频域信号的检测

第四章频域信号检测技术第一节相关函数和相关检测一、相关函数能量有限信号：功率有限信号：f(t)为虚函数：f(t)为实函数：f(t)为虚函数：f(t)为实函数：对于能量有限信号（单脉冲，非周期信号等）的相关函数：两个信号x(t)，y(t)输入同一电路，但由于某种原因两个信号产生了时间延迟，它们的相关函数可定义为：相关函数是两信号之间时延为τ的函数。若x(t)与y(t)不是同一信号，则它们的相关函数Rxy(τ)或Ryx(τ)称为互相关函数。如果x(t)与y(t)是同一信号，即y(t)＝x(t)。此时，它们的相关函数Rxx(τ)［或简写作R(τ)］称谓自相关函数：对于功率有限信号（如周期信号、阶跃函数及随机信号）的相关函数定义为：虚函数的相关函数：实函数的相关函数：相关检测技术是应用信号周期性和噪声随机性的特点，通过自相关或互相关运算，达到去除噪声的一种技术。自相关函数用来度量同一个随机过程前后的相关性。当随机函数不包含周期性分量时，自相关函数将从τ＝0的最大值开始，随τ的增加单调地下降。当τ趋近无穷大时，随机函数x(t)的自相关函数趋近x(t)平均值的平方。相关检测如果平均值为零，则Rxx(τ)随τ的增大而趋于零。由此可知，Rxx(0)表示信号x(t)在—欧姆电阻上的平均功率，即互相关函数是度量两个随机过程间的相关性。如果两个随机过程的发生互相独立（如信号与随机噪声），则互相相关函数将是一个常数，它等于两个随机函数的平均值的积。若其中有一个平均值是零，则互相关函数处处为零。相关接收机（或检测器）就是计算相关函数的自动化仪器。自相关检测技术：一般信号的描述：fi(t)=Si(t)＋ni(t)fi(t)的自相关函数为：互相关检测技术：一般信号的描述：f1(t)=S1(t)+n1(t)；f2(t)=S2(t)+n2(t)互相关函数为：第二节锁定放大器一、锁定放大器概述信号通道：信号通道位于相关器之前，由输入变压器、低噪声前置放大器、各种功能的有源滤波器和主放大器等组成。其作用是将弱信号放大到足以推动相关器工作的电平，并兼有抑制和滤除部分干扰及噪声的功能，从而扩大仪器的动态范围。信号通道应是低噪声、高增益的。参考通道：通常锁定放大器的参考通道输出是和信号同步的对称方波，用以驱动相关器的场效应管开关。参考通道主要由触发电路、倍频电路、相移电路、方波形成电路及驱动电路组成。参考触发信号可在仪器内部发生，也可从外部输入，大部分产品由外部输入。输入波形可以是正弦波、方波、三角波、脉冲波等周期信号。相关器：相关器是一种完成被测信号与参考信号互相关函数运算的电子线路。它必须具有动态范围大、漂移小、时间常数可调、线性好、增益稳定和频率范围宽等性能。相关器包括乘法器和积分器两部分。二、锁定放大器中的相关器1、相关器的数学解若参考信号为对称方波，可用单位幅度的对称方波函数表示，即：被测信号为正弦波，即：乘法器输出信号：积分器输入电压V1、输出电压V0均满足微分方程：一阶线性微分方程，其通解通过边界条件，求出C2、相关器的性能讨论1）当输入信号频率与参考信号频率的基波相等输出信号：满足条件：其中Tc＝R0C0为积分器的时间常数。输出信号携带测试信号的全部信息：幅度、相位差、频率（参考光基频），信号放大：R0/R1当测试时间t>>Tc时的稳态解：2）当输入信号为参考信号的偶次谐波时输出信号：满足条件：当测试信号为参考信号的偶次谐波时，锁定放大器没有信号输出。当参考信号的占空比为1：1对称方波时，则傅里叶分析知道，此方波无偶次项分量，亦即相关器能抑制偶次谐波。3）当输入信号为参考信号频率的奇次谐波

输出信号：满足条件：分别是输入信号频率为参才信号频率的奇数倍时的输入信号振幅、相位差和输出电压

。当测试时间t>>Tc时的稳态解：当n=0时，为基波输出当信号频率为参考信号频率的奇次谐波时，相关器输出的直流电压幅值为基波频率的1/(2n+1)。假设（2n+1）次谐波的输入振幅信号的输出：4）若输入信号频率偏离奇次谐波一个微小量

