数字PID控制算法

计算机控制系统第5章

数字PID控制算法

5.1准连续PID控制算法

5.1.1模拟PID调节器

PID控制表示比例（Proportional）－积分（Integral）－微分（Differential）控制。设

PID调节器如图5-1所示，其输入输出关系为

图5-1PID调节器方框图(5-1)

——比例系数——积分时间常数

——微分时间常数称为比例控制分量，与有关部分为积分控制分量与有关部分为微分控制分量通过上述各控制分量的线性组合，可构成比例（P）控制器、比例－积分（PI）控制器、比例－微分（PD）控制器、比例－积分－微分（PID）控制器等。

5.1.2基本数字PID控制

在计算机控制系统中，控制器是每隔一个控制周期进行一次控制量的计算，并输出到执行机构。因此，要实现式(5-1)的PID控制规律，就要进行时间离散化处理。设控制周期为T，在控制器的采样时刻时t=kT，对偏差、积分运算和微分运算作如下近似变换：

(5-3)

离散PID算法式(5-5)通常称为位置式PID数字调节器。上式中令k=k-1，则得式(5-5)减去式(5-6)，得到增量式PID数字调节器

(5-4)

(5-5)

(5-6)

(5-7)

增量型控制算法与位置型控制算法相比较，

具有以下优点增量型控制算法不需要做累加，仅与最近几次误差采样值有关。增量型控制算法得出的是控制量的增量，误动作影响小。易于实现从手动到自动的无扰动切换。在实际控制中，增量型控制算法要比位置型控制算法应用得更为广泛。MATLAB的语句如下，%(5-5)PIDdigitalcontrollersigmae=sigmae+ekuk=Kp*ek+Ki*sigmae+Kd*(ek-ek1)ek1=ek上述程序中，uk=u(k)，ek=e(k)，ek1=e(k-1)这里为简单起见，假设各变量都是全局变量，并且在主程序初始化时令初值sigmae=0，ek1=0。5.2数字PID控制的改进5.2.1积分项的改进

1.积分分离PID算法图5-2标准PID控制的积分作用积分分离PID算法的基本思想：在偏差较大时，暂时取消积分作用；当偏差小于某个阈值时，才将积分作用投入。

1)根据实际需要，人为地设定一个阈值。2)当|e(k)|＞ε，也即偏差值较大时，采用PD控制，可避免大的超调，又使系统有较快的响应。3)当|e(k)|≤ε，也即偏差值较小时，采用PID控制或PI控制，可保证系统的控制精度。位置型PID算式(5-5)的积分分离形式

(5-9)

图5-3积分分离PID控制算法示意图积分分离PID控制器SIMULINK仿真标准PID控制器积分分离PID控制器设计研讨：假设被控对象为请分别设计标准PID、积分分离PID控制器阈值ε的取值将会影响控制效果。ε过大，起不到积分分离的作用；ε过小，则被控量y(k)无法跳出积分分离区，也即偏差e(k)一直处于积分控制区域之外。长期只用P控制或PD控制，将使系统产生静差。

变速积分的PID算式基本思想是设法改变积分项的累加速度，使其与偏差大小相对应；偏差越大，积分越慢，反之则越快。变速积分PID与普通PID相比，具有如下优点:(1)减小了超调量，不易产生过饱和，可以很容易地使系统稳定，具有自适应能力。(2)积分分离对积分项采用的是所谓“开关”控制，而变速积分则是缓慢变化，后者更符合调节的理念。2.遇限削弱积分PID控制算法遇限削弱积分PID控制算法的基本思想：当控制量进入饱和区，将执行削弱积分项运算而停止进行增大积分项的运算。因而在计算u(k)时，先判断u(k-1)是否已超出控制量的限制范围。，则进行积分项的累加；，则只累加负偏差；，则只累加正偏差。这种算法可以避免控制量长时间停留在饱和区。

5.2.2微分项的改进

1.不完全微分PID控制算法微分控制分量为微分控制的特点1)控制仅在第一个周期内起作用，对于时间常数较大的系统，其调节作用很小，不能达到超前控制误差的目的。2)ud(k)的幅值一般较大（因T<<Td），容易在以单片微机为核心的计算机控制系统中造成数据溢出。3)ud(k)过大、过快的变化会对执行机构造成冲击，不利于执行机构安全运行。另外，由于控制周期很短，驱动像阀门这一类执行机构动作需要一定的时间，若输出较大，阀门一下子达不到应有的开度，输出将失真。图5-4不完全微分PID控制器对图5-4，设低通滤波器传递函数为则可导出不完全微分PID控制算式如下：离散化，得位置型控制算式式中，，增量型控制算式为：(5-15)

