重庆邮电大学自控原理课件第四章根轨迹法

2023/1/31自动控制原理1第4章根轨迹法4.1根轨迹法的概念4.2根轨迹绘制的基本法则4.3广义根轨迹4.4系统性能的分析4.5控制系统复域设计2023/1/31自动控制原理2根轨迹的概念-10ImK:0~∞特征根：-0.5Re特征方程：闭环传递函数：．．．．．．

_．．．．．．

．．．．．．

对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。4.1根轨迹法的概念2023/1/31自动控制原理3根轨迹：

开环系统的某一参数从0变为∞

时，闭环系统特征方程的根在s平面上变化的轨迹根轨迹法：Evans提出（1948年）的一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法；是分析与设计线性定常控制系统的图解方法。2023/1/31自动控制原理4动态性能：-10ImRe-0.5K=0.25根轨迹与系统性能稳定性：根轨迹若越过虚轴进入s右半平面，与虚轴交点处的k即为临界增益。稳态性能：根据坐标原点处的根数，确定系统的型次，同时可以确定对应的静态误差系数。特征方程的根

运动模态

系统动态响应（稳定性、系统性能）开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。过阻尼0<k<0.25单位阶跃的响应为非周期过程。

临界阻尼k=0.25单位阶跃响应为非周期过程，响应过渡较快。欠阻尼k>0.25单位阶跃响应为阻尼振荡过程2023/1/31自动控制原理5闭环零、极点与开环零、极点之间的关系设控制系统如图所示设：

：前向通路增益：前向通道根轨迹增益：反馈通道根轨迹增益2023/1/31自动控制原理62023/1/31自动控制原理7结论：（1）闭环系统的根轨迹增益=开环前向通道系统根轨迹增益。（2）闭环系统的零点由开环前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点所组成。（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益均有关。根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。2023/1/31自动控制原理8由闭环传递函数根轨迹方程GH特征方程根轨迹增益开环零点开环极点常数常数是什么？考虑：复平面上的点，特征方程的根，闭环极点4.2根轨迹方程2023/1/31自动控制原理9模值条件（幅值条件）：根轨迹的幅值条件和相角条件根轨迹方程实质上为一向量方程相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）开环有限零点到s的矢量辐角

开环极点到s的矢量辐角，逆时针为正

2023/1/31自动控制原理10模值条件与相

角条件的应用s1=-0.825s2,3=-1.09±j2.07-1.09+j2.072.262.112.612.0722.26×2.11×2.612.072=6.006892.49o-66.27o-78.8o-127.53o=–180o-1.5-1-20.592.49o66.27o78.8o127.53o2023/1/31自动控制原理11结论：根轨迹上的点一定满足相角条件，且满足相角条件的点一定在根轨迹上，即相角条件是确定根轨迹的重要条件。只有当需要确定根轨迹上各点的根轨迹增益时，才需使用模值条件。绘制根轨迹只需使用相角条件。2023/1/31自动控制原理12根轨迹的起点与终点；根轨迹的条数、连续性和对称性；实轴上的根轨迹；根轨迹的渐近线；根轨迹在实轴上的分离点；根轨迹的起始角和终止角；根轨迹与虚轴的交点；根之和。

通常，我们把以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则主要有8条：4.3常规根轨迹及其绘制2023/1/31自动控制原理13

根轨迹_特征方程：根轨迹方程：

辐值条件：

辐角条件：

由相角条件（条件）绘制出的根轨迹，称根轨迹。变化参数为根轨迹增益。2023/1/31自动控制原理14规则1：根轨迹的起点和终点又从证明：根轨迹方程：

K*=0时的闭环极点为根轨迹的起点K*∞

时的闭环极点为根轨迹的终点2023/1/31自动控制原理15

下面分三种情况讨论

1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。2．当m<n时，即开环零点数小于开环极点数时，除有m条根轨迹终止于开环零点(称为有限零点)外，还有n-m条根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点)。3．当m>n时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。2023/1/31自动控制原理16在实际系统通常是，则还有条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有个无限远（无穷）零点。有两个无穷远处的终点有一个无穷远处的起点2023/1/31自动控制原理17结论：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环极点数n大于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s平面的无穷远处(无限极点)。2023/1/31自动控制原理18结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数(n条）。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。规则2：根轨迹的分支数、连续性和对称性

