解三角形应用举例两课时

应用举例解斜三角形公式、定理正弦定理：余弦定理：三角形边与角的关系：2、大角对大边，小角对小边。解个数判定2.余弦定理的作用（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角；

（3）判断三角形的形状。推论:三角形的面积公式斜三角形的解法已知条件定理选用一般解法用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180˚，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理由A+B+C=180˚,求出另一角，再用正弦定理求出两边。用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180˚得出第三角。用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180˚得出第三角。一边和两角(ASA或AAS)两边和夹角(SAS)三边(SSS)两边和其中一边的对角(SSA)ACB51o55m75o测量距离测量宽度

例1：如图

5某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100米．(1)求sin75°；(2)求该河段的宽度．图5解：(1)sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°(2)∵∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°，由正弦定理得：

ABsin∠ACB＝

BCsin∠CAB.ABsin75° . sin60°∴BC=

如图5，过点

B作BD垂直于CD，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度． 在Rt△BDC中，ABCD

求不可到达两点之间的距离问题 例2：如图7，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C、D，测得CD＝1000米，∠ACB＝30°，∠BCD＝30°，∠BDA＝30°，∠ADC＝60°，求AB的长． 图7

解：由题意知△ACD为正三角形， 所以AC＝CD＝1000米． 在△BCD中，∠BDC＝90°，

测量不能达到的两点间的距离，利用解斜三角形是一个重要的方法．解决这类问题的关键是构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计算．ABCDαβγδa解：如图，测量者可以在河岸边选定两点C、D，设CD=a，∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠ADB=δ

1－1.如图6，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为_______.60m图6

2－1.如图8，现要计算北江岸边两景点B与C的距离．由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝10km，AB＝14km，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C的距离．(假设A、B、C、D在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：≈1.414)图8解：在△ABD中，设BD＝x.则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得：x2－10x－96＝0.解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．由正弦定理，得：sin

BC∠CDB＝sin

BD∠BCD，

即两景点B与C的距离约为11km.航行问题

例3：一船在

A处向北偏西30°的方向以每小时30海里的速度航行，一个灯塔原来在船的北偏东15°，经过40分钟后，船在B处，灯塔C在船的北偏东45°，求船和灯塔之间原来的距离．解：如图9.图9由已知：AB＝20海里，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°.在△ABC中，根据正弦定理得：

ACABsin∠ABCsinC

解决有关航行问题的应用题，关键是对一些数学术语要理解好，把它翻译到图形中作出草图，然后运用正弦、余弦定理求解．＝＝，

3－1.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度从A处出发沿北偏东60°的方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处，发现在北偏西45°的方向上有一艘船C，船C位于A处北偏东30°的方向上，求此时缉私艇B与船C的距离．

ABsin∠ACB

BCsin∠BAC即BC＝20sin30° sin75°＝故此时缉私艇B与船C的距离为图1

解：如图1，由题意AB＝40×0.5＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝75°，由正弦定理：

例4：某货轮在海上以30海里/小时的速度沿方位角150°的方向航行，为了确定船的位置，船在B点观察灯塔A的方位角是126°，航行半小时后到达C点，观察灯塔A的方位角是78°.请用简图表示船的位置．

错因剖析：对方位角的定义理解不清，错把标准方向定为正东方向．正解：如图10.图10

4－1.甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20nmile的B处，乙船以10nmile/h的速度向正北方向行驶，而甲船同时以8nmile/h的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解：设甲、乙两船经过t小时后相距最近，且分别到达P、Q两处，因乙船到达A处需2小时，①当0≤t≤2时(如图2－①)在△APQ中，AP＝8t，AQ＝20－10t图2小时后，相距最近．②当t＞2时(如图2－②)在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20∴甲、乙两船行驶10 7已知△ABC中，

BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°，求AC．

解：（如图）在△ABC中，由正弦定理可得：因为BC＜AB，所以A为税角，A＝14°15′

∴B＝180°－（A＋C）＝85°45′又由正弦定理：测量高度例2.如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑的最高点，试设计一种测量建筑物高度AB的方法。解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是a、b，CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。，CD间的距离是12m.图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？例2、在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角a=54°40′，在塔底C处测得A处的俯角b=50°1′已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m)ABCDab例3.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在西偏北15o的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25o的方向上，仰角8o，求此山的高度CD.ADCB课堂小结1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知

与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题。3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程图可表示为：实际问题数学模型实际问题的解数学模型的解画图形解三角形检验（答）例6一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距离精确到0.01nmile）?练习、

3.5m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足1.2m的地面上，另一端沿堤上2.8m的地方，求地对地面的倾斜角。祝同学们百事可乐,天天七喜！愿我们：心想事成！（1）什么是最大仰角？

最大角度最大角度最大角度最大角度（2）例题中涉及一个怎样的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？练习1、自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．

顶杆BC约长1.89m练习2、一艘船以32.2nmile/hr的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以