【沪教版】五年级上册奥数：长方体和正方体的体积与表面积(含答案)

课程主题:长方体和正方体的体积与表面积课前热身：如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱.①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等.（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形. ）②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体2（abbcca）;长方体的体积：V长方体abc.③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形.如果它的棱长为a,那么：S正方体6a2,V正方体a3.知识精讲:长方体与正方体的表面积:【例1】右图中共有多少个面？多少条棱?卜面【考点】长方体与正方体 【难度】1星 【题型】解答【解析】如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形.前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面.所以共有1112218（个）面.前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱66618（条）.【答案】8个面，18条棱【例2】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8,宽为3,高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【考点】长方体与正方体 【难度】2星【题型】解答【解析】我们从三个方向（前后、左右、上下）考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10106600.【答案】600【例3】如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5,3,2的长方体，那么它的表面积减少了多少？【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】解答【解析】原来正方体的表面积为556150.现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们的面积为（32）212,所以减少的面积就是12.【答案】12【例4】如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5,3,2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几？【考点】长方体与正方体【难度】2【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【关键词】1993年，奥林匹克，初赛，10题【解析】原来正方体的表面积为5>5>6=150,现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为（3>2）>2=12,12勺50=0.08=8%.即表面积减少了百分之八.【答案】百分之八【例5】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米 ？（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】解答【解析】原正方体的表面积是44696（平方厘米）.每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分.总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形.从而，它的表面积是：9646120平方厘米.【答案】120【例6】从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？（写出符合要求的全部答案）【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【关键词】小学生数学报【解析】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面,为672平方厘米.

图4【答案】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米;按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米.【例7】从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体（如下图）,剩下部分的表面积之和是平方厘米.【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【解析】可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：（8766）26（16661787）292（平方厘米）.也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了 3个66的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是3个66的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为8786762292（平方厘米）.【答案】292【例8】右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？

::::【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】10106600（平方厘米）.【答案】600【例9】由六个棱长为1的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2006年，第四届，走美杯，4年级，决赛，第3题，8分【解析】三视图法：表面积为：454226【答案】26【例10】将15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。涂上红色的部分，面积是（ ）平方厘米【考点】长方体与正方体 【难度】3星【题型】填空【关键词】2010年，第8届，走美杯，3年级，初赛，第12题【解析】注意底面放在桌子上，不能被染到。从上向下看有10个：从左向右看有6个；从前向后看有7个。因此被染色的面有1067236个面【答案】36【例11】用6块右图所示（单位：cm）的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？

【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答【解析】要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为 5,宽为4,高为3,所以表面积为(343334)266(cm2);要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，长为18,宽为2,高为1,所以最大的表面积为(18118212)2112(cm2)⑴⑴【答案】112【例12】要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当b2h时,如何打包？⑵当b2h时,如何打包？⑶当b2h时,如何打包？【考点】长方体与正方体 【难度】5星 【题型】解答【解析】图2和图3正面的面积相同，侧面面积正面周长长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h6b,图3的周长是12h4b.两者的周长之差为2(b2h).当b2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b2h时，按图2打包；当b2h时，按图3打包.图2图2【答案】当b2h时，图2和图3周长相等，可随意打包;当b2h时，按图2打包；当b2h时，按图3打包.图1 图2 图3【例13］如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长方体的表面积比是3:4:5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：：：0【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年级，第11题【解析】体积比为3:8:13【答案】3:8:13【例14】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色.求被涂成红色的表面积.【考点】长方体与正方体 【难度】3星【题型】解答【解析】44（1234）456（平方米）.【答案】56【例15］如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型.把这个模型的表面 （包括底面）都涂成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多一块.

