通信原理第2章 预备知识VIP

第2章预备知识●内容提要◆信号与系统的分类◆确定信号的付氏级数，付氏变换，功率谱，能量谱，自相关与互相关◆随机信号的概率分布函数，概率密度函数，数学期望，方差，协方差，相关函数，◆平稳、高斯、窄带随机过程，自相关函数、各态历经性、时间平均值、功率谱密度◆信道与噪声2.1信号和系统的分类

l

信号的分类

能量信号：能量有限的信号，只存在有限时间间隔内。

能量：平均功率：

当时，若是大于零的有限值，则为功率信号。l

系统的分类

2.2确定信号的分析l

周期信号一个周期为的周期信号，可以展开为：

1.傅里叶级数2.三角级数

3.指数形式

其中l

信号的傅里叶变换一个非周期信号可以看成一个周期信号，但,即傅里叶变换对

**常用信号的傅里叶变换表（）l

信号的能量谱与功率谱归一化能量：信号在电阻上所消耗的能量

平均功率：若为能量信号，则

若为周期性功率信号，则

**结论：时域内能量信号的总能量等于频域内各个频域分量能量的连续和。周期信号的总的平均功率等于各个频域分量功率的总和。若则称为能量谱密度函数，为功率谱密度函数。**结论：功率谱只与功率信号频谱的模值有关，而与其相位无关。l

波形的互相关和自相关1.互相关函数

设和是两个能量有限的能量信号，则它们的互相关函数为：

若和是两个功率信号，则：

2.自相关函数

对于两个完全相同的信号，有下述关系：对于能量信号，有：对于功率信号，有：

互相关函数的三个重要特性（1）R12（t）=0时，两信号互不相关；（2）t≠0,R12（t）=R21（-t)；（3）t=0时,R12（0）表示f1(t)与f2(t)无时差时的相关性

归一化相关系数。（1）ρ12=0；（2）ρ12=1；（3）ρ12=-1

自相关函数的三个重要特性。

（1）R（t）=R（-t）；（2）R（0）≥|R（t）|；

（3）R（0）表示能量或功率。

对于能量信号，有：

对于自相关函数，有：

所以，有：

对于功率信号，同样有：

维纳-辛钦关系

3.信号带宽（1）根据占总能量或总功率的百分比确定带宽，设带宽为B,根据下列等式求带宽

或

（2）根据能量谱或功率谱从最大值到下降3dB处所对应的频率间隔定义带宽（3）满足等式或2.3

随机信号的分析

2.3.1概率及随机变量

1.概率：联合概率：条件概率：

2.随机变量

一、

随机变量的概念

某随机实验可能有许多个结果，我们可以引入一变量X，它将随机地取某些数值，用这些数值来表示各个可能的结果，这一变量X就称之为随机变量。当随机变量X的取值个数是有限的或可数无穷个时，则称它为离散随机变量；否则，就称它为连续随机变量，即可能的取值充满某一有限或无限区间。如果一个随机实验需要用多个随机变量（X1，X2，…，Xn）表示，则多个随机变量（X1，X2，…，Xn）的总体称之为n维随机变量。

二、随机变量的概率分布函数和概率密度函数

用P(X≤x)表示X的取值不大于x的概率，则定义函数

为随机变量X的概率分布函数。这里，X可以是离散随机变量，也可以是连续随机变量。

若X是连续随机变量，对于一非负函数pX(x)有下式成立

则pX(x)称之为X的概率密度函数（简称概率密度）。也可表示为 对二维随机变量（X，Y），我们把两个事件（X≤x）和（Y≤y）同时出现的概率定义为二维随机变量的二维分布函数 同样，称之为二维概率密度。16

概率分布函数的特性

概率分布函数单调递增。概率密度函数特性：

概率密度函数非负性，总面积为1。

3．随机变量的数字特征（1）数学期望：反映了随机变量取值的集中位置（均值）设pX(xi)(i=1,2,…,K)是离散随机变量X的取值xi的概率，则其数学期望为 对于连续随机变量X，设pX(x)为其概率密度函数，则则其数学期望为（2）方差：反映了随机变量的集中程度；方差定义为：式中aX=E[X]。而方差的平方根又称为均方差或标准偏差。（3）两个随机变量的相关系数：反映了它们之间的线性相关程度。对两个随机变量X，Y定义为X，Y的相关矩或协方差。[例2-1]试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差：

