数值计算方法第4章-

第4章函数的数值逼近数学与信息科学学院

实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题：

（1）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多次重复计算时，计算量会很大；（2）有的函数甚至没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的函数值可能不在该表格中。

对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单的函数来近似代替，这就是数值逼近问题。

已知定义于区间上的实值函数在

个互异节点

处的函数值，若函数集合中的函数满足则称为在函数集合中关于节点的一个插值函数，并称为被插值函数,[a,b]为插值区间，为插值节点，（*）式为插值条件。插值的定义/*AlgebraicInterpolation*/插值类型代数插值：集合为多项式函数集x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)几何意义：有理插值：集合为有理分式函数集/*Rational*/三角插值：集合为三角函数集/*Trigonometric*/1代数多项式插值的概念:

当给出了函数f(x)的n+1个点后,构造一个多项式P(x),满足如下两个条件:(1)p(x)是一个不超过n次的多项式;(2)在给定的点xi(i=0,1,…,n)上与f(xi)取相同的值,即p(xi)=f(xi)(i=0,1,…,n)。通常称p(x)为f(x)的插值函数,点xi为插值节点,f(x)为被插函数，条件（1）和条件（2）为插值条件。§4.1代数多项式插值2代数多项式插值的存在性和唯一性证明：P(x)为n次代数多项式，设p(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn因为在n+1个已知节点p(x)=f(x),将n+1个（xi,f(xi))代入p(x),可得…（方程组1）其中，未知量a0,a1,…,an的系数矩阵行列式为范德蒙行列式：∵给定的n+1个节点互异，即xi≠xj

(i≠j)∴上述行列式不为零，方程组1有唯一非零解，即p(x)存在且唯一。3代数插值多项式的构造-Lagrange插值(1)线性Lagrange插值给定f(x)的2点函数表，求一个f(x)的近似函数经过这两个已知点。xx0x1yy0y1可得线性Lagrange插值为(直线方程的两点式表示形式)L1(x)=l0(x)*y0+l1(x)*y1其中l0(x)称为Lagrange插值关于节点x0的插值基函数,l1(x)称为Lagrange插值关于节点x1的插值基函数：l0(x)=l1(x)=XY0y0x0x1y1y=f(x)y=L1(x)插值基函数的特点是在对应节点上取值1,其他节点上取0。线性Lagrange代数多项式插值的基函数图形:XYX1X21l0(x)XYX1X21l1(x)(2)二次Lagrange多项式插值给定f(x)的3点函数表,求f(x)的近似函数.xx0x1x2yy0y1y2可得二次Lagrange插值为L2(x)=l0(x)*y0+l1(x)*y1+l2(x)*y2其中插值基函数：l0(x)=l1(x)=l2(x)=二次Lagrange代数多项式插值的基函数图形:XYX1X21X3l0(x)XYX1X21X3l1(x)XYX1X21X3l2(x)x0x1x2…xnl0(x)l1(x)…ln(x)思考：1请填写下面的n次Lagrange插值基函数的数值表：111000000000……………………2模仿1次和2次Lagrange插值基函数，写出n次Lagrange插值基函数表达式。（3）n次Lagrange代数多项式插值插值3请写出n次Lagrange插值的表达式li(x)=

，即li(x)=

4例题1X0123Y-5-6-116已知f(x)的部分函数表如下，试用Lagrange插值计算x=4，x=5处f(4)和f(5)处的值。解：函数表中有4个点，可以构造3次Lagrange插值多项式：当x=4时，f(4)=L3(4)=43-2×4-5=51当x=5时，f(4)=L3(5)=53-2×5-5=110计算步骤：①求出所有的基函数；②将基函数与对应的函数值相乘；③将所有的积求和；例：已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange

插值计算sin50

并估计误差。解：n=1分别利用x0,x1

以及

x1,x2

计算利用sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614利用sin50

0.76008,n=2sin50

0.7654,5相关的Matlab程序x,y代表已知节点的值；u代表待求节点的自变量；v代表与u对应的Lagrange插值函数值。W代表求v时的Lagrange插值基函数。例题2已知f(x)的部分函数表如下，试用

