《作业推荐》高中数学人教A版必修期末复习专题之对数函数

《作业推荐》—高一期末复习专题之对数函数一、单选题(共30分)1.对数式log(a+2)(a−5)中实数a的取值范围是（A.(−∞,5) B.(−2,5) C.(−2,−1)∪(−1,5) D.(5,+∞)【答案】D【解析】【分析】由题意，根据对数函数的性质，得到不等式组a+2>0a+2≠1a−5>0【详解】由题意，根据对数函数的性质，可得对数式log(a+2)满足a+2>0a+2≠1a−5>0，解得a>5，即实数a的取值范围是故选D.【点睛】本题主要考查了对数式函数的性质的应用，其中解答熟记对数式的性质，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知集合A=x|y=ln(x+2),B={x|(x+5)(x-2)≤0},A.(-2,+∞) B.[-2,2] C.(-2,2] D.[-5,+∞)【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的定义域、一元二次不等式的解法化简集合A、B,再利用交集的定义求解即可.【详解】∵A=x|y=ln(B={x|(x+5)(x-2)≤0}=x|∴A∩B=x|故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A且属于集合B的元素的集合.3.fx=lnA.−∞,1 B.1,32 C.3【答案】D【解析】【分析】首先求出函数的定义域，然后利用二次函数的性质研究g(x)=x2−3x+2的单调性，结合函数【详解】解：令x2−3x+2>0，解得x<−1或在−∞,−1∪2,+∞上，g(x)=x因为函数y=ln所以fx=ln故选：D.【点睛】本题考查复合函数的单调性，注意：一定要先求函数的定义域.4.已知函数f(x)=log12x2−ax+3aA.(−∞,4] B.[4,+∞) C.(−4,4] D.[−4,4]【答案】C【解析】【分析】先由题意得到二次函数y=x2−ax+3a在区间[2,+∞)是增函数，且x2【详解】因为函数f(x)=log12所以只需二次函数y=x2−ax+3a在区间[2,+∞)是增函数，且x所以有：a2≤22故选C【点睛】本题主要考查由对数型复合函数的单调性求参数的问题，熟记对数函数与二次函数的性质即可，属于常考题型.5.已知f(x)=loga(6−3ax)在[0A.(0 ，  1) B.(1【答案】C【解析】由题意可得，a＞0，且a≠1，∴t=6−3ax在[0，1]上大于零且是减函数．

又f（x）=loga（6−3ax）在[0，1]上是减函数，则a＞16−3a×1＞0，求得6.已知函数f(x)=(a−1)x+4−2a, x<11+log2x, x⩾1，若A.(1,2] B.(－∞，2]C.(0,2] D.[2，＋∞)【答案】A【解析】【分析】先判断函数在x≥1时的单调性，求出值域，根据题意可以确定函数在x＜1时的单调性，此时应该满足的条件，以及值域的右端点的值所满足的条件，这样就可以求出实数a的取值范围【详解】当x≥1时，fx当x＜1时，f(x)=(a−1)x+4−2a必须是增函数，且值域区间的右端点的值大于或等于1，才能满足f(x)的值域为R，可得a−1>0a−1+4−2a⩾1，解得a【点睛】本题考查了已知分段函数的值域求参数问题，掌握基本初等函数的性质是解题的关键.7.已知函数fx=log2x+1，若fm=fnA.1 B.−1 C.0 D.2【答案】B【解析】【分析】由题,若fm=fn则log2m+1=log2n+1【详解】由题log2m+1=log2故log2故m+1n+1=1⇒mn+m+n=0⇒1+1n故选B【点睛】本题主要考查对数的基本运算,属于基础题型.8.已知fx是定义在R上的奇函数，当x∈0,+∞时，fx=2A.0,12C.2,+∞ D.0,【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性求出函数fx的表达式，分段讨论解不等式【详解】解：∵fx是定义在R∴f(0)=0，当x<0，−x>0，此时f(−x)=2∵fx∴f(−x)=2即f(x)=2−2当log2x=0，即x=1当log2x>0，即x>1时，当log2x<0，即0<x<1时，f综合得：不等式flog2x故选B.【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性求出函数fx9.已知f(x)=ln(x2+1)，g(x)=(12)x-m，若∀A.[14,+∞) B.(-∞,1【答案】A【解析】【分析】先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m的取值范围.【详解】因为x1∈[0，3]时，x2∈[1，2]时，g故只需0≥1【点睛】本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题．10.已知函数f(x)=log2x，g(x)=2x+a，若存在x1,A.