matlab实现连续计息问题

实验报告课程名称：数学实验实验名称：连续计息问题实验目的、要求：加深对极限、微分求导、极值等基本概念的理解。讨论了微分学中的实际应用问题。掌握MATLAB软件中有关极限、级数、导数等命令。实验仪器：安装有MATLAB软件的计算机实验步骤：一、实验内容1内容若银行一年活期年利率为厂，那么储户存10万元的人民币，一年到期后结算额为10X(1+厂)万元。如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，若每三月结算一次，由于复利，储户存的10万元一年后可得10X(1+厂/4)4万元，显然这比一年结算一次要多，因为多次结算增加了复利。结算越频繁，获利越大。现在我们已进入电子商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一个储户连续不断存款取款，结算本息的频率趋于无穷大，每次结算后将本息全部存入银行，这意味着银行要不断地向储户支付利息，称为连续复利问题。连续复利会造成总结算额无限增大吗？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？如果活期存款年利率为2.9%，那么一年、三年、十年定期存款的年利率就定为多少才是等价的？—些基本概念极限、连续、微分、导数、taylor公式等。求极限、导数和MATLAB命令求函数的极限，使用命令limitlimit(F,x,a)返回符号表达式F当x—a时的极限；.limit(F,x,a,'right')返回符号表达式F当x—a时的右极限；limit(F,x,a,'left')返回符号表达式F当x—a时的左极限。求函数的导数和Taylor展开式，可使用命令diff、polyder和Taylor=diff(X)返回向量X的差分；=diff(X,n)返回向量X的n阶差分；diff(S,'v')返回符号表达式S对变量v的导数；diff(S,'v',n)返回符号表达式S对变量v的n阶导数；k=polyder(p)返回多项式p的导数；k=polyder(a,b)返回多项式aXb的导数；r=taylor(f,n,v,a)返回符号表达式f关于变量v在a点处Taylor展开到n次式;有关上述命令的详细用法可查阅MATLAB帮助。二、实验结果1•弓I例问题的分析求解一般地，设储户结算结算频率为n，年利率为厂，第k次结算本息的结算额为a，那k么可以得到下列差分方程ra=(1+ )a，a=100000TOC\o"1-5"\h\zk n k-1 0对上述差分方程化简，得ra=100000(1+ )n\o"CurrentDocument"n n随着结算次数的无限增加，即在上式中n-a，故一年后本息共计：r\o"CurrentDocument"lim100000(1+ )nnnTg在MATLAB命令窗口输入下述命令：>>symsn>>a=limit(100000*(1+0.029/n)An,n,inf)a=1.0294e+005可见，随着结算次数的无限增加，一年后本息总和将稳定于1.0294e+005元，储户并不能通过该方式成为百万富翁，实际上，年利率为r,>>symsnr>>a=limit(100000*(1+r/n)An,n,inf)a=100000*exp(r)一年结算无限次，总结算额有一个上限，即100000*exp(r)元，它表明在n-a时，结果将稳定于这个值。我们把连续活期存款利率作为连续复利率，r=2.9%，设一年定期的年利率为r，那么0应有1+r=er0从而有r=erj—1=2.94%同理，三年定期的年利率为r=(e3r°—1)/3=3.03%相应，十年定期的年利率为r=(e10r°—1)/10=3.36%

一般情况下，银行的定期利率要更高，以鼓励长期定期存款。2.练习题本世纪初，瘟疫还常常在某些地区流行。现假设有这样一种传染病。任何人得病后，在传染期内不会死亡，且最初设有a人患病，年平均传染率为k，治愈率为i,若一年内等时间间隔检测n次，则一年后患病人数为多少？检测次数无限增加，一年后传染病人数会无限增加吗？结果如下(程序，结果)：解：一般地，设检测频率为n，年平均传染率为k，治愈率为i，第r次检测的患病人数为a,rki=ki=(1+ )(1—)a，a=an r—1 0aTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"r nk i则一年后患病人数是a(1+ )(1——)。\o"CurrentDocument"n na=a=a(1+-)nn n(1--)n

n随着检测次数的无限增加，即在上式中n-a，故一年后传染病人数为:TOC\o"1-5"\h\zk i\o"CurrentDocument"lima(1+ )n(1— )nn nnTg在MATLAB命令窗口输入下述命令：>>sjrnisnaki>>z=limit(a*(1+k/n)"n*(1-i/n)"n,n,inf)esp(k)/eKp(i)*a可见，随着检测的无限增加，一年后患病人数将稳定于exp(k)/exp(i)*a人，它表明在nfa时,结果将稳定于这个值。假设传染率为0.005,治愈率为0.006，相应的MATLAB代码为：>>clear;>>symsn»fora=10000:5000:30000limit(a*(1+0.005/n)"n*(1-0.006/n)"n』n』inf)end得出结果为：x=10000*exp(-1/1000)；x=15000*exp(-1/1000)；x=20000*exp(