对图5-4b，当e(k)为单位阶跃函数时，ud(k)的输出为(5-17)

图5-5不完全微分PID控制的阶跃响应a)标准PID控制b)不完全微分PID控制2.微分先行PID控制算法图5-6微分先行PID控制算法框图

微分先行PID控制的特点是只对被控量y(k)进行微分，而不对偏差e(k)进行微分，也即给定值r(k)无微分作用。这种控制策略适用于给定值频繁升降的场合，可以避免给定值升降所引起的系统振荡，明显地改善系统的动态特性。微分先行增量型控制算法为(5-18)

5.2.3其他改进算法

1.带死区的PID控制算法

在计算机控制系统中，为了避免控制动作过于频繁，消除因频繁动作所引起的振荡，可采用带死区的PID控制，系统结构如图5-7所示。

图5-7带死区的PID控制方框图死区的输入输出特性式中，死区e0是一个可调参数，其值根据系统性能的要求由实验确定。e0过小，使得控制动作频繁，达不到预期的目的；e0过大，则使系统产生较大的滞后，会影响系统的稳定性。(5-19)

2.提高积分项积分精度在前述的积分项近似变换中采用了矩形积分，为了提高积分运算精度，可对数字PID算式中的积分项，采用梯形积分计算

(5-20)

(5-21)

用最大值原理可以设计出控制量只在u(t)≤1范围内取值的时间最优控制系统。而在工程上，设u(t)都只取±1两个值，而且依照一定法则加以切换。使系统从一个初始状态转到另一个状态所经历的过渡时间最短，这种类型的最优切换系统，称为开关控制(Bang—Bang控制)系统。3.时间最优PID控制5.3数字PID控制的整定生产过程（对象）通常有较大的惯性时间常数，在大多数情况，采样周期与对象时间常数相比要小得多，所以数字PID控制器的参数整定可以仿照模拟PID控制器参数整定的各种方法

5.3.1PID控制器参数对控制性能的影响1.比例控制的比例系数Kp对系统性能的影响(1)动态特性的影响

比例系数加大，使得系统的动作灵敏，响应速度加快，但会使振荡次数增加，调节时间拉长，甚至使系统趋向不稳定。(2)对稳态特性的影响

加大比例系数，在系统稳定的情况下，可以减少静差，提高控制精度；但只是减少，不能消除静差。H(s)为零阶保持器，设T=0.1s，图5-8PID控制系统方框图图5-9不同Kp时的阶跃响应波形a)Kp=1b)Kp=2c)Kp=4d)Kp=82.积分时间常数对控制性能的影响积分控制通常是与微分控制、比例控制配合使用，构成PI控制或PID控制。

(1)对动态特性的影响

积分控制使得系统的稳定性下降。Ti变小，系统振荡次数增多，甚至不稳定；Ti变大，则对系统性能的影响减小。

(2)对稳态特性的影响

积分控制能消除系统的静差，提高系统的控制精度。若Ti太大，积分作用太弱，则不能减少静差。图5-10不同Ti时的阶跃响应波形a)Ti=1b)Ti=0.1c)Ti=0.05d)Ti=0.0253.微分时间常数对控制性能的影响微分控制通常与比例控制、积分控制配合使用，构成PD控制或PID控制。微分控制主要用于改善系统的动态性能，如减少超调量和调节时间。图5-11不同Td时的阶跃响应波形a)Td=0.05b)Td=0.15c)Td=0.3d)Td=14.