而X，Y的归一化相关矩，称之为X，Y的相关系数，定义为2.3.2随机过程及其统计特性

1．随机过程的概念定义：设随机实验E的可能结果为X(t)，实验的样本空间S为{x1(t),x2(t),…,

xi(t)}，i为正整数，xi(t)为第i个样本函数（又称之为实现），每次实验之后，X(t)取空间S中的某一样本函数，于是称此X(t)为随机函数。当t代表时间量时，则称此X(t)为随机过程。如对同一台通信机作了n次观测，得到的结果是不相同的，如图2-1所示。因为通信机的输出噪声电压随时间的变化是不可预知的，所以，在同一时刻ti这n次观测的记录结果，可以由随机变量X(ti)进行表示，而在不同的时刻得到的观测结果的集合X(t)={X(t1)，X(t2)，…，X(ti)}，则构成了通信机输出噪声的随机过程。可以这样理解，随机过程是依赖于时间参数的随机变量的全体，它是时间的函数，而在每一个时间点上又可以由一个随机变量表述。

2．随机过程的概率分布函数和概率密度函数设X(t)为一随机过程，则X(t1)为一随机变量，此随机变量的分布函数为称之为随机过程X(t)的一维分布函数。如果存在，则称为随机过程X(t)的一维概率密度函数。

一般用一维分布函数或一维概率密度函数去描述随机过程的完整统计特性是极不充分的，通常需要在足够多的时间点上考虑其分布函数或概率密度函数。X(t)的n维分布函数定义为如果

存在，则称之为随机过程X(t)的n维概率密度函数。

3．随机过程的统计特性（数字特征）（1）数学期望：随机过程X(t)的数学期望定义为它本该在t1时刻求得，但t1是任意的，所以它是时间的函数。（2）方差：随机过程X(t)的方差定义为：（3）协方差函数和相关函数：协方差函数定义为自相关函数定义为从上面两式可以得到RX（t1，t2）和CX（t1，t2）之间的关系：由于CX（t1，t2）和RX（t1，t2）是衡量同一随机过程的相关程度的，所以，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。若对于两个或多个随机过程，可以有互协方差函数和互相关函数描述。设X(t)和Y(t)表示两个随机过程，则互协方差函数和互相关函数分别定义为可以看出，随机过程的统计特性原则上都与时间t有关，是时间的函数。而对于相关函数RXY（t1，t2），若取t2=t1+τ，即τ是t2和t1之间的时间间隔，则RXY（t1，t2）可表示为RXY（t1，t1+τ），而t1是任意的，RXY（t1，t1+τ）可以表示为RXY（t，t+τ），这说明，相关函数是起始时刻t和时间间隔τ的函数。2.3.3平稳随机过程

1、概念平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。即：对于任意的正整数n和任意实数t1，t2，...，tn，τ，随机过程X(t)的n维概率密度函数满足

则称X(t)为平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义平稳随机过程）。由此可见，平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。因为，所以它的一维分布与t无关；又

所以它的二维分布只与时间间隔τ有关。平稳随机过程的数学期望为平稳随机过程的方差为由此可见平稳随机过程的数学期望和方差均与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔有关，即

满足式上述三式的随机过程称之为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。（1）R(0)为X(t)的平均功率：（2）R(τ)为偶函数：（3）R(0)为R(τ)的上界：（4）为X(t)的直流功率：（5）为X(t)的交流功率（方差）：2、平稳随机过程的自相关函数

[例2-2]试证明随相信号是广义平稳随机过程。其中，是常数，相位是在上均匀分布的随机变量。

3、各态历经性与时间平均值对平稳随机过程X(t)，如果它的数字特征与某一样本x(t)的相对应的时间平均值之间有下列关系：满足上述式子的平稳随机过程X(t)称为具有各态历经性的随机过程。由上式可知，各态历经的随机过程，就其数字特征而言，无需无限次的考察，而只需获得一次考察，从而使“统计平均”化为“时间平均”，简化了计算。

确定信号的自相关函数与其功率谱之间有确定的傅立叶变换关系，平稳随机过程X(t)的自相关函数与其功率谱之间也互为傅立叶变换关系，即上式也称之为维纳-辛钦定理（具体推倒过程详见P21~22）。4、平稳随机过程的功率谱密度和自相关函数之间的关系2.3.4高斯随机过程