满足条件：信号输出：分别为输入信号频率在附近偏移时的信号幅值、相位差、输出相位移和输出电压。5）输入信号为参考信号同频的方波

在物理量的测量中，往往需要把慢变化和直流信号进行斩波，使之变成方波信号后再进行测量，所以讨论相关器对方波的响应具有实际的意义。当输入信号为方波时，其数学表达式：式中的为输入信号相对于参考信号的延迟时间。参考信号表达式：经过推导，输出信号为：式中满足条件：信号输出：根据无穷级公式（0＜y＜C）假设：信号输出：输出信号与相位差成线性关系3、相关器的噪声带宽信号频率在参考信号频率奇次谐波附近，相对于基波响应响应的规一化传输函数为根据等效噪声带宽的定义：当n＝0，基波处等效噪声带宽则基波处的等效噪声带宽与相关器的积分常数有关，总的等效噪声带宽为各次谐波等效噪声之和存在级数总的噪声带宽为：由于噪声电压与等效噪声带宽的平方根成正比，故当相关器输入为白噪声时，总的输出噪声比基波处的噪声大。这说明，如果输入信号为方波，并伴有白噪声，在相关器前加带通滤波器或低通滤波器，可使噪声限制在基波等效噪声带宽内。因为，各谐波等效噪声被排除，使相关器的等效噪声带宽减小23％，即滤波器掉了11％的噪声，但是滤波器也滤掉了输入方波信号中的谐波分量，使信号损失了23％，这表明检测方波信号时，在相关器前加滤波器不能改善输出信噪比。但当检测正弦波信号时，滤波器对信噪比的提高却是有利的。三、锁定放大器时间常数的选择相关器的等效噪声带宽由积分器的时间常数决定。Tc越长，等效噪声带宽越窄，抑制噪声的能力也就越强；同时，Tc越长，信号的变化频率表现越失真。Tc的选择有一定的范围，即有一个上限和下限值。1、积分时间的下限（最小值）

1）积分时间的下限受输出电路过载电平的限制。在相同的噪声干扰下，Tc越长，抑制噪声能力越强，输出噪声就越小。Tc越短，抑制噪声能力越差，输出噪声就越大。积分时间的下限主要受以下两个方面所限制：假设输入端为单位带宽白噪声，噪声电压为假设系统增益为K=1输出端的噪声电为：为使锁定放大器能正常工作，必须使输出噪声的峰值不超过满刻度电平FS（FullScale）。由于Vni为均方根值，而噪声的峰值一般认为是均方根值的三倍。因此，噪声峰峰值为均方根值的六倍（正负），所以必定满足：通常锁定放大器的输出等效噪声带宽完全由积分器确定，可以近似的认为Tc的下限值为：2）积分时间的下限受谐波衰减的限制。在讨论相关器的性质时，必须满足条件：假设t>>Tc，则式中除第一项外，其余都是小项，且是交流谐波项，它们随着Tc的减小而增加。其中二次谐波2R

是最大的交流分量，如果要满足谐波分量可以忽略不计，假设二次谐波分量小于1/100，则满足：TR为参考信号的周期，从此式所知在积分器为6dB/倍频程衰减时，若要使谐波项低于直流项二个数量级，则必须使积分时间常数Tc大于信号周期的八倍以上。2、积分时间的上限（最大值）

积分时间越长，抑制噪声和干扰的能力越强。然而，要在不失真的前题下正确检测信号，则积分时间就要受到限制，多数信号不可能只是单一频谱，这是因为单一频谱不包含信息。所以大多数情况下，信号都具有一定频谱宽度。假设信号为：s表示信息量，且假设信号载波频率等于参考信号频率。稳态解为：n=0时，输出信号为：满足条件：s是慢变化的调制信号频率，R是载波频率，则前二项为零。则输出信号为：当n=0时则：通过相关器可恢复s信号，如果要求恢复的信号不失真，则要求在全频谱内，各频率分量按原来的比例恢复。假设信号谱频最高频率的失真不超过50％，则要求：假设信号谱频最高频率的失真不超过3dB，则要求：总结积分时间的取值范围（不考虑满刻度限制）：或者：按频率表示：可见：载波频率与信号频率的关系：即在微弱信号检测中，采用相关检测时要求载波频率fR远大于缓慢变化信号的最高频率fsmax。为了抑制噪声和不使仪器输出端噪声电平过载，希望Tc越长越好。但为使信号不失真，则时间常数又不能太大，故宜采用折中处理。另外，在某些物理量的测量中，可设法减慢信号的变化速度，减窄信号频谱的带宽，如使fsmax减到1/100周以下或更低。这样，就能用长的Tc来检测深埋在噪声中的信号。第三节同步积分器一、同步积分器概述同步积分器又称相干滤波器，它是一种抗噪声能力很强的电路。其工作原理是采用对信号和噪声多次累积平均的办法，将已知频率的信号从强噪声中提取出来。二、同步积分器原理三、同步积分器的数学解积分器的输入电流和输出电压关系分别由下式决定：输出信号是通过同步开关交替地接到负载RL上去的输出电压。假设：C1＝C2＝C，同步积分器的输出是与参考信号（开关信号）频率相同的方波，方波的幅度，即：四、同步积分器的性能1、设输入信号与参考信号频率相同