控制规律的选择控制规律的选择与被控对象的特性有关，可以证明：当被控对象的传递函数为和时，PID控制是一种最优的控制策略。PID算法简单、计算量小，容易实现多回路控制。现对一些典型对象特性给出控制规律选择的参考依据。5.3.2控制周期的选取

采样周期在计算机控制系统中是一个重要的参量，根据香农（Shannon）采样定理，采样周期T≤πωmax，也即采样角频率ωs≥ωmax(ωs＝2π/T)。由于实际对象的物理过程及参数的变化比较复杂，系统中信号的最高角频率ωmax是很难确定的。采样定理仅从理论上给出了采样周期的上限，实际采样周期的选择要受到多方面的因素制约。实践证明，在DDC控制系统中采样周期要比理论值小好几倍才能满足要求。工程技术人员常从以下几个方面综合考虑来选取采样周期。(1)从调节品质上考虑。(2)从快速性和抗干扰性方面考虑。(3)从计算机的工作量和回路成本考虑。(4)从计算精度方面考虑，采样周期不应过短。被控变量采样周期T(s)说

明流量1~5优先选1~2s压力3~10优先选6~8s液位3~8优先选7s温度15~20对串级系统，T副=（1/4~1/5）T主成分15~20优先选18s表5-1

常见过程被控量的采样周期的经验数据5.3.3PID控制参数的工程整定法

数字PID控制参数的整定过程是，先用模拟PID控制参数整定的方法来选择，然后考虑采样周期对整定参数的影响，再作适当调整。由于模拟PID控制器应用历史悠久，已有多种参数整定方法。1.

扩充临界比例法

临界比例法适用于具有自平衡型的被控对象。首先，将控制器设置为比例（P）控制器，形成闭环，改变比例系数，使得系统对阶跃输入的响应达到临界振荡状态（临界稳定）。将这时的比例系数记为Kr，振荡周期记为Tr。根据齐格勒-尼柯尔斯（Ziegle-Nichols）经验公式，表5-2给出由这两个基准参数得到不同类型调节器的调节参数。

表5-2临界比例法确定的模拟控制器参数

控制器类型

P

0.5————

PI

0.45

0.85——

PID

0.60.5

0.12例：已知被控对象为请试设计PID控制器校正，并用响应曲线法整定PID控制器的Kp、Ti和Td，绘制系统校正后的单位阶跃响应曲线，记录动态性能指标。解：（1）先求出控制对象的等幅振荡曲线，确定Kr和Trk=10;z=[];p=[-1,-3,-5];Go=zpk(z,p,k);G=tf(Go);forKm=0:0.1:10000Gc=Km;syso=feedback(Gc*G,1);p=roots(syso.den{1});pr=real(p);prm=max(pr);pro=find(prm>=-0.001);n=length(pro);ifn>=1breakend;endstep(syso,0:0.001:3);KmKr=Km=19.2000;从图中测得两峰值之间的间隔周期即为临界周期Tr=Tm=2.07-0.757=1.313s(2)整定Kp、Ti

、Tdk=10;z=[];p=[-1,-3,-5];Go=zpk(z,p,k);G=tf(Go);Km=19.2;Tm=1.313;Kp=0.6*KmTi=0.5*TmTd=0.125*Tms=tf('s');Gc=Kp*(1+1/(Ti*s)+Td*s);sys=feedback(Gc*G,1);step(sys)

扩充临界比例法是以上述模拟控制器的临界比例法为基础的一种数字PID控制器参数整定方法。整定步骤如下：l选择合适的初始采样周期T0，控制器采用纯比例控制。l渐渐改变比例系数，使控制系统出现临界振荡，记录Kr

和Tr

。l选择控制度Q，控制度Q的定义是以数字PID控制和模拟PID控制所对应的过渡过程误差平方的积分之比，即式中的下标D和A分别表示直接数字控制和模拟连续控制。通常，当控制度Q为1.05时，就可认为数字控制与模拟控制效果相当；当控制度Q为2.0时，数字控制器较模拟控制器的控制质量差一倍。

(5-22)

选择控制度Q以后，按表5-3选择T、Kp、Ti、Td。表5-3

扩充临界比例法确定采样周期及数字控制器参数

控制度Q控制规律

1.05

PIPID

0.030.014

0.530.63

0.880.49

——0.141.20

PIPID

0.050.043

0.490.47

0.910.47

——0.161.50

PIPID

0.140.09

0.420.34

0.990.43

——0.202.00

PIPID

0.220.16

0.360.27

1.050.40

——0.222.

