第2章 连续模型

2023/1/311信息工程大学韩中庚第2章连续模型解析几何模型；

微分方程模型。主要内容微积分模型；

2023/1/312信息工程大学韩中庚1、微积分模型主要内容森林救火模型

易拉罐的优化设计模型不允许缺货的存储模型

2023/1/313信息工程大学韩中庚1.问题的提出

已知某工厂装配线能够生产若干种不同的产品，每轮换一次产品，生产线都需要更换一些必要的设备，为此，要付出一定量的生产准备费用．当某种产品的产量大于实际的销售量(需求)时，工厂就将多生产出的产品就地存储起来，为此要付出存储费用．如果该工厂的生产能力是比较大的，即实际中对于所需要的产品数量可在较短的时间内生产出来，满足市场的需求．

2.1.1不允许缺货的存储模型

2023/1/314信息工程大学韩中庚1.问题的提出

已知某产品日需求量为100件，相应的生产准备费为5000元，存储费用为每日每件为1元．试为该工厂安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次的生产量是多少，使总费用最小？2.1.1不允许缺货的存储模型

2023/1/315信息工程大学韩中庚２.问题的分析与假设

2.1.1不允许缺货的存储模型

2023/1/316信息工程大学韩中庚2.1.1不允许缺货的存储模型

3.模型的建立与求解总费用与变量的关系总费用=生产准备费+存储费存储费=存储单价*存储量存储量=？2023/1/317信息工程大学韩中庚设t时刻的存贮量为q(t)，t=0时生产Q

件，存贮量q(0)=Q,q(t)

以需求速率r线性递减，直至q(T)=0，如图。q(t)=Q-rt，

Q=rT

。otqQTrA2.1.1不允许缺货的存储模型

存储量的计算2023/1/318信息工程大学韩中庚2.1.1不允许缺货的存储模型

一个周期内存贮量一个周期内存贮费(A的面积)一个周期的总费用每天平均费用2023/1/319信息工程大学韩中庚模型求解：用微分法每天平均最小费用著名的经济订货批量公式（EOQ公式）。2.1.1不允许缺货的存储模型

2023/1/3110信息工程大学韩中庚在本例中2.1.1不允许缺货的存储模型

2023/1/3111信息工程大学韩中庚2.1.2森林救火模型

1.问题的提出森林失火了！消防站在接到报警后派出多少消防队员赶去灭火呢？派出的消防队员越多，火灾所造成的森林损失就越小，但是消防队员救火所付出的代价(开支)就会增加。需要综合考虑森林损失和消防队员的救火开支之间的平衡关系，以总费用为最小来确定派出消防队员的数量。2023/1/3112信息工程大学韩中庚2.1.2森林救火模型

２.问题的分析与假设总费用包括两方面：火灾烧毁森林的损失费用，派出消防队员救火的开支费用。烧毁森林的损失费用通常与火灾烧毁森林的面积成正比，而烧毁森林的面积与失火的时间、灭火的时间有关。灭火时间取决于消防队员数量，消防队员越多灭火越快，即时间越短。2023/1/3113信息工程大学韩中庚2.1.2森林救火模型

2023/1/3114信息工程大学韩中庚2.1.2森林救火模型

2023/1/3115信息工程大学韩中庚模型假设：2.1.2森林救火模型

说明：通常火势会以着火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径与时间成正比．因为烧毁森林的面积与过火区域的半径平方成正比，从而火势蔓延速度与时间成正比．

2023/1/3116信息工程大学韩中庚2.1.2森林救火模型

2023/1/3117信息工程大学韩中庚2.1.2森林救火模型

3.模型的建立与求解2023/1/3118信息工程大学韩中庚2.1.2森林救火模型

2023/1/3119信息工程大学韩中庚2.1.2森林救火模型

2023/1/3120信息工程大学韩中庚4、模型的结果分析与推广

2.1.2森林救火模型

2023/1/3121信息工程大学韩中庚2.1.2森林救火模型

2023/1/3122信息工程大学韩中庚2.1.3易拉罐的优化设计模型

1.问题的提出（1）如果把易拉罐近似看成一个直圆柱体，在要求易拉罐体内的容积一定时，则问题是能使易拉罐制作所用的材料最省的圆柱体截面直径和高度的比例如何？（2）如果把易拉罐的上面部分看成是一个小正圆台，下面是一个正圆柱体，则结果又该如何？为什么易拉罐都是那个样子？2023/1/3123信息工程大学韩中庚２.问题的分析与假设2.1.3易拉罐的优化设计模型

