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文档简介

《三角形及其内角和》典型例题知识点多边形的内角和及外角和例1（基础题）n边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求这个多边形的边数．精析与解答设该多边形的边数为n（n≥3，n为整数），一个内角为x（0°＜x＜180°），依题意，得：2570°＋x＝（n－2）·180°，x＝（n－2）·180°－2570°即n－2＝14＋∵0°＜x＜180°，且n－2为整数∴50°＋x＝180°，∴n－2＝14＋1，n＝17．例2（基础题）已知：多边形的每一个内角都等于150°，求这个多边形的内角和．精析与解答要求多边形的内角和，需知多边形的边数，求多边形的边数有下面两种方法：（1）多边形的内角和可以表示为（n－2）×180°的形式，由于所给多边形的每个内角的度数都相等，所以又可以表示为150°·n，因此可以列出方程求解．（2）由已知数据，很容易求得每个外角的度数，再利用多边形的外角和为360°，可求边数．解法一：设这个多边形的边数为n根据多边形内角和内容，得（n－2）×180°＝150°·n解得n＝12解法二：设这个多边形的边数为n因为多边形的每个内角为150°所以多边形的每个外角为180°－150°＝30°由多边形的外角和等于360°，得30°·n＝360°，则n＝12．说明：比较上述两种解法，前者是常规方法，而后者应用多边形的外角和是360°这一结论．例3（能力题）已知多边形的一个内角的外角与其他各内角的和为600°，求多边形的边数及相应的外角的度数．精析与解答根据多边形的边数，可表示这个多边形的内角和．由于内角和中的一个内角换成了这个内角的外角，故可设一辅助未知数，列出方程求解．设这个多边形边数为n，这个外角的度数为x（0°＜x＜180°），则与这个外角相邻的内角为180°－x，列方程得：（n－2）×180°＋x－（180°－x）＝600°解之得x＝570°－90°n∵0°＜x＜180°，n为正整数∴n＝5或n＝6当n＝5时，x＝120°当n＝6时，x＝30°所以，当边数为5时，这个外角为120°；当边数为6时，这个外角为30°．说明：本题有两种符合题意的答案，注意不要漏解，例4（能力题）证明多边形内角和定理：n边形的内角和等于（n－2）×180°．下面已给出已知、求证，请你写出证明多边形内角和定理的一种方法及证明过程．已知：如图7-29所示，n边形A1A2A3…An．求证：n边形A1A2A3…An的内角和等于（n－2）×180°．证明证明的结果中有180°，猜想可能与三角形内角和有关，因此在多边形内取一点O，将它与各顶点相连，将多边形划分为n个三角形．将△A1OA2，△A2OA3，△A3OA4，…，△An－1OAn的内角和加起来得n×180°，而∠A1OA2，∠A2OA3，∠A3OA4，…，A

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