扩充响应曲线法

在考虑了控制度后，数字控制器参数的整定中也可以采用类似模拟控制器的响应曲线法，称为扩充响应曲线法。应用该方法时，需要预先在对象动态响应曲线上求出等效纯滞后时间τ，等效惯性时间常数Tm，以及它们的比值Tm/τ。其余步骤与扩充临界比例法相似。表5-4

扩充响应曲线法确定采样周期及数字控制器参数控制度控制规律1.05PIPID

0.100.050.841.15

3.402.00

——0.45

1.20

PIPID

0.200.16

0.781.00

3.601.90

——0.55

1.50

PIPID

0.500.34

0.680.85

3.901.62

——0.652.00

PIPID

0.800.60

0.570.60

4.201.50

——0.82例：已知被控对象为请试设计PID控制器校正，并用响应曲线法整定PID控制器的Kp、Ti和Td，绘制系统校正后的单位阶跃响应曲线，记录动态性能指标。解：（1）求取被控制对象的动态特性参数K、等效纯滞后时间τ，等效惯性时间常数Tmnum=10;den=conv([1,1],conv([1,3],[1,5]));G=tf(num,den);step(G);K=dcgain(G)K=0.6667;在曲线的拐点处作切线后，得到对象待定参数；等效滞后时间τ=0.293s，等效时间常数Tm=2.24-0.293=1.947snum=10;den=conv([1,1],conv([1,3],[1,5]));k=0.6667;tao=0.293;Tm=1.947;G=tf(num,den);Kp=1.20*Tm/(k*tao);Ti=2*tao;Td=0.5*tao;s=tf('s');Gc=Kp*(1+1/(Ti*s)+Td*s);GcG=feedback(Gc*G,1);step(GcG)（2）响应曲线法连续PID参数整定：控制器类型比例度δ%比例系数Kp积分时间Ti微分时间TdPKτ/TmT/Kτ∞0PI1.1Kτ/Tm0.9T/Kττ/0.30PID0.85Kτ/Tm1.2T/Kτ2τ0.5τ（3）数字PID控制器按照控制度和控制规律确定PID控制器参数num=10;den=conv([1,1],conv([1,3],[1,5]));k=0.6667;tao=0.293;Tm=1.947;G=tf(num,den);T=0.05*taoKp=1.15*(Tm/tao)Ti=2*tao;Td=0.5*tao;Ki=Kp*T/TiKd=Kp*Td/T3.

归一参数整定法在数字PID控制中，要整定四个参数T、Kp、Ti、Td

，为了减少在线整定参数的数目，根据大量实际经验的总结，设定了一些约束条件，以减少独立变量的个数。例如取式中Tr是纯比例控制时临界振荡时的振荡周期。

(5-24)

只有一个参数Kp需要整定，使得问题明显得到简化。

(5-25)

4.

凑试法确定PID参数

在凑试时，可参考5.3.1小节所述的PID参数对控制过程的影响趋势，对参数实行下述先比例，后积分，再微分的整定步骤。其具体步骤如下。1)首先只整定比例部分。先将Ki、Kd设为0，逐渐加大比例参数Kp（或先取大，然后用0.618黄金分割法选择Kp）观察系统的响应，直到反应快、超调小的响应曲线。如果系统没有静差或静差很小已小到允许的范围内，且响应曲线已属满意，则只须用比例调节器即可，最优比例系数可由此确定。2)如果在比例调节的基础上系统的静差不能满足设计要求，则须加入积分环节。同样Ki先选小，然后逐渐加大（或先取大，然后用0.618黄金分割法选择Ki），使在保持系统良好动态性能的情况下，静差得到消除，得到较满意的响应曲线。在此过程中，可根据响应曲线的好坏反复改变比例系数与积分系数，以期得到满意的控制过程与整定参数。3)若使用比例积分调节器消除了静差，但动态过程经反复调整仍不能满意，则可加入微分环节，构成比例积分微分调节器。这时可以加大Kd以提高响应速度，减少超调；但对于干扰较敏感的系统，则要谨慎，加大Kd可能反而加大系统的超调量。在整定时，可先置微分系数Kd为零，在第二步整定的基础上增大Kd，同时相应地改变比例系数和积分系数，逐步凑试，以获得满意的调节效果和控制参数。5.3.4PID控制参数的自整定法大多数生产过程是非线性的，因此，调节器参数与系统所处的稳态工况有关。显然，工况改变时，调节器参数的“最佳”值不同此外，大多数生产过程的特性还随时间而变化。一般来说，过程特性的变化将导致调节性能的恶化。上述两点都意味着需要适时地调整调节器参数。变参数PID控制器、自适应PID控制器、变结构PID控制器、智能PID控制器参数自整定技术的本质是设法辨识出过程的特性，然后按照某种规律进行参数整定1.