(1）研究易拉罐在内部容积一定的条件下，则问题为求使表面面积最小的优化问题．在这里，不考虑所用具体材料，也不考虑易拉罐的制造工艺影响．(2）假设易拉罐的形状为严格的几何形状，且材料厚度远小于它的高度和半径．(3)在这里用r

和h分别表示易拉罐的截面半径和高度．2023/1/3124信息工程大学韩中庚3.模型的建立与求解模型1：不考虑材料厚度的简化模型2.1.3易拉罐的优化设计模型

2023/1/3125信息工程大学韩中庚2.1.3易拉罐的优化设计模型

2023/1/3126信息工程大学韩中庚模型2：考虑材料厚度的模型2.1.3易拉罐的优化设计模型

2023/1/3127信息工程大学韩中庚282023年1月31日2.1.3易拉罐的优化设计模型

2023/1/3128信息工程大学韩中庚

即说明当易拉罐的高度是底面直径的α倍时，易拉罐所用材料的体积为最小．事实上，通过测量易拉罐的顶盖和底盖的厚度通常要比侧面的材料厚度多2倍以上，因此，这个结果是与实际相符的．2.1.3易拉罐的优化设计模型

2023/1/3129信息工程大学韩中庚2、解析几何模型主要内容飞越北极的数学模型舰艇的快速会合模型

2023/1/3130信息工程大学韩中庚1.问题的提出2.2.1舰艇的快速会合模型

某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。2023/1/3131信息工程大学韩中庚２.问题的分析与假设2.2.1舰艇的快速会合模型

2023/1/3132信息工程大学韩中庚2.2.1舰艇的快速会合模型

2023/1/3133信息工程大学韩中庚2.2.1舰艇的快速会合模型

A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母护卫舰

θ1

θ2

即：可化为：记v2/v1=a通常a>1

则2023/1/3134信息工程大学韩中庚2.2.1舰艇的快速会合模型

令：则上式可简记成：汇合点p必位于此圆上。

（护卫舰的路线方程）（航母的路线方程）即可求出P点的坐标和θ2

的值。本模型虽简单，但分析极清晰且易于实际应用

2023/1/3135信息工程大学韩中庚2.2.2飞越北极的数学模型

1.问题的提出

2000年6月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时”，摘要如下：7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间．据加拿大空中管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4小时．由于不需中途加油，实际节省的时间不止此数．试从数学上作出一个合理的解释.2023/1/3136信息工程大学韩中庚2.2.2飞越北极的数学模型

2.问题的分析

问题归结为求飞越指定各点球面上的短程线（或测地线）的航线与飞越直接连结北京上空10km和底特律上空10km的经过北极圈的新航线的时间差．又由于假设飞机作时速为980km/h的匀速飞行，问题又归结为求相应的航程差．2023/1/3137信息工程大学韩中庚2.2.2飞越北极的数学模型

3.模型的假设与符号说明

（1）对于飞机在机场起飞与降落过程的时间忽略不计，即飞机从Ａ地到Ｂ地的飞行时间只考虑飞越Ａ地上空10km和Ｂ地上空10km两点之间最短航线所用的时间；（2）飞机在飞行过程中，途经各站起飞、降落及中途加油和等待调度所用的时间均忽略不计；

（3）飞机作时速为980km/h的匀速飞行，地球的自转和公转对飞机飞行的影响忽略不计；

（4）飞机的航线始终满足最短路线原则．2023/1/3138信息工程大学韩中庚2.2.2飞越北极的数学模型

2023/1/3139信息工程大学韩中庚2.2.2飞越北极的数学模型

4.模型的建立与求解

航线上各站点的直角坐标为2023/1/3140信息工程大学韩中庚2.2.2飞越北极的数学模型

2023/1/3141信息工程大学韩中庚2.2.2飞越北极的数学模型

2023/1/3142信息工程大学韩中庚2.2.2飞越北极的数学模型

2023/1/3143信息工程大学韩中庚2.2.2飞越北极的数学模型

2023/1/3144信息工程大学韩中庚3、微分方程模型主要内容渔业资源的管理模型

减肥模型放射性废物的处理模型

饮酒驾车影响的模型2023/1/3145信息工程大学韩中庚2.3.1放射性废物的处理模型

1.问题的提出在过去的一段时间里，美国原子能委员会是这样处理浓缩放射性废物的：他们把这些废物装入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深91.44m的海里．这种做法是否会造成放射性污染，引起了生态学家和社会各界的关注．建立该问题的数学模型，分析这种装有放射性废物的圆桶在沉入海底的过程中是否发生破裂？

