振动分析基础第二章(201-210)

第二章单

自

由

度

线

性

系

统

的

强

迫

振

动2.1概述振动力学中，一个非常重要的课题就是研究系统对于外部激励的响应。外部激励可以表现为初始位移、初始速度或二者兼有。当只存在初始激励时，系统将自由的进行振动。这样的运动被称为是“自由振动”。此外，激励还存在着另外一种形式，即力在一段时间内持续存在的，而由此而产生的振动被称为“强迫振动”。这一章，我们将开始对强迫振动进行讨论。谐波激励具有着广泛的实际意义，并且是研究其它类型激励的基础。所以对谐波激励将进行比较详尽的讨论；系统对于外部激励的响应，其求解方法在很大程度上取决于激励的类型。本章，将按照从简单到复杂的顺序进行介绍：周期性激励可应用标准的傅立叶级数将其看作是许多谐波激励的迭加。从而可利用谐波激励的结果进行分析；对于非周期的任意激励，将介绍脉冲响应和卷积积分。最后，可由傅立叶变换和拉普拉斯变换来得到系统响应。①谐波激励：②周期性的激励：③非周期性的激励(任意激励)：2.2

对谐波激励的响应仍然考虑下图2－1所示的二阶线性阻尼系统：图2－1.二阶线性阻尼系统mm已经知道，该系统运动微分方程为：(2.1)对的情况，前面第一章已经进行了讨论。下面将研究

时的情况，即运动微分方程(2.1)的特解情况。式中，称为“激励频率(或驱动频率)”，而和将具有位移的单位。首先来考虑最简单的情况，即系统承受谐波激励时的响应。为此，可令外力具有如下的形式：首先，将方程(2.2)表示的谐波激励代入系统的运动微分方程(2.1)中，并用质量除方程两端，则运动微分方程变为：(2.2)可以看到，这里方程(2.2)中，人为引进了函数的。后面将看到，通过这样的表达方式，我们可以导出响应与激励的“无量纲比”。而“无量纲比”的概念往往能把对特殊情况的分析结果推广到其它不同的情形，从而推广分析结果的应用范围。

①运动微分方程所对应的齐次方程的解，称为“通解”

(即自由振动的解)。它将随着时间的延续而消逝，所以这时的解也称为“瞬态解”或“瞬态响应”；显然，上式为非齐次线性微分方程。其解将包括两个部分：

②

非齐次方程的解，称为“特解”。即由谐波激励所引起的系统的强迫振动，它在长时间内不会消失。所以，称之为“稳态解”或“稳态响应”。因为这时的激励力为谐波形式，所以，需要求解的稳态响应也必然是谐波形式。并且，应该具有相同的频率。(2.3)再者，

运动方程(2.3)的左端包含有未知响应

的奇次和(2.4)其中，、为待定常数。将方程(2.4)代入运动微分方程(2.3)，即可写出：整理上式，并通过令方程两端的项和项前面的系数相等，可得到两个代数方程：偶次的时间导数。所以，可假设解

具有如下形式：(2.5)(2.6)(2.7)将系数和代入前面假设的响应解(2.4)中，即可得到单自由度阻尼系统承受谐波激励的稳态响应：联立求解代数方程组(2.5)，得到系数

、

为：这时，引入如下表达：可将稳态响应(解)(2.7)写成如下的简洁形式：(2.8)其中：(2.7)分别为稳态响应的“振幅”和“相角(相位)”。(2.9)(2.10)2.3

复频率响应本节，我们引入复矢量的概念，将上节中谐波激励的表达形式进行推广。即用复矢量来表示谐波形式的外部激励。为此，首先简单回顾“欧拉公式”：指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，但在复数域中却可以将它们相互转化，能够被一个非常简单的关系式联系在一起，这就是上面的欧拉公式。后面将会看到，引入复矢量的表示方法，将使得响应的推导以及对振动问题的进一步深入研究都具有重要的意义。下面将欧拉公式在复平面上表达出来，如下图2－2：

图2－2.欧拉公式在复平面上的表达复矢量

可以看作是一个在复平面内，以角速度逆时针转动的单位复矢量。那么显然，该单位复矢量在实轴上的投影就是它的实部

，而在虚轴上的投影就是它的虚部。其中，符号

表示取复矢量

的实部。显然，上式表达的是余弦形式的谐波激励。而当激励为正弦形式时，可写为：现在，重新考虑单自由度阻尼系统的运动微分方程(2.1)，并应用复矢量的形式来表示方程右端的谐波激励

