第3章 位姿描述和齐次变换

第1节位置和姿态的表示第2节坐标变换第3节齐次坐标变换第4节齐次变换的性质第5节旋转变换通式

第三章

位姿描述和齐次变换机器人研究所第1节位置和姿态的表示第2节坐标变换第3节齐次坐标变换第4节齐次变换的性质第5节旋转变换通式

第三章

位姿描述和齐次变换机器人研究所第1节位置和姿态的表示ZXYzxyOo需要推导坐标系o-xyz在坐标系O-XYZ中如何表示！3机器人研究所第1节位置和姿态的表示为描述机器人各个连杆之间、机器人和环境之间的运动关系，通常将它们都当成刚体，研究各个刚体之间的关系。因此构件的空间位置和姿态可用其上任一点在空间的位置和与构件固接的坐标系相对于参考坐标系的方位来描述。XAZAYAXBYBZBPOA固接在构件上的动坐标系{B}参考坐标系{A}AP4机器人研究所第1节位置和姿态的表示位置描述（DescriptionofPosition）图1位置表示Ap：p点在坐标系{A}中的表示，也称作位置矢量。5机器人研究所第1节位置和姿态的表示姿态描述（DescriptionofOrientation）图2方位表示：坐标系{B}相对于坐标系{A}的方位，也称作旋转矩阵。6机器人研究所第1节位置和姿态的表示姿态描述（DescriptionofOrientation）图2方位表示旋转矩阵是单位正交矩阵。7机器人研究所第1节位置和姿态的表示姿态描述（DescriptionofOrientation）绕x轴、y轴和z轴旋转θ角的旋转矩阵为：图3绕z轴旋转θ角

表示

；

表示8机器人研究所9坐标系描述（DescriptionofFrames）

相对参考系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置矢量(PositionVector)和旋转矩阵(RotationMatrix)描述。这样，刚体的位姿（位置和姿态）可由坐标系{B}来描述，即第1节位置和姿态的表示9机器人研究所10机器人手抓坐标系描述与机器人手爪固接的坐标系叫手爪坐标系。原点：机器人手爪指尖中点，由位置矢量P表示；Z轴：设在手指接近物体的方向，称接近矢量a(approach)；Y轴：设在两手指的联线方向，称方位矢量o(orientation)；X轴：由右手法则确定：n＝oⅹa，称为法向矢量n(normal)。第1节位置和姿态的表示a(zB)o(yB)n(xB)10机器人研究所第1节位置和姿态的表示第2节坐标变换第3节齐次坐标变换第4节齐次变换的性质第5节旋转变换通式

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位姿描述和齐次变换机器人研究所第2节坐标变换平移坐标变换(TranslationTransform)坐标系{B}与{A}方向相同，但原点不重合。图4平移变换此式称为平移方程。其中是{B}系原点OB在{A}系中的表示。P12机器人研究所第2节坐标变换旋转坐标变换(RotationTransform){B}与{A}有共同的坐标原点，但方位不同。图5旋转变换P13机器人研究所第2节坐标变换复合变换(CompositeTransform)图6复合变换P14机器人研究所例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。15解：yAoA{A}yBzBxB30°xAzA第2节坐标变换15机器人研究所例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。16解：yAoA{A}30°xAzA12yBzBxB第2节坐标变换16机器人研究所例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。17解：yAoA{A}xAzA12yBzBxB6第2节坐标变换17机器人研究所例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。18解：yAoA{A}xAzA12yBzBxB6第2节坐标变换18机器人研究所例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。19解：yAoA{A}xAzA12yBzBxB6第2节坐标变换19机器人研究所P20解：例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。yAxAzAoA{A}oB{B}ApBoBpApBxBzBy第2节坐标变换20机器人研究所第1节位置和姿态的表示第2节坐标变换第3节齐次坐标变换第4节齐次变换的性质第5节旋转变换通式