[−5,0] B.(−∞,−5]∪[0,+∞) C.(−5,0) D.(−∞,−5)∪(0,+∞)【答案】A【解析】【分析】根据条件求出两个函数的值域，结合若存在x1，x2∈[12，2]，使得f（【详解】当12≤x≤2时，log212≤f（x）≤log22，即﹣1≤f（x）≤1，则f（x）的值域为[﹣当12≤x≤2时，2×12+a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，则g（x）的值域为[1+a若存在x1，x2∈[12，2]，使得f（则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅，若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅，则1+a＞1或4+a＜﹣1，得a＞0或a＜﹣5，则当[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣5，0]，故选A．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进行求解是解决本题的关键．二、填空题(共30分)11.计算：3log3【答案】6【解析】【分析】利用对数的运算法则，对式子进行运算.【详解】原式=2+(故答案为6.【点睛】本题考查对数运算法则的运用，考查基本运算求解能力，属于基础题.12.计算：813+1−2【答案】(1).2(2).2【解析】【分析】根据指数对数与根式的运算化简即可.【详解】82故答案为(1)2,(2)2【点睛】本题主要考查指数对数的基本运算,包括换底公式等,属于基础题型.13.设a=lg2,b=lg3，则10a+b=________【答案】(1).6(2).b−3a【解析】【分析】第一个空直接把对数形式转化为指数形式，利用指数的运算性质求解即可；第二个空直接利用对数的运算性质求解即可．【详解】解：∵a=lg2，b=lg3，∴10a=2∴10∵a=lg2，b=lg3，∴lg3故答案为6，b−3a．【点睛】本题主要考查对数以及指数的运算性质，属于基础题．14.若关于x的不等式4x<log2ax（a>0，且a≠12【答案】2【解析】【分析】由题意可得当x=12时，4x=log2a【详解】∵关于x的不等式4x＜log2ax（a＞0，且a≠12）的解集是{x|0＜x＜1则当x=12时，4x=log2ax，即2=log2a12，∴（2a）2=12，∴2a=2故答案为{2【点睛】本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.若函数f(x)=logax（a>0且a≠1）在区间(2a,5a−1)【答案】1【解析】【分析】fx=logax在0,1和1,+∞有不同的单调性，所以【详解】∵fx=logax∴0<2a<5a−1≤1，或1≤2a<5a−1，解得：13<a≤2又∵a>0且a≠1，∴a的取值范围是13故答案为1【点睛】本题考查已知函数在区间内的单调性求参数的取值范围，列不等式时，不要遗漏掉不等式，属于基础题型.16.已知函数f(x)=loga(x2−2ax+a+2)（a>0且a≠1）．若a=3，则f(x)的单调递增区间是_________；若f(x)的值域为【答案】(1).(5,+∞)(2).[2,+∞)【解析】【分析】（1）a=3时，fx（2）若函数的值域为R，则内层函数t=x2−2ax+a+2需和x轴有交点，求【详解】（1）a=3时，f拆成y=log3t外层函数y=log内层函数t=x2−6x+5需满足解得：x>5，单调递增区间是5,+∞；（2）若函数的值域为R，则内层函数t=x2−2ax+a+2∴a>0a≠12a2故答案为5,+∞；2,+∞【点睛】本题考查根据对数的复合函数的形式求参数的取值范围，意在考查对函数的理解，转化与化归，和计算能力，属于中档题型，若本题第二问是定义域为R，即内层函数t=x2−2ax+a+2与x轴无交点，即17.若函数fx=log【答案】[0,【解析】【分析】将问题转化为kx2+2k-1x+1【详解】∵函数fx∴gx=k①当k=0时，gx=-x+②当k≠0时，要使gx则需满足k>0∆=2k-12-k=4k2综上可得0≤k≤14或∴实数k的取值范围为[0,1【点睛】解答本题的关键是深刻理解题意，解题中容易出现的错误是将“函数fx=log2[kx18.设函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的定义域为[m,n]（m<n)，值域为[0,1]，若n−m的最小值为1【答案】32或【解析】【分析】根据题意f(x)=logax，利用函数图像的变换，作出f(x)=loga【详解】如图所示，做出f(x)=若0<a<1，当n=1时，logam=1时，若a>1时，当n=1时，logam=−1，综上所述，a=32或【点睛】本题主要考查了对数函数的图像以及性质，在画对数函数图像时要注意强化讨论意识，对底数是a>1还是0<a<1进行讨．