：所以，综合上面两式，可将正弦形式和余弦形式的谐波激励统一的用复矢量表示为：符号表示了取复矢量的虚部。(2.11)通过引入谐波激励的复矢量表达形式，可将单自由度阻尼系统的运动微分方程(2.3)重新写为：根据微分方程理论，可假设系统的响应：将响应(2.13)及其相关的时间导数代入方程(2.12)，有：由复矢量形式的激励所求得的响应，如果真实激励为余弦形式，则取响应的实部。如果是正弦形式，则取响应的虚部。整理上式，即可得出系统响应：(2.12)(2.13)(2.14)观察响应(2.14)，可以看出，这时的响应表达式与谐波激励的复矢量表达式具有一定的比例关系。我们称该比例系数为“复频(率)响应”。显然，复频(率)响应建立了响应与激励之间在频率域内的一种关系。(2.15)将比例系数记为：这样，可将系统的响应(2.14)写成如下的简洁形式：所以，对于余弦形式的谐波激励，响应为上式的实部，即：复频(率)响应

为一复数，所以由复数代数，可知：(2.16)(2.17)(2.18)其中，为复频(率)响应的模，被称为“放大因子”；

称为是复频(率)响应的“相角(或相位)”。对于正弦形式的谐波激励，则响应为(2.17)式的虚部：(2.19)可见，谐波形式的激励，其响应也同样是谐波的。并且，响应具有和激励相同的振动频率。所以，研究响应和激励在频率域上的变化关系，可能要比从时间域上来研究更能够了解系统的动力特性。尤其的，讨论放大因子

和相角

与激励频率之间的变化关系，将能够更好的揭示系统的动力响应特性。(2.20)根据复数代数，放大因子，即复频(率)响应的模，等于

的实部与虚部平方的和的开方，即：对比前面导出的响应的振幅(2.9)式，即：可以看到，“放大因子”实际上是响应的振幅与激励幅值的一个“无量纲比”，即：(2.21)下面给出放大因子与频率比的关系曲线图2－3：(2.20)图2－3.放大因子与频率比在不同阻尼系数下的关系曲线①由图可看出，阻尼能够减小响应的幅值。并且随着阻尼的增大，振幅的峰值点将向的左侧移动。②

当频率比

时放大因子

，表明此时响应的幅值与激励的幅值基本相同。③当时，放大因子趋向于“0”值。表示这时响应的幅值很小。④唯独在附近，放大因子明显增大，说明响应的振幅将远大于激励的幅值。这时，限制响应振幅的就只有阻尼因素。要确定“放大因子”对“频率比”的曲线的峰值点位置，可用计算函数驻值的方法。将放大因子(2.20)式对驱动频率求导，并令结果为零，即可得到峰值点发生的位置为：

②

当粘性阻尼因子时，响应没有峰值点；由上式即可看出：(2.22)

③

当

时，曲线在

处出现不连续。实际上，此时单自由度阻尼系统将简化为“谐振子”。

①

极大值并不发生在无阻尼时的固有频率

处，而是发生在频率比

处，即小于

处；

当激励频率趋近于系统的固有频率

时，谐振子的响应将无限的增大。这时，我们说谐振子达到了“共振条件”，此时将发生剧烈的振动。需要注意的是，达到共振点时，前面由所导出的系统响应方程(2.14)，即：已不再适用，本节后面将给出达到共振条件时的解答。粘性阻尼因子时，相当于无阻尼的单自由度系统，系统运动微分方程将简化为“谐振子”的运动微分方程，进而可得到如下的结论：将上式分子分母同乘分母的共轭复数，将实虚部分离：及复频(率)响应：即可根据上面的欧拉公式，得到“相角”的表达式为：现在，我们来讨论“相位(角)”，为求相角表达式，可考虑欧拉公式的如下形式：由前面导出的响应方程(2.17)：可以看出，这与以前得到的相角公式(2.10)是一致的。(2.23)可见，相角实际上表示了响应和激励间的夹角(相位差)。根据(2.23)式，可画出“相角”与频率比之间，在不同粘性阻尼情况下的关系曲线，如下页图2－4。及谐波激励的复矢量表达式(2.11)：图2－4.相角在不同粘性阻尼因子下，对的曲线①由图可见，所有的曲线都通过

