高等数学 第一章第一节

欢迎各位同学来到

高等数学主讲：亓健qijian@高等数学学习各门理工专业的重要基础解决各种专业问题的重要工具培养分析能力，锻炼理性思维提高综合素质，享受数学之美重要???如何学好高等数学

数学思维方法的领会，分析问题能力的加强，解题水平的提高，仅依靠阅读教材是远远不够的。好的辅助工具会给大家提供及时的帮助！《高等数学学习辅导》——石油大学出版社帮你解题的好朋友合适的辅导工具是学习的良师益友合理运用图书馆课外学习的乐园课前认真预习.找到其中的难点,重点,适当的做些课后(A)部分的题目.课中认真听课,做好笔记,抓住老师讲的重点难点.课后认真复习,做好作业.不会的问题一定要问.课前,课间休息,答疑时间都可以.作业:每星期的第一次课交作业,每个班有作业袋,由课代表收齐.作业要认真,题目以练习册为主.作业缺少三分之一将取消考试资格.作业质量的好坏作为平时成绩,计算入期末总评(占10%).考试:期中考试期末考试期末总评成绩=平时成绩*10%+期中成绩*10%+期末成绩*80%.高等数学的基本内容:高等数学包括四个部分:微积分学.(重点,难点)常微分方程.向量代数与空间解析几何.无穷级数.研究对象:不规则,弯曲的几何对象和非均匀,无限过程的变量.高等数学电子教案

第一章函数与极限本章主题词：集合、数列、函数、极限、连续第一章函数与极限1.1函数的概念及其初等性质1.2数列极限1.3函数极限1.4无穷小与无穷大1.5函数的连续性1.6闭区间上连续函数的性质

选读经济学中的几个常用函数数学家：刘徽康托尔狄利赫雷维尔斯托拉斯1.1函数的概念及其初等性质1.1.1集合1.集合:具有某种特定性质的对象的总体.组成这个集合的对象称为该集合的元素.有限集（列举表示）无限集（命题式表示）2.实数与数轴：O1-1x实数系的连续性：实数的集合与数轴上点的集合一一对应。有理数系（无理数系、实数系）的稠密性：任意两个有理数（无理数、实数）之间都有无穷多个有理数（无理数、实数）。数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集例如,规定空集为任何集合的子集.集合的运算：集合的并：集合的交：集合的差：集合的直积：AB(x,y)xyAB3.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.4.邻域:1.1.2常量变量函数在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域函数自变量因变量函数的两要素:定义域与对应法则.对应法则f约定:如无特别指出，定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值（自然定义域）.定义:

(2)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(1)绝对值函数xyO12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo阶梯曲线(3)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数有理数点无理数点•1xyo(4)狄利克雷函数[5.3]=5,[-4.5]=-5.(5)取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例1解故tRO1.1.3函数的初等性质1．函数的有界性:函数的有界性：设函数y=f(x)

在区间(a,b)内有定义((a,b)可以是f(x)

的整个定义域，也可以是定义域的一部分)。如果存在一个正数M,对于所有的

,恒有,则称函数f(x)在(a,b)内是有界的。如果不存在这样的正数M,则称f(x)在(a,b)内是无界的。2．函数的单调性:xyo(<)（严格)xyoxyo(>)（严格）xyo3．函数的奇偶性:4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.例1解下列各题:小结：基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念、映射的概念函数的初等性质有界性、单调性、奇偶性、周期性.1.1.4函数的初等运算1.函数的四则运算

2。复合函数定义:xuy注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成；3.复合运算不满足交换性,例3解综上所述DWDW3.反函数运算

3.直接函数与反函数的图形关于直线对称.1.1.5基本初等函数与初等函数基本初等函数（6类）：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

xyOy=C1.常数函数2.幂函数它的定义域随而定，但不论为何值，在内总有定义，而且图形经过（1,1）点。3.指数函数4.对数函数指数函数：函数称为指数函数。定义域是区间,值域为，当a>1

时，函数单调增加，当0<a<1

时，函数单调减少。

函数

(）称为对数函数，它是指数函数的反函数。对数函数：

定义域为，图形总在x轴的正方向，且通过点(0,1)。5.三角函数正弦函数余弦函数正弦函数：函数称为正弦函数；周期为,定义域,值域[-1,1]，sinx为奇函数。余弦函数：函数

称为余弦函数；周期为,定义域,值域[-1,1]。cosx为偶函数。正切函数余切函数正切函数：函数

称为正切函数；周期,值域。tanx的定义域为：正切函数以为周期的周期函数，是奇函数。余切函数：函数称为余切函数；周期,值域。cotx的定义域为：余切函数是以为周期的周期函数，它是奇函数。正割函数余割函数6.反三角函数反正弦函数：函数Arcsinx称为反正弦函数，是sinx的反函数；反正弦函数的首字母为大写，是多值函数。区间上取其一段,称为主值分支(单值函数),记作：反余弦函数：函数Arccosx称为反余弦函数，是cosx的反函数；反余弦函数的首字母为大写，是多值函数。在区间上取其一段,称为主值分支(单值函数),记作：反正切函数：函数

Arctanx称为反正切函数，是tanx的反函数；反余切函数的首字母为大写，是多值函数。在区间取其一段,称为主值分支(单值函数),记作：反余切函数：函数Arccotx称为反余切函数，是cotx的反函数；反余切函数的首字母为大写，是多值函数。在区间取其一段,称为主值分支(单值函数),记作：初等函数:由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.双曲函数与反双曲函数:奇函数.偶函数.1、双曲函数奇函数,有界函数,双曲函数常用公式反双曲函数奇函数,奇函数,1.1.6函数关系的建立例1函数的列表表示：某公司一年中月销售个统计月份123456789101112销售额252418171617171819212324例2函数的图像表示：某气象观察点24小时气温观察资料图O

tT例3

函数关系的解析式表示：某人从美国到加拿大去旅游，他把美元换成加拿大元时币面数值增加了12%，回国时又把加拿大元换成美元，币面数值减少1