作y=f(x)的图像，应先作出y=f(x)的图像，x轴上方的图像保留，x19.已知当x∈1,2时，不等式x−12≤log【答案】1,2【解析】【分析】作出函数y=x−12和函数y=logax在区间1,2上的图象，由图象得出y=log【详解】如下图所示：由上图所示，当x∈1,2时，不等式x−12≤logax恒成立，则函数y=logax为增函数，且有log故答案为1,2.【点睛】本题考查对数不等式的求解，在利用数形结合思想求解时，要充分分析出函数的单调性，并抓住一些关键点进行分析，列出不等式组进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.如图，已知点A,B是函数fx=log216x图像上的两点，点C是函数gx=log2x图像上的一点，且直线BC垂直于x轴，若ΔABC是等腰直角三角形（其中【答案】(1).23(2).【解析】【分析】先设Ax1,y1，Bx2,【详解】设Ax1,y1，Bx2,y2，因为ΔABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），所以y2−y3=2x2−x1，y2+y故答案为(1).23(2).【点睛】本题主要考查对数函数的图像的应用，熟记对数函数的图像与性质即可，属于常考题型.三、解答题(共30分)21.已知函数f（1）求函数fx（2）若当x∈1,+∞时，fx+log【答案】（1）定义域为−∞,−1∪1,+∞【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义可得1+xx−1>0,即可解得定义域；再根据fx+f（2）根据题意fx+log2x−1=log【详解】（1）∵fx∴1+xx−1>0,即∴x>1或x<−1,∴定义域为−∞,−1∵fx∴f∴fx又∵fx∴fx（2）∵fx∴当x∈1,+∞,log∵fx+∴m≤1,∴m取值范围为−∞,1【点睛】本题考查具体函数求定义域,考查函数奇偶性的证明,考查利用对数函数单调性处理不等式恒成立问题,考查运算能力22.已知函数f(x)=log2（1）求a和f(x)的单调区间（2）解不等式f(x+1)−f(x)>2.【答案】（1）a=2，增区间(0,+∞)，无减区间；（2）(0,log【解析】【分析】（1）直接由f(1)=2求得a，然后结合对数函数性质求得单调区间；（2）代入函数式，再化不等式为log2【详解】（1）f(1)=log2(a2+a−2)=2，f(x)=log由22x+2x−2>0得，(2x在(0,+∞)上，u=22x+2x−2即f(x)的增区间是(0,+∞)，无减区间．（2）f(x+1)−f(x)>2，即f(x+1)>2+f(x)，即log2∴22x+2+2∴原不等式解集为(0,log【点睛】本题考查对数的运算，考查对数型函数的单调性，考查解对数与指数不等式，难度中等．对数问题中一定要注意对数函数的定义域．23.已知函数fx(1)求实数k的值；(2)判断fx在0,+∞(3)求函数fx【答案】（1）k=−12；（2）fx在0,+∞【解析】试题分析：（1）由函数fx为偶函数，额f(−x)=f(x)，列出方程，即可求解k（2）可设t=2x，利用复合函数的单调性，即可判定函数（3）由2x+试题解析：(1)由函数fx是偶函数，可以知道f∴log4即-2kx=x，对一切x(2)fx令t=2xgt=t所以fx在0,+(3)因为2x所以fx则函数fx的值域为124.已知函数fx=3x−1，函数gx（1）若关于x的方程fx2+4fx−m=0（2）若log31−2x−2gx【答案】（1）−3,+∞；（2）0,1【解析】【分析】（1）令t=fx=3x−1>−1，问题转化为关于t的方程t2+4t−m=0在t∈−1,+∞上有实数解，由参变量分离法得出（2）求出函数y=fx的反函数y=gx的解析式，可得出gx=log3x+1，由题意得出【详解】（1）令t=fx=3x−1>−1，则关于t得m=t2+4t，则实数m的取值范围即为函数y=二次函数y=t2+4t所以，函数y=t2+4t在−1,+∞上单调递增，当t>−1因此，实数m的取值范围是−3,+∞；（2）由题意知，函数y=fx与函数y=g由y=3x−1，得x=由log31−2x−2g则1−2x<x+121−2x>0x+1>0，解得0<x<1【点睛】本题考查复合型二次函数的零点问题、反函数的求解以及对数不等式的求解，在处理对数不等式时，除了化为同底数的对数，结合单调性得出真数大小关系外，还应注意真数大于零这一条件的限制，考查运算求解能力，属于中等题.25.