2021-2022高中数学第一章常用逻辑用语3简单的逻辑联结词123且或非2作业含解析新人教A版选修2-120220309156

PAGEPAGE5且、或、非基础巩固一、选择题1．若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有()A．p真q真 B．p假q假C．p真q假 D．p假q真[答案]B[解析]“p或q”的否定是：“¬p且¬q”是真命题，则¬p、¬q都是真命题，故p、q都是假命题．2．(2014·辽宁理，5)设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是()A．p∨q B．p∧qC．(¬p)∧(¬q) D．p∨(¬q)[答案]A[解析]取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；∵a∥b，b∥c，∴存在λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p∨q为真命题．3．(2015·山东烟台高二期末测试)在一次篮球投篮比赛中，甲、乙两球员各投篮一次．设命题p：“甲球员投篮命中”；q：“乙球员投篮命中”，则命题“至少有一名球员投中”可表示为()A．p∨q B．p∧(¬q)C．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∨(¬q)[答案]A[解析]至少有一名球员投中为p∨q.4．已知命题p：偶函数的图象关于y轴对称，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(¬p)∧(¬q)C．(¬p)∧q D．p∧(¬q)[答案]D[解析]∵p为真命题，q为假命题，∴p∧(¬q)为真命题，故选D.5．若命题“p∧(¬q)”为真命题，则()A．p∨q为假命题 B．q为假命题C．q为真命题 D．(¬p)∧(¬q)为真命题[答案]B[解析]p∧(¬q)为真命题，故¬q为真命题，所以q为假命题．6．已知命题p：x2－4x＋3<0与q：x2－6x＋8<0；若“p且q”是不等式2x2－9x＋a<0成立的充分条件，则实数a的取值范围是()A．(9，＋∞) B．{0}C．(－∞，9] D．(0,9][答案]C[解析]由x2－4x＋3<0可得p：1<x<3；由x2－6x＋8<0可得q：2<x<4，∴p且q为：2<x<3，由条件可知，{x|2<x<3}是不等式2x2－9x＋a<0的解集的子集，即方程2x2－9x＋a＝0的两根中一根小于等于2，另一根大于等于3.令f(x)＝2x2－9x＋a，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2＝8－18＋a≤0，,f3＝18－27＋a≤0.))⇒a≤9.故选C.二、填空题7．命题p：2不是质数，命题q：eq\r(2)是无理数，在命题“p∧q”、“p∨q”、“¬p”、“¬q”中，假命题是__________________，真命题是__________________．[答案]“p∧q”“¬q”“p∨q”“¬p”[解析]因为命题p假，命题q真，所以命题“p∧q”假，命题“p∨q”真，“¬p”真，“¬q”假．8．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”，“¬q”都是假命题，则x的值组成的集合为__________________．[答案]{－1,0,1,2}[解析]因为“p∧q”为假，“¬q”为假，所以q为真，p为假．故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x<6,x∈Z))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<x<3,x∈Z))，因此x的值可以是－1,0,1,2.9．已知命题p：函数f(x)＝|lgx|为偶函数，q：函数g(x)＝lg|x|为奇函数，由它们构成的“p∨q”“p∧q”和“¬p”形式的新命题中，真命题是__________________．[答案]¬p[解析]函数f(x)＝|lgx|为非奇非偶函数，g(x)＝lg|x|为偶函数，故命题p和q均为假命题，从而只有“¬p”为真命题．三、解答题10．写出下列命题的否定：(1)若a>b>0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(2)正方形的四条边相等；(3)a、b∈N，若ab可被5整除，则a、b中至少有一个能被5整除；(4)若x2－x－2＝0，则x≠－1且x≠2.[解析](1)若a>b>0，则eq\f(1,a)≥eq\f(1,b).(2)正方形的四条边不全相等．(3)a、b∈N，若ab可以被5整除，则a、b都不能被5整除；(4)若x2－x－2＝0，则x＝－1或x＝2.能力提升一、选择题1．对于命题p和q，若p且q为真命题，则下列四个命题：①p或¬q是真命题；②p且¬q是真命题；③¬p且¬q是假命题；④¬p或q是假命题．其中真命题是()A．①② B．③④C．①③ D．②④[答案]C[解析]若p且q为真命题，则p真，q真，¬p假，¬q假，所以p或¬q真，¬p且¬q假，故选C.2．“m＝2”是“f(x)＝xm为(－∞，＋∞)上的偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]m＝2时，f(x)＝x2为偶函数，但f(x)＝xm为偶函数时，m＝2不一定成立，如m＝4.3．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为eq\f(π,2)；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称．则下列判断正确的是()A．p为真 B．¬q为假C．p∧q为假 D．p∨q为真[答案]C[解析]本题考查命题真假的判断．p为假命题，q为假命题．所以p∧q为假命题．对“p∧q”真假判定：全真为真，一假则假．4．p：函数f(x)＝lgx＋1有零点；q：存在α、β，使sin(α－β)＝sinα－sinβ，在p∨q，p∧q，¬p，¬q中真命题有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案]B[解析]∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))＝0，∴p真；∵α＝β时，sin(α－β)＝0＝sinα－sinβ，∴q真，故p∨q为真，p∧q为真，¬p为假，¬q为假．二、填空题5．已知命题p：不等式x2＋x＋1≤0的解集为R，命题q：不等式eq\f(x－2,x－1)≤0的解集为{x|1<x≤2}，则命题“p∨q”“p∧q”“¬p”“¬q”中为真命题是__________________．[答案]p∨q，¬p[解析]∴∀x∈R，x2＋x＋1>0，∴命题p为假，¬p为真；∵eq\f(x－2,x－1)≤0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x－1≤0,x－1≠0))⇔1<x≤2.∴命题q为真，p∨q为真，p∧q为假，¬q为假．6．(2015·江苏阜宁中学高二期中测试)已知命题p：eq\f(1,x－1)<1，命题q：x2＋(a－1)x－a>0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是__________________．[答案](－∞，－2)[解析]命题p：eq\f(1,x－1)<1，∴x>2或x<1.命题q：x2＋(a－1)x－a>0，∴(x＋a)(x－1)>0.∵¬p是¬q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件．∴－a>2，∴a<－2.三、解答题7．设命题p：函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，命题q：关于x的方程x2＋2x＋logaeq\f(3,2)＝0的解集只有一个子集．若“p或q”为真，“¬p或¬q”也为真，求实数a的取值范围．[解析]当命题p是真命题时，应有a>1；当命题q是真命题时，关于x的方程x2＋2x＋logaeq\f(3,2)＝0无解，所以Δ＝4－4logaeq\f(3,2)<0，解得1<a<eq\f(3,2).由于“p或q”为真，所以p和q中至少有一个为真，又“¬p或¬q”也为真，所以¬p和¬q中至少有一个为真，即p和q中至少有一个为假，故p和q中一真一假．p假q真时，a无解；p真q假时，a≥eq\f(3,2).综上所述，实数a的取值范围是a≥eq\f(3,2).8．(2015·河南封丘一中高二期末测试)已知p：|3x－4|>2；q：eq\f(1,x2－x－2)>0；r：(x－a)(x－a－1)<0.(1)¬p是¬q的什么条件；(2)若¬r是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．[解析](1)p：|3x－4|>2⇒x>2或x<eq\