数形结合,广开题路

学习的敌人是自己的满足！数形结合，广开题路§4

它山之石来攻玉！

如果一个证明题的条件中线段或角有某种特殊关系（相等、互余、互补等），则可以借助三角函数的知识，将线段和角的关系式转化为三角关系式，即把几何问题转化为三角问题，利用三角知识解决问题。

1）对于直角△中的和、差、倍、分问题，可利用三角函数的定义及角的和、差、倍、半三角式

1、三角法例1、以正方形ABCD的BC边为底向内作底角为15度的等腰

△PBC，求证：△PAD为正△

(课本例题）分析:△PAD是不是正△算算∠2是不是60度就行了辅助线很好作了：设正方形的边长为2，则

ABCDP152MN课本上给出了6种证法，唯独没有最简单的这种证法！良心有问题？例2、三个并排连着的正方形（如图），求证：∠1+∠2+∠3=直角分析：算算就行了辅助线不用作123多么简单！例3、正方形ABCD中，E为AD中点，F为ED中点求证：∠2=2∠1分析：算算就行了辅助线太好作了！12ABCDEF当时辅助线把咱们作得熬的!2）对于一般△中的问题，可利用正、余弦定理及其它三角式.例1、P是等腰△ABC内一点，∠1=∠2求证：PB=PC

分析：

←∠3=∠4

←sin∠3=sin∠4

在△ABP和△ACP中分别用正弦定理可得：该题也可用余弦定理来证！12ABCP34例2、P是等腰△ABC内一点，∠1＞∠2求证：PB＜PC分析：←∠3＜∠4

←sin∠3＜sin∠4在△ABP和△ACP中分别用正弦定理可得：12ABCP34比我们用旋转变换证明麻烦多了！该题也可用余弦定理来证！

例3、正方形ABCD中，E、F分别为中点，（如图）求证：AP=AB（课本例题）

分析：此题有好几种几何证法，但都要添辅助线，而三角法却不用：

设正方形边长为2则tan∠1=1/2→cos∠1=2/√5→BP=4/√5

在△ABP中，用余弦定理得：

AP=4→AP=2ABCDEFP12首先→

BE⊥CF例4、以△ABC的两边AB、AC为边分别向外作两正方形ABEF

和正方形ACGH，AD为高.求证：直线AD平分线段FH.

ABCDEFGHM123

分析：在△FMA和△HMA中分别应用正弦定理可得：123ADFMHBC这个题的证明方法真不少！

其核心是利用面积相等将几何问题化为代数运算，避开了许多作辅助线的麻烦。

2、面积法下面是一道难题，但用面积法却不难例：中，AE=CF，求证：BP平分∠APC分析：构造全等△←两垂线相等←△ABE与△BCF等积（＝平行四边形面积之半）ＡＣＢＤＥＦＰ

Jiaowo

ruhebu

xiang

ta!例

：以△ABC的两边AB、AC为边分别向外作两正方形ABEF,正方形ACGH，AD为高。求证：直线AD平分线段FH

12ADFMHBC34实践表明：该题用选定理、寻媒介、变图形、三角法、面积法、坐标法、向量法等皆可做！

练习：

正方形ABCD中，BE//AC，∠CAE=30度求证：AE=AC

分析：显然∠BAE=15

又由平行知

∠BEA=30△ABE中用正弦定理计算出AE即可。ABCDE30即用解析几何的方法去证，这是几何证明题保底的方法，目前高中解析几何中也有类似的题目，优点是思路简单，缺点是运算量太大。注意的是建系时将特殊点、线放在原点、坐标轴上。3、坐标法例1：等腰直角△ABC，中点M，AD⊥BM，

求证：∠1=∠2分析：此题虽然用三角法不是最简单，但用坐标法却是最简单的：设C（1，0）则

B（0，1）M（1/2，0）

D点坐标易求，

DM斜率易求AMCBD12

如果一个证明题的中(1)所涉及的量较多，或(2)量与量之间的关系比较复杂(基本上都是线段）时则可以借助代数的知识（包括方程）来解决问题。

代数法的难点是起点比较高，不容易一下子找到突破口。4、代数法

例1:大边与它上的高之和不小于小边与它上的高之和

已知：c＞b求证：c+hc

≥

b+hb

分析：←c-b≥hb-hc←(c-b)/(hb-hc)≥1∵c×hc=b×hb∴c/b=hb/hc∴(c-b)/b=(hb-hc)/hc∴(c-b)/(hb-hc)=b/hc≥1ABCbchbhc

例2、正△ABC外接圆弧BC上一点P，求证：

（1）PB+PC=PA（2)PB×PC+AB=PA分析：←PB、PC是一元二次方程：x-PAx+PA-AB=0的两根用余弦定理即可证明：在△ABP中：在△ACP中：又AB=AC∴成立ABCP22222例3△ABC内切圆切边AB于D，且AC×BC=2AD×BD

求证：AC⊥BCABCDEF分析下面一道题仅供欣赏：例4：自△ABC的顶点A任作一直线与∠A的旁切圆交于P、Q两点，求证：AP+AQ＞△ABC的周长ABCPQE貌似强大的题何其简单—纸老虎!FGAE是切线，APQ是割线，想到切割线定理：立体几何中讲，思路都一样，此处略！5、向量法

（略）6、复数法

有这么多其它学科的方法证明几何题，特别是有保底的坐标法（解析几何法），有人就试图取消几何而用代数代替，甚至在国际上兴起了近代化运动，搞几何的人有了危机