已知函数f(x)=log（1）当a=−1时，求关于x的不等式f(x)<1的解集；（2）关于x的方程f(x)−log2[(a−4)x+2a−5]=0的解集中恰有一个元素，求【答案】（1）13,1；（2）1<a≤2或a=3或【解析】【分析】（1）将a=−1代入,则不等式为log21x−1<1=（2）整理方程为a−4x2+a−5x−1=0,【详解】（1）当a=−1时,fx∵log2∴1x−1<20<∴不等式的解集为1（2）∵log2∴1x∴1+ax=a−4x①a=4时,−x−1=0即x=−1,检验1x②a≠4时,a−4（i）1a−4=−1,即a=3时,x=−1,此时（ii）1a−4≠−1,即a≠3时,x1当x1=1当x2=−1是解时,要解集中恰有一个元素,则1<a≤2,综上,a的取值范围为1<a≤2或a=3或a=4【点睛】本题考查利用对数函数单调性解不等式,考查已知方程解得个数求参数问题,考查分类讨论思想,考查运算能力26.已知函数f(x)=log9(9x(1)求k的值；(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=−12x+b没有交点,(3)设h(x)=log9a⋅3x−43a,若函数【答案】（1）k=−12（2）−∞,【解析】【分析】(1)根据偶函数定义f(−x)=f(x),代入化简即可求得k的值.(2)两个图像没有交点,所以联立方程后无解.分离参数后,根据对数的值域即可求得实数b的取值范围;(3)将两个函数联立,可得关于x的方程,利用换元法转化为二次函数.对参数a分类讨论,即可求得只有一个公共点时实数a的取值范围.【详解】(1)因为y=f(x)为偶函数,所以 f(−x)=f(x)即log9(9于是2kx=log9而x不恒为零,所以k=−1(2)由题意知方程log即方程log9(因为g(x)=则函数y=g(x)的图象与直线y=b无交点.∴b的取值范围是−∞,(3)由题意知方程3x令3x=t>0,则关于t的方程(a−1)t2若a=1,则t=−34,不合题意若a≠1,因为0不是方程(*)的根,所以方程(*)的两根异号或有两相等正根.由Δ=0⇒a=34或－3；但a=3方程(*)的两根异号⇔综上所述,实数a的取值范围是{−3}∪(1【点睛】本题考查了偶函数的性质,根据函数图像交点求参数的取值范围,换元法在求参数取值范围中的应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.27.已知函数f(x)=log（1）求函数f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性并加以证明;（3）若f(x)<log2(ax)在x∈[1【答案】（1）(−2,2)；（2）见解析；（3）(6【解析】【分析】（1）根据函数的解析式有意义，列出方程组，即可求解；（2）直接利用函数的奇偶性的定义，即可作出判定；（3）把f(x)<log2(ax)在x∈[12【详解】（1）由题意，函数f(x)=log2(2−x)−解得−2<x<2，即函数fx的定义域为(−2,2)（2）由（1）知，函数fx的定义域为(−2,2)又由f(−x)=log即f(−x)=−fx，所以函数fx是定义域(−2,2)（3）由f(x)=由f(x)<log2(ax)即log22−xx+2即2−xx+2<ax在x∈[12,1]即函数hx=ax又因为a>0，则函数hx的对称轴x=−则只需h(12)=即实数a的取值范围是(6【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，函数的奇偶性的判定与证明，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中把对数式的恒成立，转化为二次函数的恒成立，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.28.设fx=log（1）求证：fx是1,+∞（2）若对于区间3,4上的每一个x值，不等式fx>1【答案】（1）证明见解析；（2）−∞,−【解析】【分析】（1）由奇函数的定义域关于原点对称可得，1−axx−1>0，即x−11−ax>0，则令x−11−ax=0，得到的根必为相反数，从而求出（2）由题意知log121+xx−1−12x【详解】（1）∵fx由1−axx−1>0，得x−11−ax>0．令x−11−ax∴1a=−1，解得a=−1，fx设任意x1<x2，且∵1<x1<x2，∴x1−1>0，x∴ux=1+2∴fx在1,+∞（2）由题意知log121+x令gx=log由（2）知y=log121+xx−1在3,4故gx在3,4上为增函数，∴gx的最小值为∴m<−98，故实数m的范围是【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，奇偶性和恒成立问题，着重考查学生的逻辑推理能力和转化与化归的能力，恒成立问题一般转化为最值问题，属中档题.29.已知函数f(x)=loga(ax+1)（a>0且a≠1），（1）当0<a<1时，求关于x的不等式f(x)<f(1)的解集；（2）当a=2时，求g(x)的值域；（3）求关于x的不等式af【答案】（1）{x|x<1}；（2）[−14,+∞)；（3【解析】【分析】（1）将函数f(x)的解析式代入不等式，转化成关于对数不等式的求解问题；（2）利用换元法，设t=2x将g(x)（3）利用对数恒等式将不等式afx≥gx+2转化为【详解】（