系统开环根轨迹增益(实变量）与复变量s有一一对应的关系，当由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n条连续的曲线。

由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。

根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在S平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。根轨迹方程：

2023/1/31自动控制原理19已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。[-1，-2]右侧实零、极点数=3。[-4，-6]右侧实零、极点数=7。规则3：实轴上的根轨迹结论：若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。2023/1/31自动控制原理20规则4：根轨迹的渐近线

当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，浙近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。2023/1/31自动控制原理21与实轴夹角与实轴交点结论：根轨迹的渐近线n-m条注：1.2.与实轴交点必定在实轴上3.计算与实轴交点时，只考虑开环零、极点的实部即可2023/1/31自动控制原理22例：设单位负反馈系统的前向传递函数为（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴（1）解：（4）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线与实轴夹角与实轴交点-4-3-2-10（3）实轴上的根轨迹：°60°180°-602023/1/31自动控制原理23两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。规则5：根轨迹的分离点-10ImRe-0.5K=0.25当系统开环增益K

由零到无穷大变化时，两条根轨迹先在实轴上相向运动,相遇在点(-0.5,j0)，当K＞0.25后，离开实轴进入s平面，且离开实轴时，根轨迹与实轴正交。我们称该点为根轨迹的分离点。实际上,分离点是系统特征方程的等实根。一般，常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根轨迹分支的分离点。分离点会合点判别：实轴上相邻开环极点之间是根轨迹,必有分离点；实轴上相邻开环零点之间是根轨迹,必有会合点；实轴上开环零点、极点之间是根轨迹，可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点。

(c)零极点是根轨迹,无分离汇合点(d)零极点是根轨迹,同时有分离汇合点基于代数重根法则，如果方程函数f(x)=0有重根，则f(x)=0的根也是f(x)=0的根。分离点会合点求取：重根法：分离点公式2023/1/31自动控制原理27分离角：分离角公式：当有2条根轨迹分支进入并离开分离点时，分离角为：分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角2023/1/31自动控制原理28例：绘制单位负反馈系统的根轨迹（2）根轨迹分支数为3条，有三个无穷远的零点。（3）实轴上根轨迹（1）解：（4）渐近线：（5）分离点方法一：方法二：gg-3-2-10swj[s]∞K∞K2023/1/31自动控制原理29（2）根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。（3）实轴上根轨迹例：绘制单位负反馈系统的根轨迹（1）解：（4）渐近线：（5）分离点（用试探法求解）2023/1/31自动控制原理30例:设单位负反馈系统的传递函数为试绘制系统的根轨迹。解：(1)根轨迹分支数为2条，有一个无穷远的零点。(2)实轴上根轨迹(3)渐近线：(4)分离点(5)由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（-2，j0)，半径为2023/1/31自动控制原理31规则6：根轨迹的起始角(出射角)与终止角(入射角)

当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？

⑴出射角根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。

⑵入射角根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。-2023/1/31自动控制原理32结论：⑴出射角

⑵入射角

-[s]swj1z2p3p0A2023/1/31自动控制原理33例：2023/1/31自动控制原理34-22023/1/31自动控制原理35-1-2108.5°90°59°37°19°56.5°2023/1/31自动控制原理3690°121°153°199°63.5°117°2023/1/31自动控制原理37-22023/1/31自动控制原理38规则7：根轨迹与虚轴的交点

根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。这时，交点上的用代入特征方程求得。也可用劳斯判据确定。解：其特征方程是令并代入特征方程得其虚部和实部方程分别为例：绘制单位负反馈系统的根轨迹wj[s]1p2p3p-1-2-30∞gKds∞gK2023/1/31自动控制原理39wj[s]1p2p3p-1-2-30)60(3.3=gKj∞gKds∞gK)60(3.3=gK-j2023/1/31自动控制原理40例：