一、高斯过程的定义若随机过程X(t)的任意n维概率密度函数满足：

则X(t)为高斯过程（正态随机过程）。式中；|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即

|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子；bjk为归一化协方差函数：

二、高斯过程的特性

1、若高斯过程是宽平稳的，则它也是严平稳的。因为正态随机过程的n维分布仅由各随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数决定，所以，如果过程是宽平稳的，即其均值与时间无关，协方差只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。

2、若高斯过程中的随机变量之间是互不相关的，则它们也是统计独立的。 若高斯过程中的随机变量之间是互不相关的，则在上式中，对于所有高斯过程的定义式变为

即，高斯过程中的随机变量也是统计独立的。三、

高斯过程的一维概率分布及其特性

1．一维正态分布 若随机变量X的概率密度函数可以表示为

则X称之为一维正态分布的随机变量。

2．一维正态分布的特性一维正态分布的p(x)可以由图2-2表示 可以看出p(x)有如下特性：（P36-37）X大于常数C的概率为：Q函数的定义为：所以：Q函数和误差函数的关系：误差函数的定义：

互补误差函数的定义为：

互补误差函数的近似计算：

所以，有2.3.5平稳随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统的分析方法可以用确定信号通过线性系统的方法进行分析，因为随机过程的一个实现加到线性系统的输入端，则必将获得一个系统响应。因此，只要输入有界且系统是物理可实现的，则当输入是随机过程时，便有输出随机过程，且有

对随机过程，我们关心的是它的统计特性。

1．的数学期望输出过程的数学期望与t无关。为常数，为h(t)的傅立叶变换。

2．的自相关函数

自相关函数只依赖于时间间隔，而与时间起点无关。 基于1、2两点，此时输出过程是宽平稳的。

3．的功率谱密度

4．的分布 在给定输入过程分布的情况下，原理上可以求得输出过程的分布。一种十分有用的结论是：高斯平稳随机过程经过线性变换后的过程仍然是高斯平稳的。2.3.6平稳随机过程通过乘法器设乘法器的一个输入为平稳随机过程X(t)，另一个输入为载波，则乘法器的输出为，如图所示计算Y(t)的自相关函数：显然，即是时间间隔的函数也是时间起点t的函数，不满足P33(2-118式)对广义平稳随机过程的定义，即Y(t)是非平稳随机过程。2.3.7窄带随机过程一、窄带随机过程的定义窄带系统是指通带宽度，且通带的中心频率的系统。窄带随机过程可以表示为：

式中

分别称为的同相分量和正交分量。二、零均值平稳高斯窄带随机过程的统计特性

1．数学期望 因为平稳，且已假设是零均值的，故

则

2．自相关函数由于所以，有功率谱密度为

包络的一维分布（服从瑞利分布）

相位的一维分布（服从均匀分布）2.3.7

白噪声(非窄带随机过程)一、白噪声的定义功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称之为白噪声，即式中，n0是一个常数，单位为“瓦/赫兹”（W/Hz）。

白噪声的自相关函数为如果白噪声服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同的时刻的取值不仅是不相关的，而且还是统计独立的。高斯白噪声的功率谱密度式中，n0为单边功率谱密度；n0/2为双边功率谱密度。二、带限白噪声如果白噪声被限制在（-f0，f0）之内，则这样的白噪声称之为带限白噪声（理想低通白噪声），即

其自相关函数为

还有一种理想带通白噪声，其功率谱为

式中，B为通带宽度。其自相关函数为

白噪声、理想低通白噪声和理想带通白噪声的功率谱及其自相关函数如图2-3所示。图2-3白噪声、理想低通白噪声与理想带通白噪声的功率谱密度和自相关函数[例2-3]设信道噪声是一个均值为0，双边功率谱密度为n0/2

的高斯白噪声，接收机输入端的收滤波器是一个中心角频率为、带宽为B的理想带通滤波器，且fc>>B，fc>>0:

（1）求收滤波器输出噪声的时域表达式和双边功率谱密度；（2）求收滤波器输出噪声的自相关函数；（3）求收滤波器输出噪声功率；

（4）写出收滤波器输出噪声的一维概率密度函数。2.4信道2.4.1信道的定义和模型信道：以传输媒质为基础的信号通道

广义信道：除传输媒质外，还包括有关发送设备、接收设备、天线、Modem等。根据研究的对象和关心的问题来定义信道的范畴编码信道调制信道广义信道离散信号

发转换器

媒质

收转换器

解调器

译码器

编码器

调制信道编码信道连续信号

调制器调制信道模型（连续系统）共性:1)有一对(或多对