自校正调节器由递推式参数估计器和调节器参数调整机构两部分组成

图5-12自校正调节器控制器的输出信号与辨识信号发生器的输出信号一起送给被控对象，在线辨识出对象的模型（参数），然后再根据模型参数及所需的控制性能指标计算出相应的控制器参数。假定对象为一阶线性模型然后，利用调节量及被调量的测量值，应用最小二乘估计法对被控对象参数K、T和τ值进行估计。一旦求出对象参数K、T和τ值，调整机构就能按照既定的整定规则（根据规定的闭环系统性能指标建立的对象参数与调节器参数的“最佳”值间的关系），求出调节器参数“最佳”值，修改调节器参数。

(5-26)

自校正调节器需要相当多的被控对象的先验知识，特别是有关对象时间常数的数量级，以便选择合适的采样周期或数字滤波器的时间常数。另外，从系统的稳定性、响应速度、超调量和稳态精度等方面来考虑，各参数在自整定过程中的不同阶段应是变化的。2.

极限环法（继电型自整定）极限环法的基本思想是，在控制系统中设置测试模式和控制模式两种模式：在测试模式下，用一个滞环宽度为h，幅值为d的继电器代替控制器，利用其非线性，使系统处于等幅振荡（极限环）。测取系统的振荡周期和振幅，以便能利用临界比例法的经验公式；在控制模式下，控制器使用整定后的参数，对系统的动态性能进行调节。如果对象特性发生变化，可重新进入测试模式，再进行测试，以求得新的整定参数。

图5-13继电型PID自整定控制结构a)继电特性b)继电型PID自整定控制结构整定步骤如下：1)在控制模式下，通过人工控制使系统进入稳定状态，然后将整定开关S拨向测试模式，接通继电器，使系统处于等幅振荡。2)测出振荡幅度A和振荡周期Tr，并根据公式求出临界比例度δK。“比例度δ”是工业控制界的术语，为PID调节器的比例系数的倒数。这里(5-27)

3)与扩充临界比例法一样，根据Tr和Kr值，利用表5-3中的经验公式，求出控制器的各整定参数。继电型自整定方法简单、可靠，需要预先设定的参数是继电特性的参数h、d。该方法的缺点是，被控对象须能在开关信号作用下产生等幅振荡，从而限制了其使用范围。另外，对一些干扰因素多且较复杂的系统，则要求振荡幅度足够大。

5.4数字PID控制器的工程实现数字PID控制器的工程实现可分为六个部分：给定值处理、被控量处理、偏差处理、控制算法实现、控制量处理以及自动手动切换，如图5-14所示。图5-14数字PID控制器模块5.4.1给定值处理

给定值处理包括选择给定值SV和给定值变化率限制SR两部分，如图5-15所示。图中的CL/CR为选择内给定状态或外给定状态的软开关；CAS/SCC为选择串级控制或SCC两级控制的软开关。图5-15给定值处理1.内给定状态当软开关CL/CR切向CL位置时，为内给定状态。这时选择操作员设置的给定值SVL，系统处于单回路控制的内给定状态。利用在回路操作显示器上或屏幕操作画面上的给定值按键可以根据需要随时改变给定值。2.外给定状态当软开关CL/CR切向CR位置时，给定值来自于上位机、主回路或运算模块，系统处于外给定状态。可以实现以下两种控制方式：(1)SCC控制

当软开关CAS/SCC切向SCC位置时，控制器接收上位机给出的给定值SVS，以实现SCC二级控制。(2)串级控制

当软开关CAS/SCC切向CAS位置时，控制器的给定值SVC由主回路的调节模块给出。3.给定值变化率的限制给定值的突变会对控制系统产生大的扰动，使比例、微分发生饱和。为实现平稳控制，需对给定值的变化率SR加以限制。SR的选取应适当，太小会使响应变慢，过大则达不到限制的目的。