Matlab编程生成它的Lagrange插值，画出L(x)的曲线和所有的(x,y)点。X123456Y161821171512小结：1这堂课的内容是什么？2代数多项式插值要满足哪2个条件？它的几何意义是什么？3Lagrange插值基函数的特点是什么？公式是怎样的？4Lagrange插值的公式是怎样的？作业：1已知函数表如下：X00.511.522.5Y-1-0.7501.2535.25试用（0，-1），（1，0）和（2，3）三个点构造二次Lagrange插值L2(x),并用其余三点验证L2(x)。§4.2多项式插值的近一步研究为了理论分析的方便，引入记号

ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)它是一个n+1次多项式，并且ωn+1’(xk)=(xk-x0)(xk-x1)…(xk-xk-1)(xk-xk+1)…(x-xn)则Lagrange插值多项式为它与函数f(x)相比存在截断误差Rn(x)=f(x)-Ln(x)称为插值多项式的余项。注：（1）插值误差与节点和之间的距离有关；

（2）如果本身为多项式，其插值函数为本身。

（3）通常不能确定,而是估计,x(a,b)

将作为误差估计上限。一、Hermite插值1、Hermite插值问题及插值公式§4.3Hermite插值和分段插值

Hermite插值多项式的构造思想类似于Lagrange插值多项式的构造方法，即通过构造一组插值基函数来表示Hermite插值多项式。设满足前述2n+2个条件的插值多项式为其中，满足的计算方法：和均为2n+1次多项式，且有n个二重根和令其中代入条件解之得从而得到插值基函数下面求另一组插值基函数令Hermite插值多项式其中x0x1x2x3x4xH9(x)

f(x)

全导数的Hermite插值多项式的几何意义如n=1时Hermite插值多项式为例：对函数f(x)=ln(x),给定

f(1)=0f(2)=0.693147f’(1)=1f’(2)=0.5试用三次Hermite插值多项式H3(x)计算f(1.5)的近似值。§4.3分段线性插值高次插值评述从插值余项角度分析为了提高插值精度，一般来说应该增加插值节点的个数，这从插值余项的表达式也可以看出，但不能简单地这样认为，原因有三个：插值余项与节点的分布有关；余项公式成立的前提条件是有足够阶连续导数（即函数足够光滑），但随着节点个数的增加，这个条件一般很难成立；随着节点个数的增加，可能会增大。随着节点个数增加到某个值，误差反而会增加。注意下面图中曲线的变化情况！例3：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端点附近变化越大，称为Runge

现象Ln(x)

f(x)2、从稳定性角度分析设由和构造出的插值多项式分别记为:和这说明插值多项式的扰动是由节点函数值扰动引起的解决方法分段插值--分段线性插值、分段Hermite插值、三次样条插值分段插值的构造方法将插值区间划分为若干个小区间（通常取等距划分）采用低次插值在区间上得到分段函数分段线性插值基函数(1)、分段线性插值

/*piecewiselinearinterpolation*/在每个区间上，用1阶多项式

(直线)逼近

f(x):几何意义分段线性插值从整体上看，逼近效果是较好的，但失去了原函数的光滑性。设给定节点 及相应的函数值，

在[a,b]上存在，是在[a,b]上由数据构成的分段线性插值函数，则其中证明：在每个小区间

在区间上

当时作业：已知下列平方根表，用三次Hermite插值求的值。4321y16941x0.1251/60.250.5y’拟合问题VS逼近问题1拟合问题假设已获得某函数关系的成批离散实验数据或观测数据，拟合问题就是为这样的大量离散数据建立对应的、近似的连续模型的一种应用基础问题。所建立的模型的基本形式是一条曲线（一元曲线），称为拟合曲线或经验公式。它不要求目标模型（即拟合曲线）精确地过已知的各离散点，只要求目标模型符合已知离散点分布的总体轮廓，并与已知离散点的误差按某种意义尽量地小。通常采用“误差的平方和最小”的原则，即最小二乘拟合问题。2逼近问题一般是指“连续函数逼近问题”，即对连续函数如f∈C[a,b],研究用有限维空间中的简单函数如φ来近似（逼近）连续函数。通常研究两种基本的逼近问题：最佳平方逼近最佳一致逼近§4.5曲线拟合的（线性）最小二乘法例：已知实验数据如下，试求其拟合曲线。X13467F-2.1-0.9-0.60.60.9例2：人口估计广义多项式§4.6函数的最佳平方逼近一、函数逼近问题的提法假设是定义在某区间上的函数，现寻求另一个构造简单、计算量小的函数来近似地代替：为区间上的一个线性无关函数系为一组实常数。就是我们前面讨论的多项式逼近若线性无关函数系取