.⑴求直线l的解析式；⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x,J轴分别相交于点A'、B，，在直线CD上存在点P，使得△A，B‘P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.(宁波市江东区模拟题).如图1,在平面直角坐标系中，4OB为等腰直角三角形，A(4,4).

⑴求B点坐标；⑵如图2,若C为了轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△AC。，/ACD=900,连接0D,求NAOD度数；⑶如图3,过点A作y轴于E,F为了轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰RtAEGH，过A等腰RtAEGH，过A作了轴垂线交EH于点M，连接FM，等式kT是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由.专题17等腰三角形的判定例1延长MF.BA交于工延长FM至点尹,使MP=MF,连BP例&BM-△CMF.，BP^CF.VAD平分NBA。，AD〃FM./RW=NDAC二/MFC=/人F£-/E=NU£-AF.BE=BP,即AB4AE=AB4AF-AB+,AC?—CE=CF,•••CF=+(AB+AOi今(7MB=9.例2D例3提示:△EMC为等腰荏角三角形■连儿W.法证:ZMD陛△&£?.AAD=AB.又/DAB▼90；又•:M为ED中点.二八M!DB且DMBMAM又•:/MDE=Z.W.4C1暗°・•・•AEDM^ZiCAM.:.EM=MCZDWE-ZAAK\二NDME十NEMA=NAMC+/EMA=90'•••△EMC为等攫直角三角形，TOC\o"1-5"\h\z例4延长AD至G,使K,八。，连今结BG. /^\由5DC,3力B,得Ar取入B<4j—AC〃即 」9^BE=AC. *，BE=BG.得/BED=/JBGD,，NRAE=N«BGD=NBED/AEF.故AF=EF.例5提奇:结合图1•给出熙答过程.由国形的轴计称知3AA&3△AU).「・NIW)N「A31『二•4BO=NACO2[.J」K；ZA(r=15O*.又丁坟尸水、=00=AD.；•△八COM△CA(),；・/AQC=NCD八150\枚/8以一-30、A级1.90”或73•或15- 2-72- 3.2 4.375aDaD提示：将二式相加7.D8.C*(D先证440糕公£口二・，NC/tD-乙UCE又'・・NCAD+/CDG-NB0尸一NOV-90\A^(W-90\^.AD±CF.{2)41CF为等展三%形.10.根示]延长心门至月・住BE三从8•连站AE・证明/E二ZC.AC=AE,1L浅示,证明△DCA3AEC?3.ZJX：MeA.A7・ZAVM-6Q4.12.⑴提京次证明/「EFNCFEAC于G,证明△CECZ\B1D’,司将(土=月£\又CF=CE,故*=CF.B级L2>1 2.110' 3.10 4.D5.C提示？生五边账出作等边三角形八用7,则E.FC布一条直线匕6.B7.提示JD2门(2)4B&上取点尸,使/B/%,-L2。、再在产”上取点E使PE=PC,连结CE她由△*(/为等边三角形•可制PC-a・NPCE=时,4EB'TO：••・△4R为正一：为形可证n/UCJ必△£{'□□二/APC-N杼'EC：=120；P/lEH.、/AFC=NBM