，这一点。②

当时，相位差趋于零值；而当时，相位差趋于。③在阻尼因子时，曲线在处发生突变。由跳跃到。这是因为，时，响应简化为：所以，时，响应为正，即响应和激励同相。而时，响应为负，即响应和激励相位差180度，方向相反。因为速度项为零，所以这里不再需要写为复数形式。方程(2.24)实际上表达了“谐振子”承受谐波激励时的系统运动微分方程。应用代换法，很容易得到方程(2.24)的特解：(2.24)(2.25)最后，讨论前面提到的系统达到“共振条件”时的情况，即，时的情形。这时，运动微分方程将简化为：方程(2.25)表示了谐振子在受到谐波激励时，其响应的振幅将随着时间的延续而线性增加。这意味着，随着时间

的增大，谐振子的响应将无限增大，产生剧烈的振动。然而实际上，响应不可能无限的增大，因为到了一定的时刻，系统就将违反线性系统关于微小运动的假设。由响应式(2.25)也可看到，激励是余弦形式的谐波，而响应却是正弦形式的。所以二者之间存在着的相位差，这一点由前面图2－4也可观察到。下面画出共振条件下的响应曲线：图

2－5.共振条件下的响应曲线为避免混乱，将前面瞬态解(2.20)中的振幅改记为

，相角

改记为

，则响应的全解可写为：第一章中的单自由度阻尼系统自由振动的解(1.20)，即“瞬态响应”，与本章得到的特解(2.18)式，即“稳态响应”，二者迭加起来，就构成了单自由度系统在谐波激励下进行强迫振动的响应。也就是单自由度阻尼系统运动微分方程的全解。(2.26)

总结：由上式可以看出，系统的响应将由两部分迭加而成：所以，考虑强迫振动时，主要是考虑后一项的“稳态响应”。它的振动频率与外部激励的驱动频率相一致，但相位和幅值却与激励的相位和幅值不一致。

①第一部分为有阻尼的自由振动。它是系统本身的一种固有振动，将随着时间的延续按指数规律衰减；

②第二部分则是由外力而引起的强迫振动。强迫振动的振幅不随时间的延续而衰减。(2.26)2.4

旋转的不平衡质量很多的机械系统，都可以简化为上图2－6(a)所示的理想模型。模型中包含了一个主质量，以及两个大小均为的偏心质量。其中，两个偏心质量以匀角速度反向旋转。图

2－6(a).转动时的不平衡质量为写出该系统的运动微分方程，首先画出系统的分离体图，如下图2－6(b)和2－6(c)所示：这里需要注意的是，由于两个偏心质量反向的旋转，所以它们在任何时刻施加给主质量的力，在铅垂方向上为相加，而在水平方向上将彼此抵消。所以，系统只会在铅垂方向上产生振动。图2－6(b).偏心质量偏心质量的位移主质量的位移图2－6(c).主质量根据牛顿定律，首先写出偏心质量在铅垂方向的运动方程：其中，从系统的静平衡位置算起。同理，写出主质量在铅垂方向的运动方程：将(2.27)式代入(2.28)，可得到整个系统的运动微分方程：(2.27)(2.28)(2.29)可见，反向旋转的偏心质量对系统施加了谐波形式的激励。方程(2.30)右端项已经化为了与前面相同的激励形式，所以利用前面的响应结果(2.17)，可直接写出系统的响应：整理方程(2.29)，得到：(2.30)(2.29)(2.31)继续将响应写成如下的简洁形式：其中：因此，对于本节所讨论的这种系统，其无量纲比为：(2.32)(2.33)(2.34)可见，旋转的不平衡质量系统的“无量纲比”已不再仅仅是“放大因子”本身。所以，前面给出的关于放大因子和频率比的关系曲线图2－3也不再适用。下面，就画出该系统的无量纲比：与激励频率和系统固有频率的比值：，在不同的粘性阻尼因子

下的关系曲线，如下页图2－7：图2－7.无量纲比与频率比在不同阻尼系数下的关系曲线①当时，无量纲比。②

当时，无量纲比。③因为质量的位移为，偏心质量位移为。由此得出，对于大的驱动频率，无论阻尼如何，主质量和偏心质量将按系统的质心保持不动的这样一种方式进行运动。2.5

支承的谐波运动另外一种常见的，承受谐波激励的系统，就是当系统的支承承受着谐波运动的情况，如下图2－8所示：图2－8.系统支承具有谐波运动的系统(2.35)首先，假设系统支承的谐波位移可表示为：