已知系统的开环传递函数为

试绘制该系统完整的根轨迹图。（3）实轴上根轨迹（1）解：（4）渐近线：（2）根轨迹分支数为3条，有三个无穷远的零点。（5）分离点-2-10swj[s]gg∞K∞K（6）与虚轴交点2023/1/31自动控制原理41（2）实轴上根轨迹（1）解：（3）渐近线：例：（4）分离点（5）出射角2023/1/31自动控制原理42（6）与虚轴的交点

运用劳斯判据由第一列、第四行元素为零由辅助方程j1.095-j1.0952023/1/31自动控制原理43（6）与虚轴的交点

运用另一方法j1.095-j1.095实部方程： 虚部方程：解得：2023/1/31自动控制原理44规则8：根之和法则结论：若n-m2，闭环极点之和=开环极点之和=常数。表明：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常数。绘制根轨迹图的规则小结序内容规则1起点终点起始于开环的极点（包括无限极点），终止于开环零点（包括无限零点）2分支数等于开环传递函数的极点数（nm），或零点数（m>n).连续且对称于实轴３渐近线相交于实轴上的同一点：坐标为：倾角为：４实轴上分布在实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数绘制根轨迹图的规则小结序内容规则５分离（会合）点实轴上的分离（会合）点——（必要条件）６起始角终止角复极点处的出射角：复零点处的入射角：７虚轴交点（1）满足特征方程的值；（2）由劳斯阵列求得（及K响应的值）；８根之和作业：４-2、4-3、４-７2023/1/31自动控制原理47

绘制根轨迹的一般步骤有了以上绘制根轨迹的基本法则，在已知系统的开环零、极点(开环传递函数)的情况下，利用这些基本法则，就可以迅速准确地确定出根轨迹的主要特征和大致图形。如果需要，再利用根轨迹方程的相角条件。利用试探法确定若干点，就可以绘制出准确的根轨迹。绘制根轨迹的一般步骤为：2023/1/31自动控制原理48根据给定的开环传递函数，求出开环零、极点，并将它们标在复平面上；确定根轨迹的分支数及趋于无穷远处根轨迹的条数；确定实轴上的根轨迹；确定根轨迹的分离点(会合点)，并计算分离角；计算根轨迹的出射角和入射角；确定根轨迹与虚轴的交点；2023/1/31自动控制原理49大体绘出根轨迹的概略形状；利用对称性画出上、下复平面的根轨迹；利用闭环特征根之和的性质估计根轨迹的走向；利用相角条件试探确定根轨迹上某些点；某些系统在复平面上的根轨迹为圆或圆的一部分时，求出圆心和半径。必要时，对根轨迹进行修正，以画出系统精确根轨迹。2023/1/31自动控制原理50例

若已知系统的结构图为：试绘制系统的概略根轨迹。解：系统开环传递函数为：2023/1/31自动控制原理51开环零点：开环极点：实轴上的根轨迹：渐近线：1条，负实轴方向分离点：分离角：画出根轨迹如图所示，在复平面上，有一部分根轨迹为一圆，其圆心为（-1，j0)

，半径为2023/1/31自动控制原理52-0.2-1-22023/1/31自动控制原理53

例

单位负反馈系统的开环传递函数为：

试绘制系统的根轨迹。解：由系统的开环传递函数得：2023/1/31自动控制原理54开环零点：，开环极点：将它们标注于复平面上；实轴上的根轨迹：渐近线：条2023/1/31自动控制原理55时，时，时，起始角：根轨迹与虚轴的交点：2023/1/31自动控制原理56系统的闭环特征方程式为：将代入上式，整理可得：联立求解得：2023/1/31自动控制原理57画出概略根轨迹如图所示：-1-2-32023/1/31自动控制原理582023/1/31自动控制原理5960§4-3广义根轨迹

前面介绍的普通根轨迹或一般根轨迹的绘制规则是以开环根轨迹增益可变参数的，大多数系统都属于这种情况。但有时候，为了分析系统方便起见，或着重研究某个系统参数(如时间节数、反馈系数等)对系统性能的影响，也常常以这些参数作为可变参数绘制根轨迹，我们把以非开环根轨增益作为可变参数绘制的根轨迹叫做参数根轨迹(或广义根轨迹)。一.参数根轨迹61例已知系统的开环传递函数为

