学习-电路课件

第七章动态电路的时域分析2.一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应求解；

重点3.一阶电路的阶跃响应和冲激响应。1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；4.二阶电路的零输入响应。含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。特点：1.动态电路7.1动态电路的方程及其初始条件

当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。例+-usR1R2（t=0）i0ti过渡期为零电阻电路K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC=0i=0,uC=UsK+–uCUsRCi

(t=0)K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态+–uCUsRCi

(t→)前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?i有一过渡期电容电路K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL=0uL=0,i=Us/RK接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1US/Rit0?UL有一过渡期K+–uLUsRLi

(t=0)+–uLUsRLi

(t→)电感电路过渡过程产生的原因

电路内部含有储能元件

L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化应用KVL和电容的VCR得：若以电流为变量：+–uCus（t）RCi

(t>0)2.动态电路的方程+–uLus（t）RLi

(t>0)有源电阻电路一个动态元件一阶电路应用KVL和电感的VCR得：若以电感电压为变量：+–uLuS（t）RLi

(t>0)CuC＋－＋－二阶电路若以电流为变量：一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。

动态电路的分析方法（1）根据KVL、KCL和VCR建立微分方程复频域分析法时域分析法

（2）求解微分方程经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用

工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。(1)t=0＋与t=0－的概念认为换路在

t=0时刻进行0－

换路前一瞬间0＋

换路后一瞬间3.电路的初始条件初始条件为t=0＋时u，i

及其各阶导数的值0－0＋0tf(t)t=0+时刻当i()为有限值时iucC+-q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。(2)电容的初始条件0q

=CuC电荷守恒结论当u为有限值时L

(0＋)=L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)iuL+-L(3)电感的初始条件t=0+时刻0磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结论L

(0+)=L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)（4）换路定律（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。注意:

换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。

换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。（2）换路定律反映了能量不能跃变。5.电路初始值的确定(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路(1)由0－电路求uC(0－)或iL(0－)+-10V+uC-10k40kuC(0－)=8V(3)由0+等效电路求iC(0+)iC(0－-)=0iC(0+)例1求iC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k电容开路电容用电压源替代iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0时闭合开关k,求uL(0+)iL+uL-L10VK14+uL-10V140+电路2A先求由换路定律:电感用电流源替代10V14解电感短路求初始值的步骤:1.由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.换路后的电路（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。电容开路电感短路iL(0+)=iL(0－)=ISuC(0+)=uC(0－)=RISuL(0+)=-RIS求iC(0+),uL(0+)例3K(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC解0+电路uL+–iCRISRIS+–0－电路RIS由0－电路得：由0＋电路得：例4iL+uL-LK2+-48V32C求K闭合瞬间各支路电流和电感电压解由0－电路得：12A24V+-48V32+-iiC+-uL由0+电路得：iL2+-48V32+－uC例5求K闭合瞬间流过它的电流值。iL+200V-LK100+uC100100C－解（1）确定0－值（2）给出0＋等效电路7.2一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。1.

RC电路的零输入响应已知uC

(0－)=U0特征根特征方程RCp+1=0则uR=Ri零输入响应iK(t=0)+–uRC+–uCR代入初始值uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0tU0uC0I0ti0令=RC,称为一阶电路的时间常数

（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：连续函数跃变

（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短=RC

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短电压初值一定：R大（C一定）

i=u/R

放电电流小放电时间长U0tuc0

小

大C大（R一定）W=Cu2/2

储能大物理含义工程上认为,经过3－5,过渡过程结束。：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。＝t2－t1

t1时刻曲线的斜率等于I0tuc0t1t2U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

次切距的长度（3）能量关系

电容不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+－C例

已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：i3K3+uC265F－i2i1+uC45F－i1t>0等效电路分流得：2.

RL电路的零输入响应特征方程Lp+R=0特征根代入初始值i(0+)=I0A=i(0+)=I0iK(t=0)USL+–uLRR1t>0iL+–uLR-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：连续函数跃变

（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；

（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；令=L/R

,称为一阶RL电路时间常数L大W=Li2/2起始能量大R小

P=Ri2放电过程消耗能量小放电慢大

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短物理含义时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短=L/R电流初值i(0)一定：（3）能量关系

电感不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.设iL(0+)=I0电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：iL+–uLRiL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V造成V损坏。例1t=0时,打开开关K，求uv。现象：电压表坏了电压表量程：50V解iLLR10ViLK(t=0)+–uVL=4HR=10VRV10k10V例2t=0时,开关K由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。解iLK(t=0)+–24V6H3446+－uL212t>0iL+–uLR小结4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=RC,

RL电路

=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加输入激励作用所产生的响应。列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=07.3一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程解答形式为：1.

