测量误差与数据处理

第一节测量误差分析与处理要点：误差定义、分类、处理主要内容第三节测量结果的评定和不确定度要点：直接、间接测量的不确定度的合成第四节测量仪器有效数字的读取和处理第五节实验数据处理的常用方法要点：列表法、图解法、逐差法、最小二乘法第二节测量结果表示及误差的计算要点：直接、间接测量的误差计算一、测量

将被测物理量与选作标准单位的同类物理量进行比较的过程。即反映了被测量相对于某一测量标准在数字上的关系。测量包括测量过程和测量结果测量过程：建立单位、选择测量工具、设计测量方法、研究分析测量结果、分析产生误差的原因及如何消除误差。

测量结果：比值、测量单位和精度评定。

测量对象、测量单位、测量手段、测量不确定度称为测量的四要素。

第一节测量误差分析与处理测量分类：根据测量结果的获取方式划分

直接测量间接测量根据测量条件划分等精度测量非等精度测量比较、放大、补偿、转换、干涉测量方法：二、误差定义：误差=测量结果-真值真值：某一物理量在一定条件下所具有的客观的、不随测量方法改变的真实数（量）值，一般无法通过测量得到。测量结果都有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量过程中。常用理论值或标准值x0近似表示真值，也称约定真值或公认值。误差=测量值–x0反映了测量结果的准确程度三、误差的来源

在测量过程中，误差产生的原因主要可归纳为：测量仪器、测量方法、测量环境、测量人员等几个方面的来源。四、误差的分类及特征系统误差随机误差粗大（过失）误差分类误差的原因误差的鉴别系统误差（1）仪器结构不良；（2）周围环境的改变。（1）观测值总往一个方向偏，或者周期性变化；（2）误差大小和符号在多次重复测中几乎相同；（3）已知标准值时可经过修正减小乃至几乎消除的误差。随机误差在多次测量的过程中某些难以控制的偶然因素。在等精度测量下服从正态分布：（1）有界性；（2）单峰性；（3）对称性；（4）抵偿性。粗大误差粗枝大叶造成的观测误差或计算误差（1）观察结果与事实不符；（2）认真操作可以消除的误差。五、误差的处理:绝对误差法、相对误差法、标准偏差。1、绝对误差法Δx：一般所说的误差就是绝对误差。测量值–约定真值（1）误差具有确定的大小、单位和“+”、“-”号组成。系统误差、随机误差均可用绝对误差表示。（2）对一般物理实验而言，若没有约定真值，将等精度条件下多次测量的平均值近为最佳值。每个测量值误差的大小具有随机性，多次测量可得到随机误差的统计规律：单次测量的残差

2、相对误差法：相对误差的应用说明：（1）相对误差是一个比值，其数值与被测量所取单位无关，因而是无名数（即无量纲数），通常用百分数“%”表示。相对误差=绝对误差平均值/公认值（平均值）

（2）对于不同的物理量测量结果，可采用相对误差来评定不同测量的精度。

一般物理实验中用公认值x0（或平均值）近似表示真值，故也可表示如下：例：用电压表测得电压，用电流表测得电流值如下，试比较两测量结果精度的高低。解：两测量结果的相对误差分别为：通过比较可知电压表的精度高于电流表的精度3、随机误差的处理：标准偏差

如被测量的标准值不知道，仅用测量列各值（xi）的平均值来表示测量列的最佳估计值来处理每次测量的残差是不够的。对等精度多次测量的误差服从统计规律测量列的算术平均偏差同一测量列的标准偏差多组重复测量列平均值的标准偏差它们反映测量值与平均值之间的偏离程度，数值越小，偏离程度越小，精密度越高。第二节测量结果表示及误差的计算仪器误差包括引用误差、显示数值误差、偏心差等，一般在仪器说明书有注明或由物理实验室提供。如：示值误差=量程×引用误差（级别）（1）已知仪器精度时，如电压表、电流表。其仪器误差大小就为示值误差：（2） 对连续读数的仪器，如直尺、千分尺，天平可取仪器最小刻度值的一半，而无法进行估计的非连续读数的仪器，如游标卡以尺、分光计、数字式仪表，则取其最末位数的一个最小单位。1、单次直接测量误差估计及结果表示：测量结果＝（测量的最佳值测量误差值）（单位）2、多次直接测量误差估计及结果表示3、间接测量误差估计及结果表示既然直接测量有误差，那么间接测量也必有误差，这就是误差的传递。由直接测量值及其误差来计算间接测量值的误差之间的关系式称为误差的传递公式。待测量y与各直接测量值x1,x2，……，x