试绘制以时间常数T为可变参数的根轨迹。

解⑴系统的特征方程是

或

用

去除等式两边得62

令则有我们称为系统的等效开环传递函数。在等效开环传递函数中，除时间常数T取代了普通根轨迹中开环根轨迹增益的位置外，其形式与绘制普通根轨迹的开环传递函数完全一致，这样便可根据绘制普通根轨迹基本规则来绘制参数根轨迹。63⑵系统特征方程的最高阶次是3，该系统有三条连续且对称于实轴的根轨迹，根轨迹的终点(T=∞)是等效开环传递函数的三个零点，即；本例中，系统的等效开环传递函数的零点数m=3,极点数n=2，即m＞n。我们在前面已经指出，这种情况在实际物理系统中一般不会出现，然而在绘制参数根轨迹时，其等效开环传递函数却常常出现这种情况。64(3)与n＞m情况类似，这时我们认为有m-n条根轨迹起始于S平面的无穷远处（无限极点）。因此，本例的三条根轨迹的起点(T=0)分别为，和无穷远处（无限极点）。(4)实轴上的根轨迹是实轴上-1至-∞线段。(5)两个等效开环复数极点的起始角分别为65(5)求出根轨迹与虚轴的两个交点，用代入特征方程得由此得到虚部方程和实部方程分别为解虚部方程得合理值为，代入实部方程求得秒，所以为根轨迹与虚轴的两个交点。66

系统的根轨迹图67

最后绘制出以时间常数T为可变参数的根轨迹图如图4-14所示。由根轨迹图可知，时间常数秒时，系统处于临界稳定状态，T>1秒时，根轨迹在S平面右半部，系统不稳定。由此可知，参数根轨迹在研究非开环根轨迹增益对系统性能的影响是很方便的。可将绘制参数根轨迹的方法归纳为下述两个步骤：（1）先根据系统的特征方程求出系统的等效开环传递函数

（2）根据绘制普通根轨迹基本规则来绘制参数根轨迹。等效开环传递函数68二.附加开环零点对根轨迹的影响例已知系统的开环传递函数为

（a＞0）试用根轨迹法分析系统的稳定性。如果给该系统增加一个开环零点，试分析附加开环零点对根轨迹的影响。解:⑴原系统的根轨迹如下图所示。由于根轨迹的两条分支全部位于S平面的右半部，故该系统无论为何值都是不稳定的。69b<aswj1P2P3P1Z)0(=rK2ab-b-a-b＞a070由上面的分析可以看出，附加开环零点可使原来不稳定的系统变成稳定系统，但附加零点的取值要适当，否则便达不到预期的目的。例已知系统的开环传递函数为

试分析附加开环零点对系统性能的影响。解⑴原系统的根轨迹如图所示，由图可看出，当系统开环根轨迹增益时，该系统有两条根轨迹进入S平面右半部成为不稳定系统。71⑵给原系统增加一附加负实零点（），系统的开环传递函数为此时，开环传递函数分子与分母的最高阶次分别为n=3，m=1；n-m=2。因此根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角分别为90°和-90°，两条渐近线垂直于实轴，它们与实轴的交点坐标位置视附加零点的取值而改变，分别讨论如下。7273⑴附加负实零点具有将S平面上的根轨迹向左“拉”的作用，且附加零点愈靠近虚轴，这种“拉力”愈强，反之亦然。因此选择合适的附加零点有可能将系统的根轨迹从平面的右半部全部“拉”到S平面左半部，有利于改善系统的稳定性。⑵适当选择附加零点的大小，不仅可以改善系统的稳定性，还可以改善系统的动态性能和简化系统的分析。如上例中附加零点可使三阶系统简化成由主导极点所确定的二阶系统，适当选择附加零点的大小，就可以使所确定的二阶系统满足响应速度和阻尼比的要求，这在工程实践上是很有用的。2023/1/31自动控制原理74在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角条件为在一些非最小相位系统中相角条件为具有这类相角条件的相轨迹称为：零度根轨迹零度根轨迹以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内回路系统如图所示，外回路是采用负反馈加以稳定，为了分析整个系统的性能，通常首先要确定内回路的零、极点，这就相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。2023/1/31自动控制原理75零度根轨迹的绘制+特征方程：根轨迹方程：