1.同步积分器的积分时间常数Ti＝2RC。如要改变积分时间并保持放大倍数不变，可改变电容C。2.同步积分器的输出方波幅度正比于输入信号的幅度、信号与参考信号相位差的余弦及同步积分器的放大倍数的乘积。3.含有输入正弦信号的振幅和相位信息，只要在参考信号的通道中设一个定标相移器，就可以通过输出信号来测定输入信号的振幅与相位。2、信号频率为参考信号频率的偶次谐波

它表明同步积分器抑制偶次谐波。显然，当为参考信号的偶次谐波时，对每一个积分器来说，在参考信号的正半周（或负半周）内积分一次，正好是信号的（n+1）个整周期。因而，此时信号的正半周对电容器充的电荷正好是它在负半周释放的电荷，互相抵消，积分为零，因而输出为零。其物理过程和相关器中的偶次谐波分析类似。3、信号频率为参考信号频率的几次谐波

由此可见，在输入信号频率为参考信号奇次谐波时，其输出幅度正比于该谐波输入信号振幅的1/（2n+1)、信号与参考信号相位差的余弦及同步积分器放大倍数的乘积。4、输入信号频率偏离参考信号奇次谐波频率一个小量

由此得到同步积分器的传输特性。这是以参考信号频率为参数的梳状滤波器，滤波器的“梳状齿”在各次谐波处，其相对幅度和方波频谱特性一样。因此，同步积分器是随参考信号频率而变化的方波匹配滤波器。当积分时间常数Ti＝2RC越长，带宽越窄，抑制噪声的能力也就越强，就越接近方波的理想匹配滤波器。5、输入信号是参考信号的同频方波输出信号为：输出方波的幅度不但正比于输入方波的幅值，而且是信号方波和参考方波相位差（或延迟时间）的线性函数。可见，同步积分器不但是方波的匹配滤波器，而且在强噪声条件下，还可作方波鉴相器。6、输入信号为调幅方波，其频率和参考信号频率相同

或则（另外一种表达方式）：输出信号为：式中：一个调幅方波通过同步积分器后，输出一个调幅方波，但方波幅值被衰减，且在调幅信号中产生相移。

同步积分器可看作以参考信号频率为参量的方波匹配滤波器。若有与参考信号相干的正弦信号（或方波信号）淹没在白噪声中，由于白噪声具有均匀频谱，通过同步积分后，信号全部通过，而白噪声绝大部分给滤掉了，只有极小一部分未滤去。因而它能将淹没在噪声中的信号恢复出来。当然还可能存在其它强干扰信号，但只要干扰频率不落在同步积分器的传输通频带内，同步积分器照样可把这些强干扰滤掉，将信号恢复出来。物理机理可以这样理解：同步积分器是采用同步开关控制的积分器，使同频信号同相地分别对两个电容充电，充电电位为信号在充电时间内的积分值。而噪声由于频率和相位都是随机的，不可能全与开关同步，因此噪声在电容上的充、放电将互相抵消，积分后的噪声值很小。其它干扰同样互相抵消，从而达到能在噪声和干扰中提取信号的目的。五、同步积分器的噪声带宽同步积分器的归一化传递函数：等效噪声的定义：一级同步积分器的等效噪声带宽：二级串联同步积分器的等效噪声带宽：（1）等效噪声带宽只决定于积分时间常数，时间常数越大，等效噪声带宽越窄。（2）二级同步积分器串联的等效噪声带宽是一级等效噪声带宽的一半。