RC电路的零状态响应零状态响应齐次方程通解非齐次方程特解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定全解uC

(0+)=A+US=0A=－

US由初始条件uC

(0+)=0

定积分常数A的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解-USuC‘uC“USti0tuc0

（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量）+

（2）响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；大，充电慢，小充电就快。

（3）响应与外加激励成线性关系；（4）能量关系电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。例t=0时,开关K闭合，已知

uC（0－）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC＝80V时的充电时间t。解50010F+-100VK+－uCi(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：（2）设经过t1秒，uC＝80V2.RL电路的零状态响应iLK(t=0)US+–uRL+–uLR已知iL(0－)=0，电路方程为：tuLUStiL00例1t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的变化规律。解这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：iLK+–uL2HR8010A200300iL+–uL2H10AReqt>0例2t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的及电流源的端电压。解这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：iLK+–uL2H102A105+–ut>0iL+–uL2HUSReq+－7.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。iK(t=0)US+–uRC+–uCR解答为uC(t)=uC'+uC"uC

(0－)=U0以RC电路为例，电路微分方程：=RC1.全响应全响应稳态解uC'=US暂态解uC

(0+)=A+US=U0A=U0-US由起始值定A2.全响应的两种分解方式强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0全响应=

强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)(1)着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=U0iK(t=0)US+–uRC+–uCR=uC

(0－)=0+uC(0－)=U0C+–uCiK(t=0)+–uRR全响应=

零状态响应

+零输入响应零状态响应零输入响应(2)着眼于因果关系便于叠加计算零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0例1t=0时,开关K打开，求t>0后的iL、uL解这是一个RL电路全响应问题，有：零输入响应：零状态响应：全响应：或求出稳态分量：全响应：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0时,开关K闭合，求t>0后的iC、uC及电流源两端的电压。解这是一个RC电路全响应问题，有：+–10V1A1+－uC1+－u1稳态分量：全响应：A=－10+–24V1A1+－uC1+－u13.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程：令t=0+其解答一般形式为：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用0+等效电路求解用t→的稳态电路求解直流激励时：1A2例113F+-uC已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t)

。解tuc2(V)0.6670例2t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素为：iL+–20V0.5H55+–10Vi2i1应用三要素公式三要素为：+–20V2A55+–10Vi2i10＋等效电路例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)

。2A410.1F+uC－+－4i12i18V+－12解三要素为：4+－4i12i1u+－例4已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)

。解三要素为：+–1H0.25F52S10Vi例5i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)32已知：电感无初始储能

t=0

时合k1,t=0.2s时合k2

求两次换路后的电感电流i(t)。0<t<0.2st>0.2s解

说明：

1、应用条件：一阶电路；开关激励；直流激励

2、时间常数计算：

一阶电路“三要素”分析法三要素公式:—

时间常数y()—稳态值其中：y(0+)—

初始值

7.5一阶电路的阶跃响应1.单位阶跃函数定义2.延迟单位阶跃函数：时刻起始的阶跃函数(t-)。

3.延迟阶跃函数：A(t-)。

作用1.表示开关的动作已知uC(0-)=0对于阶跃函数输入的零状态响应+-2.单位阶跃函数用来“起始”任意某个函数f(t)。3.用来表示一个阶梯波形。

用(t)来起始函数。下图(a)所示电路中，开关S合在位置1时电路已达稳定状态。t=0时，开关由位置1合向位置2，在t==RC时，又由位置2合向位置1，求t≥0时的电容电压uC(t)。图(a)0≤t<时的电路如图(b)所示。图(b)t>时的电路如图(c)所示。图(c)因此：因此：例解法一：这是一个一阶电路的零状态响应的问题这是一个一阶电路的零输入响应的问题（激励源分成两个阶跃源的叠加）电容电压可看作两个零态方程，但起始时间不同，故有(1)0≤t<时(2)t>时求法：阶跃响应可根据三要素公式直接写出。激励如为阶梯函数，将阶梯函数表示为多个阶跃函数的叠加，阶跃响应就是这多个阶跃函数单独作用而产生的响应之和。解法二：验证：7.6一阶电路的冲激响应1.单位冲激函数定义2.

单位矩形脉冲函数f(t)的波形，高为1/

，宽为，面积为1。

三角形函数f(t)的波形，高为1/

，宽为2，面积为1。对于冲激函数输入的零状态响应3.延迟冲激函数：二、性质延迟冲激函数k(t-2)冲激强度为k延迟冲激函数(t-1)1.单位冲激函数(t)对时间的积分等于单位阶跃函数(t)，即反之，阶跃函数(t)对时间的一阶导数等于冲激函数(t)，即单位冲激函数(t)冲激强度为12.筛分性质：对于任意在t=0时连续的函数f(t)，将有因此同理求冲激响应的一般方法：一、利用阶跃特性与冲激特性的关系二、等效初始值法三、拉普拉斯变换求冲激响应i。2、求冲激响应h(t)

阶跃响应冲激响应方法一、阶跃响应法:注意：求导时一定要带上ε(t)例1：解：1、求阶跃响应S(t)；图示电路，求i(t)。当激励为10(t)时当激励为时例2：解：等效初始值:uc(o+)=A/C等效初始值：iL(o+)=A/L方法二、等效初始值法1、单个元件的初始值

2、冲激作用下等效初始值求法(2)在t=0时将电感开路，求其冲激电压则(1)在t=0时将电容短路，求其冲激电流则3、用“三要素”法求冲激响应在t=0时将电容短路则例：可得：图示电路，求u和i。解：7.7二阶电路的分析uc(0+)=U0i(0+)=0已知：1.二阶电路的零输入响应RLC+-iuc若以电容电压为变量：列电路方程：若以电感电流为变量：特征方程：电路方程：以电容电压为变量时的初始条件：uc(0+)=U0i(0+)=0以电感电流为变量时的初始条件：i(0+)=0uc(0+)=U02.零输入响应的三种情况过阻尼临界阻尼欠