【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空【解析】三面涂上红色的小正方体有：425428个，两面涂上红色的小正方体有：341416个，所以三面涂红色的比两面涂红色的多281612块.【答案】12【例16】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图 1所示，从上面看如图2,那么这个几何体至少用了块木块.图1图2图1图2【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2007年，迎春杯，中年级，复赛，9题【解析】这道题很多同学认为答案是26块.这是受思维定势的影响，认为图2中每一格都要至少放一块.其实，有些格不放，看起来也是这样的.如下图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块.【答案】23块【例17】右图是456正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共(42)4(52)4(62)436块；一面涂红的表面中间部分： (42)(52)2(42)(62)2(52)(62)252块.【答案】52【例18】如右图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体(都和对面打通).如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口a的边长.【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】原来正方体的表面积为：63a3a69a2(平方厘米)，六个边长为a的小正方形的面积为(减少部分)：6aa6a2(平方厘米)；挖成的每个长方体空洞增加的侧面积为： aa428a2(平方厘米)；根据题意可得：54a26a238a22592,解得a236(平方厘米)，故a6厘米.【答案】6【例19】大正方体的棱长是小正方体棱长的4倍，那么它的表面积是小正方体表面积的倍.【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2008年，迎春杯，六年级，初赛…1一 2 2【解析】64a:6a16:1.【答案】16:1【例20］如图所示，有大小不同的两个正方体，大正方体的棱长是小正方体棱长的 6倍.将大正方体的6个面都染上红色，将小正方体的6个面都染上黄色，再将两个正方体粘合倍.在一起.那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的倍.【考点】长方体与正方体【关键词】2010年，迎春杯，高年级复赛，3题【解析】假设小正方体棱长是1,大正方体棱长就是6,大正方体露在外面的表面积是6661215,小正方体露在外面的表面积是5,所以有215543倍.【答案】43【例21】如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米的三个正方体紧贴在一起，则所得到的立体图形的表面积是_平方厘米。【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，学而思杯，6年级，第3题【解析】把顶面往下补，把最下面的这个正方体补全了，上面两个正方体各剩 4个侧面，表面积一共是： 336224114=54+16+4=74【答案】74【例22】一个表面积为56cm2的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是cm2.【考点】长方体与正方体 【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，第六届，走美杯，六年级，初赛，第2题【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积 ，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为168cm2.【答案】168【例23】图是一个正方体木块。M是AB的中点，N是AD的中点。用一把锋利的锯，过M、N、G三个点将木块锯成两块，使截面是平的，这个截面是边形。【考点】长方体与正方体 【难度】3星【题型】填空【关键词】2003年，第一届，希望杯，4年级，初赛，23题【解析】应该是过M、N、G三点，那样的话截面是一个五边形，还会过BF、DH中点【答案】五边形课后作业：作业1、有l25个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为 1平方厘米，其中63个表面涂上白色，还有62个表面涂上蓝色。将这l25个正方体木块粘在一起，形成一个棱长为5厘米大正方体木块。这个大正方体木块的表面上，蓝色的面积最多是 一 平方厘米。【考点】长方体与正方体 【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，迎春杯，三年级，初赛，第10题【解析】8个顶点上的正方体木块表面积是3平方厘米，棱上的正方体木块表面积是2平方厘米，面上的正方体木块表面积是1平方厘米，所以要先在顶点和棱上放蓝色的正方体木块，剩下的放在面上，不放在内部，蓝色的面积最多是3X8+2X（5-2）X12+1X（62-8-36）=114平方厘米.【答案】114作业2、有100个棱长为l厘米的正方体木块，表面均为白色，还有25个棱长为l厘米的正方体木块，表面均为蓝色。将这125个正方体木块粘在一起，形成一个大正方体。大正方体的表面为白色的面积至少是 平方厘米。【考点】长方体与正方体 【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，迎春杯，四年级，初赛，8题【解析】将蓝色正方体尽量依次往角上、棱上放，因为这三个位置上的正方体的裸露表面有 3、2块。这二个位置上的正方体依次有8、（5-1-1）X12=36个.所以25个正方体在角上放8个，棱上放17个，那么所占的表面积有8>3+17>2=58块.白色面积为150-58=92块，即92平方厘米.【答案】92作业3、64个同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的。现将它们拼成一个4MM的大正方体，在大正方体的表面上白色部分的面积与黑色部分的面积之比最大为 _。【考点】长方体与正方体 【难度】3星【题型】填空【关键词】2004年，第二届，走美杯，6年级，决赛，第6题，10分【解析】没有露在表面的小正方体有（4-2）2=8（个），用黑色的。在面上但不在边上的小正方体有（4-2）2X6=24（个），其中22个用黑色。这样，在表面的4X4X6=96（个）小正方形中，22个是黑色，96-22=74（个）是白色，白色与黑色的面积比为74:2237:11。【答案】37:11作业4、将16个相同的小正方形拼成一个体积为16平方厘米的长方体，将表面涂漆，然后分开，结果，其中2面涂漆的小正方体有8个，那么3面涂漆的小正方体有 个，4面涂漆的小正方体有 个。【考点】长方体与正方体 【难度】3星【题型】填空【关键词】2007年，希望杯，第五届，四年级，复赛，第12题，5分【解析】16=1X1X16=1X2X8=1X4X4=2X2X4,其中只有2X2X4的长方体有8个小正方体2面涂漆，它的3面小正方体有8个（8个角），没有4面都涂漆的.【答案】三面涂漆的有8个，无四面涂漆的作业5、由27个棱长为1的小正方体组成一个棱长为3的大正方体，若自上而下去掉中间的3个小正方体，如图所示，则剩下的几何体的表面积是 。【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2006年，希望杯，第四届，五年级，初赛，第15题，5分【解析】64,没去掉3个小正方体之前的表面积为3X3>6=54,去掉之后增加了3X1X4-1X1>2=10,所以剩下的表面积为54+1