山东省烟台市招远郭家埠中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

山东省烟台市招远郭家埠中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等于……….（

）A． B． C．— D．参考答案：D2.设是一次函数，若则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于（）A．n(2n+3) B．n(n+4) C．2n(2n+3) D．2n(n+4)参考答案：A由已知可得，f（x）=kx+b，（k≠0），∵f（0）=1=k×0+b，∴b=1．∵f（1），f（4），f（13）成等比数列，且f（1）=k+1，f（4）=4k+1，f（13）=13k+1．∴k+1，4k+1，13k+1成等比数列，即（4k+1）2=（k+1）（13k+1），即16k2+1+8k=13k2+14k+1，从而解得k=0（舍去），k=2，f（2）+f（4）+…+f（2n）=（2×2+1）+（4×2+1）+…+（2n×2+1）=（2+4+…+2n）×2+n

=4×+n=3n+2n2。3.在的展开式中，的系数是A．20

B．

C．10

D．参考答案：D4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D5.已知，为常数，且的最大值为2，则＝A．2

B．4

C．

D．参考答案：C当时，有，当且仅当时取等号。因为的最大值为2，所以，所以，选C.6.(5)已知过点P(2,2)的直线与圆相切,且与直线垂直,则 (A) (B)1 (C)2 (D)参考答案：C7.已知函数则函数的零点个数是（

） A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A略8.若的展开式中只有第4项的系数最大，则展开式中的常数项是A．15

B．35

C．30

D．20参考答案：答案：D9.现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C10.已知实数满足约束条件，则的最大值为（

）．A．24

B．20

C．16

D．12参考答案：B

解．目标函数在点（2，4）处取得最大值20故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，已知a、b、c成等比数列，且，则=

．参考答案：【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；解三角形．【分析】先求a+c的平方，利用a、b、c成等比数列，结合余弦定理，求解ac的值，然后求解．【解答】解：∵a+c=3，∴a2+c2+2ac=9…①∵a、b、c成等比数列：∴b2=ac…②又cosB=，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB可得b2=a2+c2﹣ac…③解①代入③得b2=9﹣2ac﹣ac，又b2=ac，∴ac=2，=accos（π﹣B）=﹣accosB=﹣．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，等比数列的性质，余弦定理，考查学生分析问题解决问题的能力．12.若实数a,b,c成等差数列，点P(－1,0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M，点N(3,3)，则线段MN长度的最大值是__________．参考答案：略13.（5分）不等式的解集为

．参考答案：（≤0，可化为或，解得：﹣＜x≤1，则原不等式的解集为（﹣，1]．故答案为：（﹣，1]14.设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是．参考答案：（，+∞）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】根据题意，分析可得若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点；作出函数y=f（x）的图象，分析直线y=k与其图象有且只有两个交点时k的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点，而函数f（x）=，其图象如图，若直线y=k与其图象有且只有两个交点，必有k＞，即实数k的取值范围是（，+∞）；故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查函数零点的判断方法，关键是将函数零点的个数转化为函数图象的交点个数的问题．15.若，则 .参考答案：

16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的焦点为F.设M是抛物线上的动点，则的最大值为

.参考答案：17.数列{an}满足（n∈N*）．①存在a1可以生成的数列{an}是常数数列；②“数列{an}中存在某一项”是“数列{an}为有穷数列”的充要条件；③若{an}为单调递增数列，则a1的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，2）；④只要，其中k∈N*，则一定存在；其中正确命题的序号为

．参考答案：①④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；等差数列与等比数列．【分析】根据已知中数列{an}满足（n∈N*）．举出正例a1=1或a1=2，可判断①；举出反例a1=，可判断②；举出反例a1=﹣2，可判断③；构造数列bn=，结合已知可证得数列{bn}是以为公比的等比数列，进而可判断④．【解答】解：当a1=1时，an=1恒成立，当a1=2时，an=2恒成立，故①正确；当a1=时，a2=﹣1，数列{an}为有穷数列，但不存在某一项，故②错误；当a1=﹣2时，a1∈（﹣∞，﹣1）∪（1，2），此时a2=10a3=，数列不存在单调递增性，故③错误；∵∴=…①且=…②①÷②得：=?令bn=，则数列{bn}是以为公比的等比数列则bn=∴an==2+当时，2+的极限为2，否则式子无意义，故④正确故答案为：①④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数列的定义及性质，运算强度大，变形复杂，属于难题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解=2．（2）由正弦定理可求c=2a，由余弦定理解得a=1，从而c=2．利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理，则=，所以=，即（cosA﹣2cosC）sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）．因为A+B+C=π，所以sinC=2sinA．因此=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由=2，得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，及cosB=，b=2，得4=a2+4a2﹣4a2×．解得a=1，从而c=2．因为cosB=，且sinB==，因此S=acsinB=×1×2×=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数.（Ⅰ）求使不等式成立的的取值范围；（Ⅱ），，求实数的取值范围．参考答案：解：(1)由绝对值的几何意义可知x的取值范围为（-2，4）

………5分（Ⅱ）x0?R,f(x0)<a,即a>f(x)min

……7分由绝对值的几何意义知：|x－3|＋|x＋1|可看成数轴上到3和-1对应点的距离和.∴f(x)min=4

…………………9分∴a>4所求a的取值范围为(4,+∞)

…………10分

略20.在直角坐标系xOy中，点p是单位圆上位于第一象限的动点，过p作x轴的垂线与射线y=xtanθ（x≥0，0＜θ＜）交于点Q，与x轴交于点M，射线与单位圆交于N，设∠MOP=α，且α∈（0，θ）（1）若θ=，sinα=，求cos∠POQ；（2）若θ=，求四边形OMPN面积的最大值，（3）并求取最大值时的α值．参考答案：考点：三角函数中的恒等变换应用；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）由题意求出sinα和cosα的值，再根据cos∠POQ=cos（﹣α）．利用两角差的余弦公式计算求得结果．（2）根据SOMPN=S△OMP+S△OPN=cosαsinα+（sinα﹣cosα）．令sinα﹣cosα=t，根据SOMPN=﹣+，利用二次函数的性质求得四边形OMPN面积的最大值．（3）由（2）可得t=时，SOMPN有最大值，此时，cos（α+）=，根据α+的范围，可得α的值．解答： 解：（1）由题意，∠MOQ=，∠POQ=∠MOQ﹣∠MOP=﹣α，∵sinα=，，∴cosα=．所以cos∠POQ=cos（﹣α）=coscosα+sinsinα=．（2）∵SOMPN=S△OMP+S△OPN=cosαsinα+sin（﹣α）=cosαsinα+（cosα﹣sinα）．令cosα﹣sinα=t，∵α∈（0，），则t∈（0，1），∴SOMPN=（1﹣t2）﹣=﹣+，当t=时，SOMPN有最大值．（3）当SOMPN有最大值时，cosα﹣sinα=，有cos（α+）=，由于α+∈（，），所以α=为所求．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，二次函数的性质，属于中档题．21.诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：

第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%第三个周期85%92%95%96%

（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.参考答案：（1）91%（2）见解析（3）两次活动效果均好．详见解析【分析】（1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信