。根据牛顿定律，即可写出系统运动微分方程：整理为：(2.36)将：代入方程(2.36)。并继续将方程(2.36)整理为与前面讨论的运动方程形式相同的结构：(2.37)这时，直接利用响应公式(2.17)，即可写出系统响应为：(2.38)上式响应可写为如下形式：其中：(2.39)(2.40)(2.41)根据上面响应式(2.40)，可得到该系统的无量纲比为：这时的

通常被称为“传递率”。(2.42)根据(2.42)式，画出以粘性阻尼因子

为参数，传递率与频率比的关系曲线，见下页图2－9。图2－9.传递率与频率比在不同阻尼因子下的关系曲线2.6

谐波运动的复矢量表达前面几节中，我们用复矢量表示了谐波形式的激励，并导出了阻尼系统对谐波激励的响应。两端对时间

进行求导，即可得到系统的响应速度及响应加速度的表达式：下面，我们将承受谐波激励的阻尼系统及其响应，在复平面内给出其几何描述。首先，对前面导出的响应公式(2.17)：考虑欧拉公式的如下形式：则响应的速度和加速度可写为：这时可以看出，速度

超前于位移

项相角，并等于位移乘以因子

；而加速度

超前位移

项相角，并等于位移乘以因子。根据以上关系，我们即可在复平面上用几何图形来表示二阶系统的运动微分方程(2.12)，即：下图表示了任意时刻，复矢量

、

和

之和与复矢量

相平衡，即运动方程在复平面上的几何表示。图2－10.谐波运动的矢量表示2.7

隔振有时候，我们需要考虑各种机械设备对于地基的影响，并且总是希望设备传递给地基的振动越小越好。因为振动过大，将会引起地基的破坏、变形，进而导致设备的损害或加工精度的丧失。而该问题对于进行谐波运动的机械设备来说，将尤为严重。所以，为减少这种振动的影响，我们通常采取在设备的底部加装弹簧、橡胶垫(阻尼)等方法来进行所谓的“隔振”。图2－11.隔振系统模型m对于这种隔振问题，通常可采用如右图2－11所示的动力学理想模型来进行研究。已经知道，谐波激励作用下的振动系统，其响应同样是谐波的。而要研究设备的振动对地基的影响，就需要考虑设备在振动过程中对地基的力的作用。显然，振动过程中，设备是通过与地基的连接弹簧和阻尼进行力的传递。所以，可将设备传递给地基的力表示为：(2.43)对于式中的，可直接利用前面谐波激励的响应公式来得到，即：上式代入方程(2.43)，并考虑到相位对于传递力的幅值并不产生影响，即可写出设备传递给地基的力的幅值为：因为设备所承受的谐波激励可表示为：将谐波激励的幅值记为：结合(2.44)式，并考虑阻尼系数：

及

，则可得到设备传递给地基的力的幅值与设备所承受的激励力的幅值这二者之间的关系为：(2.44)(2.45)(2.46)显然，根据上式(2.46)，即可得到传递力幅值与激励力幅值的一个无量纲比：(2.47)同样，上式也称为“传递率”。可以看出，它与前面“支承的谐波运动”中所得到的传递率(2.42)式是相同的。而这里的传递率可看作是衡量外部激励传递给地基的尺度。根据(2.47)式，可画出“传递率

”与频率比的关系曲线，如下页图2－12，该图形与前面的图2－9相同。(2.46)图2－12.传递率与频率比在不同阻尼系数下的关系曲线2.8

振动测量仪振动测量仪基本上有三种类型，即：“加速度测量仪”、“速度测量仪”和“位移测量仪”。我们这里只讨论第一种和第三种类型的测量仪。测量仪通常由装有弹簧－阻尼器－质量的盒子以及用于测量质量相对于盒子的相对位移的装置构成。如下图2－13所示：图2－13.振动测量仪测量仪的位移质量的绝对位移质量相对于盒子位移测量时，将上图2－13所示装置固接在被测的振动系统上，然后通过测量质量块与盒子的相对位移，从而得到与振动有关的各量，比如振动系统的位移、速度和加速度。按照上页图示，表示质量块的绝对位移，表示的是测量仪本身的位移，所以图中三种位移具有如下关系：利用(2.48)式，消去上式中，并整理得到：首先，对质量块列出其运动微分方程：(2.48)(2.49)(2.50)根据响应公式(2.17)，即可写出质量块的响应为：将上式进一步记为：即可得到此时的一种“无量纲比”：假设振动系统的位移函数为

