第1章 数值计算的基本概念

第一讲数值计算的基本概念引言误差与有效数字算法的稳定性与病态问题计算机计算的几个问题算法设计的原则作为一小节内容§1引言一、数值学科的发展历史及现状现状

特点：（1）应用广泛边缘学科计算机模拟实验（指纹、人脸识别等，爆炸模拟等）科学与工程计算（2）主要工作误差评估（讨论方法的好坏）寻求适合计算机计算的方法抽象性；严密的科学性；应用的广泛性；使用的高技术性历史（经典的工程数学问题）（1）应用方面：解决一些不能求得精确解的问题（近似解）二、数值分析的研究对象对象——分析实际工程计算问题，由数学模型提出求解的数值计算方法并编程计算出结果，然后进行误差分析。（2）数值计算本身的特点构造性：递推性：离散化：近似替代：计算离散点上的近似值；有可靠的理论分析；算法理论主要是连续系统的离散化数值求解。方法的构造，解的存在唯一性的证明复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次重复（适合计算机计算）在误差允许的范围内，无限次的计算用有限次计算替代模拟仿真：可通过计算机的仿真实验验证实际的工程计算解决现代工程技术问题的基本过程（如左图）数值分析是研究适合于在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法。分析实际问题数值计算方法数学模型程序设计上机计算结果

实际工程计算软件的基础是数值计算方法—算法，是数值分析课程研究的核心对象。构造算法的基本手段：近似研究算法的核心问题：近似对计算的影响—误差分析结论：§2误差与有效数字一、误差种类与来源认识实际问题观测误差数值计算方法数学模型程序设计上机计算求出结果模型误差截断误差舍入误差观测误差（或称测量误差）由数据观测产生的误差模型误差数学模型是实际问题的抽象和简化，其间存在误差

截断误差（或方法误差）由于问题不能精确求解，近似计算的方法所引起

舍入误差（课后详细阅读课本p.22相关内容）计算机实现计算时，机器的有限字长所造成例1解:3216…失之毫厘,差之千里！原因——误差的传播与累积二、误差的基本概念(从误差度量上来说)1.绝对误差定义：设某量的准确值为x，

是x的近似值，绝对误差限。例2电流表、电压表等仪器。例3通常x是未知的，故未知，但一般地

已知。绝对误差不是误差的绝对值，即可正可负。*的绝对误差。为x称*-=xxxe)(2.相对误差定义：设某量的准确值为x，是x

的近似值，准确值之比为的相对误差。称δ为的相对误差限。例4

解:但是的一个好的近似，不是的好的近似.称绝对误差与Why?

近似值的相对误差是近似值精确度的基本度量，一个近似值的相对误差越小，则近似值越精确。结论:通常将作为的相对误差。较小时

相对误差限δ是未知的，但可以确定

是一个无量纲的数，。三、有效数字定义：设x为准确值，为x的近似值且可表示为若的绝对误差其中为0,1,…,9中的一个数字。误差不超过m-n位的半个单位即有n位有效数字，或说准确到m-n位。字为的有效数字，记为n，则称该位到的第一位非零数满足，有效数字的位数不能仅考虑例55位有效数字1位有效数字一个十进制数近似值的有效数字，不受单位制的影响。如作为的近似值，与均为3位有效数字。在有效数意义下，不同的有效数位数的近似值的近似精度是不同的。如10.4200的精度高于10.42：前者的绝对误差不超过：后者的绝对误差不超过：结论：有效数字与绝对误差有一定的关系。对于某量的近似值，如果有ｎ位有效数字，当ｍ一定时，ｎ越大则相对误差越小。定理（有效数字与相对误差的关系）：设近似值x*表示为若x*具有n位有效数字，则其相对误差限为反之，若x*的相对误差限则x*至少具有ｎ位有效数字。证明：由x*的表达式可得：又由定义可知有效数位越多，相对误差越小所以反之，则有：因此，