辐值条件：

辐角条件：

由相角条件（条件）绘制出的根轨迹，称根轨迹。变化参数为根轨迹增益。2023/1/31自动控制原理76与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。零度根轨迹的绘制规则只要考虑相角条件所引起的某些规则的修改辐值条件：

辐角条件：

规则3：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为偶数。2023/1/31自动控制原理77规则6：根轨迹的出射角入射角出射角：入射角：与实轴夹角规则4：渐近线的夹角2023/1/31自动控制原理78例：设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为试绘制该回路的根轨迹图。解：（1）（2）实轴上的根轨迹（-，-3]，[-2，）。（3）渐近线（5）出射角（4）分离点2023/1/31自动控制原理79（6）确定临界开环增益显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为80例已知正反馈系统的开环传递函数为

试绘制该系统的根轨迹图。

解：由系统的开环传递函数。

(1)实轴上的根轨迹是由0至+∞线段和由-1至-2线段。

(2)渐近线与实轴正方向的夹角分别是0°（k=0）、120°（k=1）和-120°（k=2）。

8182§4-4系统性能分析

自动控制系统的稳定性，由它的闭环极点唯一确定，其动态性能与系统的闭环极点和零点在S平面上的分布有关。因此确定控制系统闭环极点和零点在S平面上的分布，特别是从已知的开环零、极点的分布确定闭环零、极点的分布，是对控制系统进行分析必须首先要解决的问题。解决的方法之一，是第三章介绍的解析法，即求出系统特征方程的根。解析法虽然比较精确，但对四阶以上的高阶系统是很困难的。83

根轨迹法是解决上述问题的另一途径，它是在已知系统的开环传递函数零、极点分布的基础上，研究某—个和某些参数的变化对系统闭环极点分布的影响的一种图解方法。由于根轨迹图直观、完整地反映系统特征方程的根在S平面上分布的大致情况，通过一些简单的作图和计算，就可以看到系统参数的变化对系统闭环极点的影响趋势。这对分析研究控制系统的性能和提出改善系统性能的合理途径都具有重要意义。下面通过示例简要介绍用根轨迹分析控制系统的方法。84闭环主导极点：在s平面上，距离虚轴比较近，且附近没有其它的零点与极点；其实部的长度与其它的极点实部长度相差五倍以上；偶极子：如果闭环零、极点相距很近，这样的零极点称为偶极子。只要偶极子不十分接近原点，其对系统动态性能的影响甚微，从而可以忽略它们的存在；但接近坐标原点的偶极子对系统动态性能的影响必须考虑。如果闭环零、极点间的距离比它们本身的模小一个数量级，则这一对闭环零、极点构成偶极子。闭环主导极点法:采用主导极点代替全部闭环极点来估算系统性能的方法１.闭环主导极点分析85例已知单位反馈系统的开环传递函数为

试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性和计算闭环主导极点具有阻尼比时系统的动态性能指标。

解⑴先根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制出系统的根轨迹图。系统的特征方程是或２.系统性能分析86(1)该系统有四条连续且对称于实轴的根轨迹，起点分别是系统的四个开环极点，即，，，；且四条根轨迹都趋向无穷远处。(2)实轴上的根轨迹是由0至-1线段和由-2至-3线段。(3)四条渐近线与实轴的交点为-1.5，它们与实轴正方向的夹角分别是和。(4)由规则六可求出根轨迹与实轴的两个交点（分离点）分别为

，。87(5)由劳斯判据求根轨迹与虚轴的交点，先根据特征方程列出劳斯表

111660100

0由行的首项系数求得，用和代入行辅助方程得到根轨迹与虚轴的交点为。绘制出根轨迹的大致图形如下图所示。8889⑵系统稳定性分析由根轨迹图知，四条根轨迹中有两条从S平面左半部穿过虚轴进入S平面右半部，它们与虚轴的交点，且交点处对应的临界开环根轨迹增益。由开环根轨迹增益与系统开环放大系数K之间的关系可求出系统稳定的临界开环放大系数因此，该系统稳定的条件是系统的开环增益K小于。⑶系统动态性能指标首先用作图法求出满足阻尼比时系统的主导极点、的位置（假定、满足主导极点的条件）。方法是作等阻尼比线oA，使oA与实轴负方向的夹角

