山东省莱芜市第一中学2021年高三数学理联考试题含解析

山东省莱芜市第一中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量,则=

A.

B.

C.5

D.25参考答案：C略2.设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D由题意可得x＜0，r=|OP|=，故，由得x=-3，所以=.选D.

3.设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最大值为(

)A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：D知识点：简单线性规划解析：由题意作出其平面区域，则由目标函数的最大值为8，，则由得，≤4，（当且仅当a=4，b=1时，等号成立）．故选D．【思路点拨】由题意作出其平面区域，求出目标函数的最大值为8时的最优解，利用基本不等式求解．4.已知a是实数，是纯虚数，则a＝(

)A．1

B．－1

C.

D．－参考答案：A5.在中，，若O为内部的一点，且满足，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C6.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊥α，则m∥β B．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β参考答案：B【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A：漏掉了m?β．B：根据线线垂直的判定可得结论是正确的．C：漏掉了m与n相交、异面的情况．D：可以举出墙角的例子．解：A：直线m也可以在平面β内．B：根据线线垂直的判定可得结论是正确的．C：m与n可能平行也可能相交也可能异面．D：α与β也可以相交．可以举出墙角的例子．故选B．7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝6+a7，则S9的值是（）A．27 B．36 C．45 D．54参考答案：D【解答】解：在等差数列{an}中，∵2a6＝a5+a7，又由已知2a6＝6+a7，得a5＝6，∴S9＝9a5＝54．8.“”是“关于x的不等式的解集非空”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件参考答案：C试题分析：解：因为，所以由不等式的解集非空得：所以，“”是“关于x的不等式的解集非空”的充分不必要条件，故选C.考点：1、绝对值不等式的性质；2、充要条件.9.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】函数的奇偶性，单调性B4B3C和是偶函数，在上单调递减，为奇函数，故选C.【思路点拨】根据函数的性质之奇偶和增减的定义可求.10.将正方体（如图（a）所示）截去两个三棱锥，得到图（b）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（

）． A． B． C． D．参考答案：B明显选择．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，b=3，tanB=3，则sinA的值为．参考答案：【考点】HP：正弦定理；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用正弦定理即可计算得解．【解答】解：∵tanB==3，sin2B+cos2B=1，∴解得：，又∵a=2，b=3，∴由正弦定理可得，∴解得：．故答案为：．12.已知函数是偶函数，定义域为，且时，，则曲线在点处的切线方程为

．参考答案：，，，曲线在点处的切线方程为，又是偶函数，所以曲线在点处的切线方程为.13.若直线（a+1）x﹣y+2=0与直线x+（a﹣1）y﹣1=0平行，则实数a的值为

．参考答案：0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由（a+1）（a﹣1）+1=0，解得a，经过检验即可得出．【解答】解：由（a+1）（a﹣1）+1=0，解得a=0，经过检验此时两条直线平行．故答案为：0．14.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是

。参考答案：②④略15.设数列的前n项和为S，且，则=

▲

．参考答案：9

略16.已知矩形的面积为8,当矩形周长取最小值时,沿对角线把折起,则三棱锥的外接球的表面积为________参考答案：17.（文）已知公差为等差数列满足,且是的等比中项。记,则对任意的正整数均有,则公差的取值范围是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知（其中）的最小正周期为.(1)

求的单调递增区间;(2)

在中,分别是角的对边,已知求角.参考答案：解:(1)

故递增区间为

(2)略19.如图：在平面直角坐标系xOy中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1,0）为线段的中点，M为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

参考答案：（1），.，化简得，故椭圆E的离心率为.（2）存在满足条件的常数，.点为线段的中点，，从而，，左焦点，椭圆E的方程为.设，，，，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，.，.从而，故点.同理，点.三点、、共线，，从而.从而故，从而存在满足条件的常数．略20.已知函数(Ⅰ)若时，函数在其定义域上是增函数，求b的取值范围；(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下，设函数的最小值；(Ⅲ)设函数的图象C1与函数的图象C2交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）依题意：∵上是增函数，∴恒成立，……2分∴∵∴b的取值范围为………4分（2）设，即…5分∴当上为增函数，当t=1时，…6分当…………7分当上为减函数，当t=2时，……………8分综上所述，当当…9分（3）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在M处的切线斜率为

C-2-在点N处的切线斜率假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则即则，………12分设…………①令则∵

∴

所以上单调递增，故，

则这与①矛盾，假设不成立,故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.……14分21.（本小题满分12分）已知二次函数其图象关于对称，数列的前项和为,点均在图象上.（Ⅰ）求数列的通项公式，并求的最小值；（Ⅱ）数列,,的前项和为,求证：.参考答案：【知识点】数列与不等式的综合；数列的函数特性；数列的求和．D4D5

【答案解析】（Ⅰ）=2n+1（），3；（Ⅱ）见解析解析：（1）,

……………..1分点均在y=f(x)图象上，①………………..2分（）②①-②得，即=2n+1（）……….4分，又……………5分

=2n+1（）由=（n+1）2﹣1，该函数在[﹣1，+∞）上为增函数，又n∈N*，∴当n=1时，（Sn）min=3；………………6分（2）….7分==………9分即证即证，，所以右边成立……..10分，又随n的增大而增大，，左边成立…………..11分所以，原不等式成立.

……….12分【思路点拨】（Ⅰ）由f（1）=3，二次函数f（x）=Ax2+Bx的对称轴为x=﹣1列式求得A，B的值，则函数解析式可求，结合点（n，Sn）在y=f（x）图象上得到数列数列的前n项和，由an=Sn﹣Sn﹣1求得数列的通项公式．由函数的单调性求得Sn的最小值；（Ⅱ）利用裂项相消法求出数列{bn}的前n项和为Tn，然后利用放缩法证得数列不等式．22.已知函数f（x）=cos（ωx﹣）﹣cosωx（x∈R，ω为常数，且1＜ω＜2），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1．f（A）=，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】HR：余弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（ωx﹣），由关于直线x=π对称，可得，结合范围ω∈（1，2），可求k，ω，利用周期公式即可计算得解．（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可求，结合范围0＜A＜π，可求A，由余弦定理，基本不等式可求bc≤1，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ），（3分）由函数f（x）的图象关于直线x=π对称，可得：，∴，∵ω∈（