n

之间有函数关系各直接观测量的测量结果分别为将各个直接测量量的近似真实值（平均值）代入函数表达式，即可得到间接测量的近似真实值间接测量的误差传递：间接测量相对误差；注意：对函数表达式仅为“和差”形式，先求出，再求出；若函数表达式为积和商（或积商和差混合）等较为复杂的形式应采用先求出

，再求出。4、间接测量的标准误差传递公式见教材P12，表1－2－1相对不确定度

上式中各直接测量

用各量的标准误差Si代替，得到间接测量的标准误差的传递公式第三节测量结果的评定和不确定度不确定度Δ是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，它是对被测量的真值出现在一定量值范围内的评定。测量精确度越高、不确定度小，表示对测量对象的属性了解越透彻，测量结果可信度越高，使用价值越高。由于测量的系统误差与随机误差始终存在，仅用随机误差的统计规律来评估测量结果与真值的接近程度显然不够完善。现代误差理论中用“不确定度”来表示测量精度的高低，通常用Δ表示。如：设某物理量测量平均值为，不确定度为，它表示该物理量真值落在（）范围内的概率为68.3%。（）范围内的概率为95.5%。(）范围内的概率为99.7%。不要错误认为真值一定就落在之间、误差在之间。一个完整的测量结果的表示三要素是：测量最佳值、合成不确定度、单位

（单位）一、不确定度Δ定义

物理实验中的合成不确定度，一般主要来源于测量方法、测量人员、环境波动、测量对象变化等等。计算合成不确定度时，是先将可修正的系统误差修正后，再对不同来源的误差按计算方法分两类进行处理，然后再合成而得。

二、不确定度的两类分量的处理实际实验中，由于测量次数有限，测量误差不完全服从正态分布规律，但可通过对测量次数n的置信概率p，将A类和B类不确定度的进行简化处理。1、A类不确定度ΔA：对测量次数n=5～10，用测量列的平均标准误差来计算

2、B类不确定度：是指用非统计方法求出或评定的不确定度。如实验室中的测量仪器不准确、量具磨损老化、相关信息的不确定等所产生系统误。物理实验中直接将B类不确定度简化处理为仪器误差。在物理实验中，对测量结果不确定度的计算通常用：在相同条件下（等精度）对某量直接进行重复测量，得到的n个测量值x1,x2,…,xn可。以算术平均值代表最佳测量结果三、直接测量结果的不确定度的计算

测量结果的不确定度1、单次直接测量时：ΔA=0说明：2、多次直接测量时：当总不确定度值可表示或

与标准误差的传递公式形式上完全相同，将各直接测量标准偏差Si用各量的不确定量Δi代替，得到间接测量结果的合成不确定度计算公式间接测量的相对不确定度四、间接测量结果的不确定度

一、在效数字的定义

实验数据是通过测量到的，读出的数字位数反映了实验仪器的精度，不能随意增减。1.65cm有效数字＝“可靠数字”＋“一位估计数”从数据左起第一位非零数字起，到右边的全部数字称为有效数字。有效数字的最末一位是误差所在位，即是有误差的数字。

L=4.20cmL=4.2cmA=86mA第四节测量仪器有效数字的读取和处理关于有效数的说明：2.00cm1、直接测量量的有效数字有指针或刻度的仪器：最小刻度以下再估读一位。（游标卡尺、分光计例外）所有直接测量值xi必须以有效数字记录