90等阻尼比线oA与根轨迹的交点即为满足阻尼比系统的一个闭环极点（即系统特征方程的一个根）。测得在S平面上的坐标位置为,由根轨迹的对称性得到另一共轭复数极点为。由幅值条件可求出闭环极点所对应的系统开环根轨迹增益为将、和代入特征方程，由根和系数之间关系很容易得到另外两个闭环极点、，它们也是一对共轭复数极点，其结果是由此可计算出91共轭复数极点与虚轴的距离是共轭复数极点与虚轴的距离的九倍，且闭环极点附近无闭环零点，这说明、满足主导极点的条件。

该系统可近似地简化成由闭环主导极点构成的一个二阶系统，其闭环传递函数为此时对应的系统开环放大系数92调节时间

超调量

峰值时间由此可求出系统的各项动态指标如下：93

⑴根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制出系统的根轨迹图。⑵稳定性。如果全部根轨迹都位于S平面左半部，则说明无论开环根轨迹增益为何值，系统都是稳定的；如根轨迹有一条（或一条以上）的分支全部位于S平面的右半部，则说明无论开环根轨迹增益如何改变，系统都是不稳定的；如果有一条（或一条以上）的根轨迹从S平面的左半部穿过虚轴进入S平面的右半部（或反之），而其余的根轨迹分支位于S平面的左半部，则说明系统是有条件的稳定系统，即当开环根轨道增益大于临界值时系统便由稳定变为不稳定（或反之）。通过上面的示例可以将用根轨迹分析自动控制系统的方法和步骤归纳如下：94在这种情况下，关键是求出开环根轨迹增益的临界值。这为我们分析系统的稳定性和设计一个稳定的系统提供了选择合适的系统参数的依据和途径。⑶动态响应指标。对于一阶、二阶系统，很容易在它的根轨迹上确定对应参数的闭环极点，对于三阶以上的高阶系统，通常用简单的作图法（如作等阻尼比线等）求出系统的主导极点（如果存在的话），将高阶系统近似地简化成由主导极点（通常是一对共轭复数极点）构成的二阶系统，最后求出其各项性能指标。这种分析方法简单、方便、直观，在满足主导极点条件时，分析结果的误差很小。如果求出离虚轴较近的一对共轭复数极点不满足主导极点的条件，如它到虚轴的距离不小于其余极点到虚轴距离的五分之一或在它的附近有闭环零点存在等，这时还必须进一步考虑和分析这些闭环零、极点对系统瞬态响应性能指标的影响。95作业：题４-14；题４-152023/1/31自动控制原理96如果闭环系统的零点是已知的，于是可以根据闭环系统零、极的位置以及已知的输入信号，分析系统的暂态特性。在根轨迹上确定特征根

根据已知值，在根轨迹上确定特征根的位置时，可以采用试探法,采用这种方法往往要试探几次才有结果，比较麻烦。其实，对于有的系统，可以先在实轴上选择试点，找出实根以后，再去确实复数根，这样简便得多。下面举例说明这种方法。4.5按根轨迹分析控制系统2023/1/31自动控制原理97根据值，通常用试探法先确定在实轴上的特征根，然后确定其它的特征根。对于特定的值下的特征根，可以借助根轨迹图用模值条件确定例：系统的结构图如图所示，开环传递函数为

试确定的特征根。2023/1/31自动控制原理98根据已知的开环传递函数，

可得闭环系统特征方程式

由图可知，在区间上有根轨迹。1.作出根轨迹根据根轨迹走向法则得2.求实根由幅值条件有：用试探法得：3.求复根令（也可用作图法:做垂线）2023/1/31自动控制原理99用根轨迹法分析系统的暂态特性

由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。

2023/1/31自动控制原理1002023/1/31自动控制原理101开环零点对系统根轨迹的影响

增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，因而影响了闭环系统的稳定性及其瞬态响应