2023/1/3146信息工程大学韩中庚2.3.1放射性废物的处理模型

2.问题的的分析与假设

判断圆桶在沉入海底的过程中是否会发生破裂，关键在于圆桶在不破裂的情况下能承受的最大冲撞速度，以及在圆桶到达海底时的末速度．已知圆桶发生破裂的直线极限速度是12.192m/s，所以只要计算出圆桶沉入海底时的末速度就可以做出判断．2023/1/3147信息工程大学韩中庚2.3.1放射性废物的处理模型

假设：（1）圆桶从海平面下沉时开始记时；（2）圆桶从海平面处自然下落，即初速度为0；（3）圆桶在下沉过程中无其他障碍物，受到的阻力与速度成正比；（4）圆桶在下沉过程中所受的浮力为2090.735N；（5）圆桶沿直线沉入海底．2023/1/3148信息工程大学韩中庚2.3.1放射性废物的处理模型

3.模型的建立与求解

2023/1/3149信息工程大学韩中庚2.3.1放射性废物的处理模型

2023/1/3150信息工程大学韩中庚2.3.1放射性废物的处理模型

2023/1/3151信息工程大学韩中庚2.3.1放射性废物的处理模型

显然，该速度大于圆桶发生破裂的极限速度12.192m/s．因此，圆桶在下沉的过程是会发生破裂的，工程师们的担心是道理的．2023/1/3152信息工程大学韩中庚2.3.2渔业资源的管理模型1.问题的提出

渔业资源是一种可再生资源，由于人类无节制地开发利用，目前世界上的许多鱼类资源面临急剧减少或枯竭的状态．渔业资源所面临的严峻状态，使人们认识到：必须采取科学有效的措施，控制捕捞率，使鱼类资源维持在一个合理的水平上．试建立渔业资源的自然增长模型和合理的捕捞模型，讨论鱼类资源数量的合理水平，并对渔业资源的合理开发和管理提出一些建议．2023/1/3153信息工程大学韩中庚2.3.2渔业资源的管理模型2.问题的的分析与假设

2023/1/3154信息工程大学韩中庚2.3.2渔业资源的管理模型3.模型的建立与求解

（1）鱼群的自然增长模型2023/1/3155信息工程大学韩中庚2.3.2渔业资源的管理模型2023/1/3156信息工程大学韩中庚2.3.2渔业资源的管理模型2023/1/3157信息工程大学韩中庚2.3.2渔业资源的管理模型（2）有捕捞的谢弗（Schaefer）模型

2023/1/3158信息工程大学韩中庚2.3.2渔业资源的管理模型2023/1/3159信息工程大学韩中庚2.3.2渔业资源的管理模型

当捕捞努力量为何值时，能够获得的可持续性捕捞的最大捕捞量？

2023/1/3160信息工程大学韩中庚2.3.3减肥模型

1.问题的提出你知道如何判断一个人的体重是否正常吗？2023/1/3161信息工程大学韩中庚2.3.3减肥模型

2.问题的的分析与假设

2023/1/3162信息工程大学韩中庚2.3.3减肥模型

2023/1/3163信息工程大学韩中庚2.3.3减肥模型

3.模型的建立与求解

2023/1/3164信息工程大学韩中庚2.3.3减肥模型

2023/1/3165信息工程大学韩中庚2.3.3减肥模型

4.模型的结果分析与推广

2023/1/3166信息工程大学韩中庚2.3.4饮酒驾车影响的模型

假设大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见，他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为酒后驾车，这让他懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？1.问题的提出2023/1/3167信息工程大学韩中庚2.3.4饮酒驾车影响的模型

请你参考给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量变化的数学模型，并讨论以下问题：(1)对大李碰到的情况做出解释；(2)在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后，多长时间内驾车就会违反上述标准？在以下情况下回答问题：①酒是在很短时间内喝的；②酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的．(3)怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高？(4)根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？2023/1/3168信息工程大学韩中庚2.3.4饮酒驾车影响的模型

2.模型的假设（1）人体自身产生的酒精忽略不计，即正常不饮酒情况下，人体体液中的酒精浓度看作0；（2）人的吸收速率和代谢速率是恒定的；（3）人体体液对酒精吸收速率与当前肠胃中酒精含量成正比，比例系数为a；（4）酒精代谢速率与当前血液中酒精浓度成正比，比例系数为b；（5）人体体液中酒精的浓度与血液中酒精的浓度相同；（6）整个过程中人没有摄入任何影响代谢的药类