1.3m＝1.3×103mm≠

1300mm1300mm＝1.300m≠1.3m2、单位换算时有效数字的位数不变。注意：数字中和尾的零都属于有效位数。数学：实验：

3、实验结果(间接测量)的有效数字由误差确定,有效数字的末位与误差位对齐。例：判断下列数据有效数字位数：

15.86；5.320；

0.0532；5.32;0.052030。5、有效数据的舍弃原则：4舍6入5凑偶法Δx=0.112→0.1；Δx

=0.550→0.6Er=1.25%→1.3%→1%

；Er=12.52%→13%4、绝对误差（或不确定度）只取1位有效数字，也是估读所在位；相对误差（或相对不确定度）一般取1～2位有效数字。二、有效数字的运算规则（自学）1、加减法运算规则

以小数位数最少的数据位数为准

，其余各数据中间过程多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的位数相同（即末位对齐）。

2、乘除与开方运算规则

以有效数字位数最少的为准，其余数据在中间运算过程中可比位数最少的数据多取一位数字，而最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。

39.5×4.08437×0.0013=39.5×4.08×0.0013=0.209508=0.213、其他函数运算：先估算出计算结果的误差大小，再确定所取位数。

第五节实验数据处理常用方法一、列表法

列表法是实验中常用的记录数据、表示物理量之间关系的一种方法。列表法的特点（1）记录和表示数据简单明了；（2）便于表示物理量之间对应关系2.列表的要求（1）栏目清楚，项目分明。写明表名称，标明物理量、单位及数量级。（3）表中所列数据应是正确反映测量结果的有效数字。（4）注明测量日期、说明和必要的实验条件。举例：

伏安法测100电阻数据表2004/2/10注明：（1）电压表量程7.5V，精度等级1.0；电流表量程50mA，精度等级1.0。（2）采用电流表外接法。将测量数据之间的关系及其变化情况作成图线直观地表示出来，并且通过所作图线求解未知量或经验方程，是一种最常用的粗略的数据处理方法。作图法的优点（1）能够直观地反映各物理量之间的变化规律，找出合适的经验公式。（2）可从图上用外延、内插方法求得实验点以外的其它点。（3）可以消除某些恒定系统误差。二、作图法

2.作图要求（1）用坐标纸正确建立坐标轴的比例和标度。注明图名和坐标轴代表的物理量、单位和数值的数量级。（2）测量数据点应采用比较明显的标志符号，如“×、•”表示

。（3）变化规律容易判断的曲线平滑连线，曲线不必通过每个实验点，但应均匀分布在曲线两边；难以确定规律的曲线可以用折线连接。三、逐差法例2：拉伸法测钢丝的倔强系数：

如每次增加法码质量0.1千克，即F每次等额增加：

当原长X0存在系统误差时，倔强系数也有系统误差。如果连续增重8次，则可读得8个X的值，分别为：x1、x2、x3…x8，其每次差值为：可见其结果与中间测量值无关，与一次性增加0.8千克单次测量等价。

把实验测量数量（因变量）进行逐项相减或依顺序分为两组实行对应项相减，差值作因变量的多次测量值。然后求出算术平均值的处理数据的方法。

为了使其保持多次测量的优越性，只要在数据处理方法上作一些变化即可。通常可把测量数据等分为二组（每组数据为n/2)：一组：二组：ΔXi取相应项的差值:此方法称为逐差法。1、逐差法的优点：（１）充分利用了测量所得的数据，对数据具有取平均的效果。（２）可以消除一些定值系统误差，求得所需要的实验结果。则差值的弹簧平均伸长量为：在测量弹簧伸长量为与之间法码变化为：最小二乘法在1805年由勒让德（Legendre）所提出后得到了迅速的发展，已成为回归分析、数理统计等方面的理论基础之一，并广泛地应用于各种测量及科学实验的数据处理中。它给出了数据处理的一条准则——最佳结果（或最可信赖值）应使测量值的绝对误差（残差）平方和最小。本章仅简明地