，即。将代入质量块的运动微分方程(2.50)，并整理为标准形式：(2.51)(2.52)(2.53)(2.54)根据(2.54)式，可画出无量纲比

和频率比，在不同阻尼因之下的关系曲线，如下图2－14。图2－14.传递率与频率比在不同阻尼系数下的关系曲线如果将“无量纲比”(2.54)变化为：(2.55)显然，当时，分母项趋近“1”值，所以：注意到，(2.56)式的分子项，实际上就是被测系统的加速度幅值，所以这时我们得到的测量值与被测系统的加速度实际上是成比例的关系。此时，该测量仪可作为“加速度计”。(2.56)如果继续将(2.55)式化为如下的形式：所以，如果作为加速度计，则需要振动测量仪具有很高的固有频率。这样才能够实现被测系统的振动频率与振动测量仪的固有频率之比，使得测量值与被测系统的加速度值具有一定的比例关系，进而得到被测系统的加速度值。这时，当

时，上式分母项趋近于“1”，所以有：以上讨论可知，“位移计”的尺寸要远比“加速度计”的尺寸大得多。所以，如果需要测量振动系统的位移值，但空间尺寸又受到一定的限制，则可采用“加速度计”测得被测系统的加速度，然后通过将加速度对时间的两次积分，即可得到所需的被测系统的位移。显然，这时测量到的值与被测系统的位移几乎相等。所以，和加速度计相反，要使振动测量仪作为“位移计”，就需要该振动测量仪具有很低的固有频率，即测量仪中的质量块的质量要相当大，而弹簧则要足够软。这样才能够使得被测系统的振动频率与振动测量仪的固有频率之比：

。2.9

能量耗散，结构阻尼一、

能量耗散：前面已经证明，一个“弹簧－阻尼器－质量”系统，受到由下式实部给出的谐波激励：时，其响应将由下式的实部给出：式中：可以解释为响应的最大位移幅值。显然，由于阻尼的因素，系统并不是保守的，而是始终存在着能量的耗散，而能量的耗散必定等于外力所做的功。所以，可以写出振动在一个周期内(每一周)所消耗能量的表达式：这里，我们只考虑激励和速度响应的实部。将二者的表达式代入上式，得到：根据前面相角公式(2.10)和放大因子公式(2.20)，即：(2.57)(2.58)并利用三角公式：很容易得出：可见，振动每一周所消耗的能量直接与系统的阻尼系数

、驱动频率，以及响应的幅值的平方成正比。(2.59)二、

结构阻尼：由经验证明，在所有的实际系统中，都存在着能量耗散。即使是对于那些其数学模型对阻尼也没有作出明确规定而予以略去的系统来说，也同样存在着能量的耗散。比如，对于弹簧，由于内摩擦的原因，其变形过程中也存在着能量的耗散。但与我们前面介绍的粘性阻尼不同，这里的由材料内摩擦所引起的阻尼与系统的运动速度无关。其中，

是一个与谐波振动频率无关的常量。通过对大量不同材料进行的试验说明，由于内摩擦而使得振动一周所损失的能量大致与位移的幅值的平方成正比，即：(2.60)对于这种类型的阻尼，我们称之为“结构阻尼”。它被认为是由于弹性材料中与循环应力有关的“滞后现象”引起的。而每一个应力循环所损失的能量等于如下图2－15所示的滞后环内的面积。图2－15.循环应力的滞后现象Hysteresis

Loop

(滞后环)Area

=

Energy

Lost

Per

Cycle(环行面积＝每周能量的损失)比较前面(2.59)式和(2.60)式：可以看出，具有结构阻尼，并且承受着谐波激励的系统，可以将其看作是具有粘性阻尼，并且其等效的阻尼系数为：这样，就可以把具有结构阻尼的系统的运动方程写为：因为速度项：，所以可进一步将上式写为：(2.61)(2.62)其中的：称为“结构阻尼因子”。称为“复刚度”或“复阻尼”。方程(2.62)的稳态响应为：可看出，与具有粘性阻尼的系统不同，对于具有结构阻尼的系统，其最大振幅正好出现在处。需要注意的是，结构阻尼和粘性阻尼的这种相似性，只有当系统承受谐波激励时才是有效的。因为前面的推导中，包含有系统受驱动频率为的谐波激励时，响应也是谐波的这一条件。2.10