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位姿描述和齐次变换机器人研究所第3节齐次坐标变换齐次坐标和齐次变换坐标变换，式中对于点是非齐次的，将其等价为齐次变换形式：等价于齐次变换直角坐标齐次坐标22机器人研究所第3节齐次坐标变换齐次坐标和齐次变换称为齐次变换矩阵，对它有以下物理理解：描述坐标系{B}相对于坐标系{A}的位姿；代表同一点P在两个坐标系{A}和{B}中描述之间的映射关系；表示同一坐标系中，点P运动前后的位姿关系。23机器人研究所例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。24第3节齐次坐标变换解：24机器人研究所例2.1已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于坐标系{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动12单位，并沿{A}的yA轴移动6单位。求位置矢量ApB0和旋转矩阵。假设点p在坐标系{B}的描述为Bp=[3,7,0]T，求它在坐标系{A}中的描述Ap。25第3节齐次坐标变换解：25机器人研究所第3节齐次坐标变换例2.2齐次变换矩阵描述坐标系{B}相对于{A}的位姿，可解释为：{B}坐标原点相对于{A}的位置：[1,-3,4,1]T;{B}坐标原点相对于{A}的方向分别为：{B}的X轴与{A}的Y轴同向[0,1,0,0]T;{B}的Y轴与{A}的Z轴同向[0,0,1,0]T;{B}的Z轴与{A}的X轴同向[1,0,0,0]T.26机器人研究所第3节齐次坐标变换平移齐次变换(HomogeneousTransformationofTranslation){A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平移齐次变换矩阵写为：27机器人研究所第3节齐次坐标变换平移齐次变换(HomogeneousTransformationofTranslation)对已知矢量u=[x,y,z,1]T进行平移变换所得的矢量v为：28机器人研究所第3节齐次坐标变换旋转齐次变换(HomogeneousTransformationofRotation)29机器人研究所第3节齐次坐标变换多次变换给定坐标系{A}，{B}和{C}，已知{B}相对{A}的描述为，{C}相对{B}的描述为，则有同理可有：即一个坐标系变换至另一坐标系的齐次变换矩阵等于依次经历中间坐标系各齐次变换矩阵的连乘积。30机器人研究所31例2.3已知点u=[7,3,2]T

，将u绕z

轴旋转90°得到点v，再将点v绕y轴旋转90°得到点w，求点v、w的坐标。解：第3节齐次坐标变换旋转变换31机器人研究所32例2.3已知点u=[7,3,2]T

，将u绕z

轴旋转90°得到点v，再将点v绕y轴旋转90°得到点w，求点v、w的坐标。解：如果把上述两变换组合在一起第3节齐次坐标变换旋转变换32机器人研究所若改变旋转次序，首先使u绕y轴旋转90°，再绕z轴旋转90°，会使u变换至与w不同的位置w1。第3节齐次坐标变换旋转次序对结果的影响33机器人研究所第3节齐次坐标变换例2.4已知点u=[7,3,2]T，将u绕z轴旋转90°得到点v，再将点v绕y轴旋转90°得到点w，最后进行平移变换[4,-3,7]T，求最终的坐标。解：将上述三个变换组合在一起平移变换和旋转变换组合v•w•u••••nzoyx34机器人研究所第3节齐次坐标变换例2.4已知点u=[7,3,2]T，将u绕z轴旋转90°得到点v，再将点v绕y轴旋转90°得到点w，最后进行平移变换[4,-3,7]T，求最终的坐标。解：将上述三个变换组合在一起平移变换和旋转变换组合zoyxv•w•u••••n35机器人研究所第1节位置和姿态的表示第2节坐标变换第3节齐次坐标变换第4节齐次变换的性质第5节旋转变换通式

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位姿描述和齐次变换机器人研究所第4节齐次变换的性质1、变换过程的相对性绕固定坐标系依次进行的坐标系转换，各齐次变换矩阵按“从右向左”依次相乘原则进行运算（右乘）.321

坐标系的运动方式：{B}的初始方位与坐标系{A}重合，首先使{B}绕xA旋转角，再绕yA转角，最后绕zA转角。37机器人研究所第4节齐次变换的性质1、变换过程的相对性绕动坐标系依次进行的齐次变换，按“从左向右”的原则依次相乘(左乘）。