x*具有n位有效数字。例6为使的近似值的相对误差小于1%，问需要取多少位有效数字？解：的近似值的首位数字于是由可解得。因此，可取即。§3算法的稳定性与病态问题在数值计算中，由于初始数据的误差在计算过程中的传播使得计算结果的误差很快增长，就称该问题是数值不稳定的。定义：一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。一、算法稳定性定义例7计算，并估计误差。由部分积分公式，可得nn00.632150.148010.367960.112020.264270.216030.20748-0.718040.170497.552可以计算出下表：按递推关系现将递推公式改写为：，且有于是，取n=9，则有在此，取因此，可得新的递推公式：确定递推计算的初值nn00.632150.145510.367960.126820.264370.112130.207380.103540.170890.0684由上面的递推公式，可得到下面的计算结果：

第二种方法比第一种方法计算稳定。对比结论与分析：

对于第一种方法，设，则有因此，误差是逐次放大的。

对于第二种方法，设，则有因此，误差是逐次缩小的。二、病态问题与条件数（针对问题本身）定义：输入数据的微小变动导致输出数据的较大误差，就被称为病态问题。衡量是否病态的标准：条件数

对于函数值计算问题，条件数定义为：不同的问题，条件数具体定义不同。一般情况下，条件数大于10，就认为问题病态。设，则，即对于该函数，误差会被放大n倍。通过构造特殊算法来解决§4计算机计算的几个问题与算法设计原则一、减少运算次数——不仅能提高计算精度，而且能减少误差的积累1、对同一种算法（计算方法），要选用计算量少的运算次序例如4.

运算方案能否控制误差的传播和积累以保证计算结果有足够的精度（数值稳定性）.数值计算的一般标准：2.运算过程是否规律（易编程）；3.需要记录的中间结果的多少（储存量）；1.运算次数的多少（计算效率）；例8(b)利用秦九韶算法：(a)直接计算每一项再求和：解：2、对于不同的算法，要注意收敛速度，讲效率例9计算ln2的近似值，要求误差小于10⁻⁷.解：①计算量太大；②各项的舍入误差会损失和的有效数字(b)用级数来计算用前9项（即取m=8）计算就能达到精度要求:(a)用级数来计算,1)1(211Sln211nnxn--++-=»=L，则得取结果不可靠，计算失败否则，则称这个算法是数值不稳定的。二、数值计算中要构造和使用数值稳定的计算方法算法是数值稳定的1.注意计算机数系的运算特点有理数的有限数集，即浮点数集（参读教材p22-29）例10讨论在计算机数系中分别用公式解：无误差时，必相等；有舍入误差时，可能不相等，a

b

m₁m₂准确值

5.2435.243

8.355－8.355

6.800－1.556

6.799－1.557

6.799－1.556和同。中点时所得结果是否相求],[ba22abam-+=21bam+=4位有效数字舍入运算：1234+0.4+0.3+0.2+0.1=12340.4+0.3+0.2+0.1+1234=1235若出现“溢出”应立即中断应避免出现“大数吃小数”①事先预防、②事后解决例12解:可防溢出例11针对计算机的计算特点，必须注意：解:计算机算法设计时，必须作到：2．防止两接近的数相减例13求下列方程的根解:用8位浮点数(有效数字)计算用4位浮数点(有效数字)计算两接近数相减损失了有效数字仍用4位浮点数计算数值稳定的方法误差传播的研究十分重要是因为求的误差(并不大),进行减法后导致不应忽视的后果||δ||≪||x||时,计算结果的误差较小准确不稳定结论：例14当n=0,1,2,⋯,8

时,求积分的近似值.用递推关系进行计算时必须注意误差的积累.解：错误的原因？将的误差扩大到5倍。递推公式3、设法控制误差的传播111.516.054,083.053,05.052,09.05134231201-»-=»-=»-=»-=Þyyyyyyyy结论：

逆向递推：,51511nnyny-=-改用：引起函数的很大误差例15设有方程组将系数舍入成2位浮点数,则方程为三、计算过程中应十分小心处理病态的数学问题病态问题一般要用高精度(