线性代数3学分性质1.对称矩阵特征值为实数

§4对称矩阵的性质1.对称矩阵的特征值为实数证

由此可知若是对称矩阵A的特征值,则AEX0的系数矩阵是实矩阵.所以它的基础解系可以取实向量,所以1x1

x

性质2.λ1λ2是对称矩A的两个不同的特征值,p1 1设,记 ,其中x表示x的共轭复数.记A(a) 1

是对应的实特征向量.则p1与p2正交

即对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的x

x n n AA

证:由条件知Apiipi(iTATTATTAT

Ap22

pTAppT 2 2 pTATp(Ap)TppTp

1 T

所以(pTp

T

T 所以(p,p)

p所以由(1),(2)知()

因为0,所以Txx x

|x|2 |x|2

所以p1与p2正交0 0x所以.所以是实数 定理.An阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,

求正交矩阵P(不唯一),把n阶对称矩阵A化为对角阵

设|EA|

(ks),(ij则 0P1APPTAP ,

求出(AiE)X0的基础解系:i1 ,i,. n其中1 推论.设A为n阶对称矩阵,0是A的特征多项式的k重根则RA0E)nk,从而0的几何重数为k,所以0

把它们正交化,单位化,得到ki个两两正交i单位向量pi1 , .(因为的代数重数是k,所以的几何 所以这个方程组的基础解系恰好有ki个向量这些向量都是单位向量代数重数0的几何重数可以利用上面一节介绍的矩阵可对角化的最后一个判定准

ks

EA是n次多项式 令P(p

,p ,

1 (因为pi1 ,pi,k是两,正.(1is)且ij(i

例.设A 1.求一个正交阵P,使P1AP为对角阵所以

11 ,

,

s1 ,

是两两正交的

101 101所1

,p ,

是Rn的一组规范正交基

解:|AE

所以P是正交阵

1 1 P1AP

引理:若P(p p)

c2c3

0

1

s

Apiipi,则PAP n

(1)((1)(1)2(求得A的所有不同的特征值为12(1重21(2重对2,解方程A2EXAEX

对21解方程AEXA2EX

1

1 1

3

r A2E 1

AE 1 0

0 2

2

1 1

xxx

r

0

3

1

0

0

3 0 1

xx

x

x2 1x 0

求得x1

记

1,

.令x1

3

0

xx

x 0

2

x2 0

1

令x1

x1

记0所以

1是基础解系把单位化得p

3

11 1

||||

3

所以是AEX0的基础解系1 11 1

1

把,正交化

0 1

0

令P(p,p,p),则P是正交阵,且P1AP 0.0

1

令2233(,2

1 (2,2)(2,2)

01 1

如果令Qp,p,p),则Q也是正交阵,且Q1AQ

0 1

302121

11 0 2 把2,3单位化,

p122||222

11020 1

1p3

11122

11

2

6例.设A 1,求An

对3,解方程A3EX2 2

r 解:只要求出可逆矩阵P,使P1AP为对角阵2

A3E

x1x2 |AE

2

(1)(

令x1则x1.所以1是基础解系 对11,解方程AEX

1

0 r

令P(1,2)

则P1AP AE

3 1 0

0所以AP

x1x2

3 0

1 0 1

11 13n

AnP P1P 所以1是基础解系

3

3n

21 13n

0

小结

求正交矩阵,把n阶对称矩阵A化为对角阵

k例

设矩阵A

与

设|EA|

(s),(i

1 y 求xy;并求一个正交矩阵P,使P1AP解:首先求参数x

则i的代数重数为 E)X0的基础解系 把它们正交化,单位化,得到ki个两两正交的.单位向量pi1 ,.令P(p , ,p ,5(4)y1x

求出x4y

|A4E| |A5E|

P1AP

00

s

0若P(p p)可逆,App,则

引 i

n)..证:|AE|AET|ATE|所以AT与A的特征值相同例 设n阶矩阵A,B满足R(A)R(B)n.证明A与B公共的特征值,有公共的特征向量证:RARAR(Bn,所以|A|0,同理所以0是A与B公共的特征值.要证A与B有公共的特征向量只要证存在非零列向量使得AB 只要证 X0有非零解 R R(A)R(B) 所以BX0有非零解,即存在0Rn,