综上所述，给定值处理部分共有3个输入量（SVL、SVC、SVS），2个开关量（CL/CR、CAS/SCC），1个变化率（SR）。为了让控制算法程序调用这些量，需要给每个回路的控制模块供一段内存数据区，用于存放以上变量。存放的格式如图5-16所示图5-16给定值处理数据区5.4.2被控量处理

对于被控量的处理主要是出于安全考虑的上下限报警，其原理如图5-17所示。图5-17被控量处理设上限值为PH，上限报警状态为PHA；下限值为PL，下限报警状态为PLA，被控量为PV，则当PV>PH时，PHA为“1”；当PV<PL时，PLA为“1”；5.4.3偏差处理

偏差处理包括四个部分：计算偏差、偏差报警、非线性补偿和输入补偿，如图5-18所示。图5-18偏差处理1.计算偏差根据正/反作用方式（D/R）计算偏差DV，即当D/R=0，代表正作用，偏差DV=CPV－CSV；当D/R=1，代表反作用，偏差DV­=CSV－CPV。

2.偏差报警对于控制要求较高的对象，为保证生产过程平稳，除了设置被控量PV的上下限报警以外，还要设置偏差报警，当偏差的绝对值大于某个极限值DL时，则给出报警信息。即一旦|DV|>DL，则偏差报警状态DLA为“1”。3.

非线性特性非线性特性可设置非线性增益K，非线性区－A至＋A，如图5-19所示，其目的是为了实现非线性PID控制或带死区的PID控制。图5-19非线性特性当Ｋ=０时，则为带死区的PID控制；当０<Ｋ<1时，则为非线性PID控制；当K=1时，正常的PID控制。

4.输入补偿输入补偿的方式ICM决定了偏差DVC与输入补偿量ICV之间的关系。当ICM=0，表示不考虑输入补偿，即CDV=DVC：当ICM=1，表示加补偿，此时CDV=DVC＋ICV；当ICM=2，表示减补偿，此时CDV=DVC－ICV；当ICM=3，表示置换补偿，此时CDV=ICV。5.4.4PID计算

控制策略的实现指的是在自动状态下，由前面得到的偏差，根据各种控制算法的差分方程计算出控制量，并进行上、下限限幅。以PID控制算法为例，当图5-20中的软开关DV/PV切向DV位置时，选用偏差微分方式；当切向PV位置时，则选用测量值（被控量）微分方式。图5-20PID计算5.4.5控制量处理

在实际输出由PID计算得到的控制量之前，一般还要经过如图5-21所示的控制量处理，以扩展控制功能，实现安全平稳操作。

图5-21控制量处理1.输出补偿由输出补偿方式OCM的状态，决定控制量与输出补偿OCV之间的关系：当OCM=0，表示无输出补偿，当OCM=1，表示加补偿，当OCM=2，表示减补偿，当OCM=3，表示置换补偿，2.变化率限制MR的设置是为了限制控制量变化率，使生产过程平稳操作。MR应选取得适中，过小会使操作减缓，过大则达不到限制的目的。3.输出保持当软开关FH/NH切向NH位置时，现时刻的控制量u(k)等于前一采样时刻的控制量u(k-1),也即输出控制量保持不变；当软开关FH/NH切向FH位置时，即为正常输出方式。软开关FH/NH的状态一般来自系统的安全报警开关。4.安全输出当软开关FS/NS切向NS位置时，现时刻的控制量等于预置的安全输出量MS。当软开关FS/NS切向FS位置时，又恢复正常的输出方式。软开关FS/NS状态一般也来自系统的安全报警开关。控制量处理数据区需要存放输出补偿量OCV和补偿方式OCM，变化率限制值MR，软开关FH/NH和FS/NS，安全输出量MS，以及控制量CMV。5.4.6自动手动切换

在控制系统正常运行时，系统处于自动状态；而在调试阶段或出现故障时，系统则处于手动状态。因此，一定要有自动/手动切换处理功能，其框图如图5-22所示。图5-22自动／手动切换5.4.7无扰动切换

图5-22自动／手动切换

无扰动切换指的是在进行手动到自动或自动到手动的切换之前，不需要由人工进行手动输出控制信号与自动输出控制信号之间的平衡操作，就可以保证切换时不会对执行机构的现有位置产生扰动。为此，应采取以下措施（参见图5-22）:

(1)手动到自动

为了实现手动