坐标系的运动方式：{B}的初始方位与坐标系{A}重合，首先使{B}绕zB旋转角，再绕yB转角，最后绕xB转角。38机器人研究所相对于固定坐标系运动相对于活动坐标系运动第4节齐次变换的性质1、变换过程的相对性结论：1）变换顺序从右至左，运动是相对于固定参考系而言的；2）变换顺序从左至右，运动是相对于运动坐标系而言的。39机器人研究所第4节齐次变换的性质2、变换过程的可逆性齐次变换过程是可逆的，逆变换就是使被变换的动坐标系返回到固定坐标系中。例如：40机器人研究所第4节齐次变换的性质从逆方向去看图，固定系的x轴与动系的z轴方向一致，故x轴在动系中可表示为[0,0,1,0]T，同样固定系的y轴可表示为[1,0,0,0]T，z轴可表示为[0,1,0,0]T，而固定系的原点可表示为[3,-7,-4,1]T。2、变换过程的可逆性T表示{B}与{A}之间的变换，也即{B}在{A}中的描述；下面从另一角度分析一下{A}在{B}中的描述。41机器人研究所第4节齐次变换的性质2、变换过程的可逆性于是，{A}在{B}系中的描述为：两者互为逆矩阵42机器人研究所第4节齐次变换的性质2、变换过程的可逆性求逆矩阵的方法：已知，求由旋转矩阵的正交性：43机器人研究所第4节齐次变换的性质2、变换过程的可逆性求逆矩阵的方法已知变换矩阵为:其逆变换矩阵为：44机器人研究所第4节齐次变换的性质2、变换过程的可逆性向量的点乘与叉乘若向量a和b为：则45机器人研究所第4节齐次变换的性质2、变换过程的可逆性例题：已知齐次矩阵为：求A-1解：-P·n=-0×1-0×2-(-1)×3=3-P·o=-0×1-1×2-0×3=-2-P·a=-1×1-0×2-0×3=-1则有46机器人研究所第1节位置和姿态的表示第2节坐标变换第3节齐次坐标变换第4节齐次变换的性质第5节旋转变换通式

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位姿描述和齐次变换机器人研究所第5节旋转变换通式1、旋转变换通式一般旋转变换指旋转轴线不与参考坐标系中的任何轴线重合，而是参考系中过原点的某一矢量，该矢量的方向用单位矢量表示。令是过{A}系原点的单位矢量，求绕K旋转θ角到{B}系的旋转矩阵R(K,θ)，即48机器人研究所第5节旋转变换通式1、旋转变换通式设K是某坐标系{C}的Z轴的单位向量，并设：这样，绕矢量K旋转就等于绕坐标系{C}的Z轴旋转，即

Rot(K,θ)=Rot(ZC,θ)

49机器人研究所第5节旋转变换通式1、旋转变换通式在动坐标系{B}上取一点P，它绕参考坐标系{A}中K旋转θ角1）将{B}上的P点坐标变换到{A}中，其坐标为：2）直接计算绕K旋转的坐标为：目前上式无法直接求解，采用如下步骤：50机器人研究所第5节旋转变换通式1、旋转变换通式3）建立辅助坐标系{C}，使其Z轴与K重合。这样问题变为绕ZC轴旋转。将{B}中的点P变换到{C}中，变换为：4）在{C}中绕ZC轴旋转，则旋转后P点在坐标系{C}中的表示：51机器人研究所第5节旋转变换通式1、旋转变换通式5）将{C}中P点坐标变回到{A}中，有：步骤2）和5）中的结果应该相同，变换前52机器人研究所第5节旋转变换通式1、旋转变换通式由于{C}的Z轴与K重合，所以53机器人研究所第5节旋转变换通式1、旋转变换通式根据坐标轴的正交性，有：方向余弦的平方和为154机器人研究所第5节旋转变换通式1、旋转变换通式当kx=1,ky=kz=0时，即K为x轴，此时其中：55机器人