第4章 抽样分布

第4

章概率分布4.1度量事件发生的可能性4.2随机变量概率分布4.3由正态分布导出的几个重要分布4.4样本统计量的概率分布18:28:014.1度量事件发生的可能性第4章概率分布18:28:0118:28:01什么是概率？

(probability)概率是对事件发生的可能性大小的度量明天降水的概率是80%一只股票明天上涨的可能性是30%一个介于0和1之间的一个值事件A的概率记为P(A)18:28:01怎样获得概率？重复试验获得概率当试验的次数很多时，概率P(A)可以由所观察到的事件A发生次数(频数)的比例来逼近在相同条件下，重复进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率可以写为

4.2随机变量的概率分布

4.2.1随机变量及其概括性度量

4.2.2离散型概率分布

4.2.3连续型概率分布第4章概率分布18:28:0118:28:01什么是随机变量？

(randomvariables)事先不知道会出现什么结果投掷两枚硬币出现正面的数量一座写字楼每平方米的出租价格一个消费者对某一特定品牌饮料的偏好一般用X，Y，Z来表示根据取值情况的不同分为：离散型随机变量和连续型随机变量18:28:01离散型随机变量

(discreterandomvariables)随机变量X

取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来x1,x2，…以确定的概率取这些不同的值离散型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查100个产品一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售销售一辆汽车取到次品的个数顾客数销售量顾客性别0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性为0,女性为118:28:01连续型随机变量

(continuousrandomvariables)可以取一个或多个区间中任何值所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点连续型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查一批电子元件新建一座住宅楼测量一个产品的长度使用寿命(小时)半年后完工的百分比测量误差(cm)X00

X100X04.2.2离散型概率分布4.2随机变量的概率分布18:28:0118:28:01离散型随机变量的概率分布列出离散型随机变量X的所有可能取值列出随机变量取这些值的概率通常用下面的表格来表示X=xix1，x2

，…

，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…

，pn

P(X=xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数pi0；常用的有二项分布、泊松分布、超几何分布等18:28:01二项分布

(Bernoulli试验)

二项分布建立在Bernoulli试验基础上贝努里试验满足下列条件一次试验只有两个可能结果，即“成功”和“失败”“成功”是指我们感兴趣的某种特征一次试验“成功”的概率为p，失败的概率为q=1-p，且概率p对每次试验都是相同的

试验是相互独立的，并可以重复进行n次

在n次试验中，“成功”的次数对应一个离散型随机变量X

18:28:01二项分布

(Binomialdistribution)重复进行

n

次试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布，记为X~B(n，p)设X为n次重复试验中出现成功的次数，X取x

的概率为期望值4.方差=E(X)=np2

=D(X)=npq18:28:01泊松分布

(Poissondistribution)用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内某一事件出现次数的分布计数数据的概率分布泊松分布的例子一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数一定时间内，到车站等候公共汽车的人数一定路段内，路面出现大损坏的次数一定时间段内，放射性物质放射的粒子数一匹布上发现的疵点个数一定页数的书刊上出现的错别字个数

18:28:01泊松分布

(概率分布函数)—给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数e=2.71828x—给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数期望值

E(X)=方差

D(X)=

4.2.3连续型概率分布4.2随机变量的概率分布18:28:0118:28:01连续型随机变量的概率分布连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值它取任何一个特定的值的概率都等于0不能列出每一个值及其相应的概率通常研究它取某一区间值的概率用概率密度函数的形式和分布函数的形式来描述常见的分布类型有正态分布、指数分布等18:28:01正态分布

(normaldistribution)由C.F.高斯(CarlFriedrichGauss，1777—1855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出描述连续型随机变量的最重要的分布许多现象都可以由正态分布来描述可用于近似离散型随机变量的分布例如：二项分布经典统计推断的基础18:28:01正态分布函数的性质图形是关于x=对称钟形曲线，且峰值在x=处均值和标准差一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族”均值可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度。越大，正态曲线扁平；越小，正态曲线越高陡峭当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1

18:28:01标准正态分布

(standardizenormaldistribution)随机变量具有均值为0，标准差为1的正态分布任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布18:28:01标准正态分布的分位点概率是曲线下的面积：xf(x)18:28:01数据正态性的评估用于考察观测数据是否符合某一理论分布，如正态分布、指数分布、t分布等等；可以通过绘制正态概率图来评估样本的正态性；有的称为P-P图，有的称为Q-Q图；P-P图是根据观测数据的累积概率与理论分布(如正态分布)的累积概率的符合程度绘制的；Q-Q图则是根据观测值的实际分位数与理论分布(如正态分布)的分位数绘制的；18:28:01正态概率图的绘制

(例题分析)P-P图Q-Q图

【例4-6】第2章中电脑销售额的正态概率图18:28:01正态概率图的分析

(normalprobabilityplots)只有样本数据较多时正态概率图的效果才比较好；用于小样本可能会出现与正态性有较大偏差的情况只要近似在一条直线上即可；对于样本点中数值最大或最小的点也可以不用太关注，除非这些点偏离直线特别远；如果某个点偏离直线特别远，而其他点又基本上在直线上时，这个点可能是离群点，可不必考虑。4.3由正态分布导出的几个重要分布

4.3.12分布

4.3.2

t分布

4.3.3F

分布第4章概率分布18:28:01设，则；令，则Y服从自由度为1的2分布，即：

当总体，从中抽取容量为n的样本，则：2分布

(2

distribution)2分布

(性质和特点)卡方分布的变量值始终为正；分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称；可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U~2(n1)，V~2(n2),则(U+V)这一随机变量服从自由度为(n1+n2)的2分布：卡方分布的期望值为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n。c2分布

(举例)选择容量为n的简单随机样本计算样本方差S2计算卡方值2=(n-1)S2/σ2计算出所有的

2值不同容量样本的卡方分布c2n=1n=4n=10n=20ms总体例：t

分布设X~N(0,1)

，Y~

2(n)，且X，Y独立，则称统计量：服从自由度为n的t分布,记为t

~t

(n)。对于来自于的一个样本，则有：t分布的形态Xt

分布与正态分布的比较正态分布t分布t不同自由度的t分布正态分布t(df=13)t(df=5)Zt分布设U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相互独立，则：

称统计量F为服从自由度n1和n2的F分布，记为：F分布

(F

distribution)F分布

(图示)

不同自由度的F分布F（1,10)(5,10)(10,10)F4.4样本统计量的概率分布

4.4.1统计量及其分布

4.4.2样本均值的分布

4.4.3其他统计量的分布

4.4.4统计量的标准误差第4章概率分布18:28:014.4.1统计量及其分布4.4样本统计量的概率分布18:28:0118:28:01参数和统计量参数(parameter)描述总体特征的概括性数字度量，是研究者想要了解的总体的某种特征值；一个总体的参数：总体均值()、标准差()、总体比例()；两个总体参数：(1-2)、(1-2)、(1/2)；总体参数通常用希腊字母表示；统计量(statistic)用来描述样本特征的概括性度量，它是根据样本数据计算出来的一些量，是样本的函数；一个总体参数推断时的统计量：样本均值(x)、样本标准差(s)、样本比例(p)等；两个总体参数推断时的统计量：(x1-x2)、(p1-p2)、(s1/s2)样本统计量通常用小写英文字母来表示。18:28:01样本统计量的概率分布，是一种理论分布；在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布；样本统计量是随机变量；如样本均值,样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本；提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据。抽样分布

(samplingdistribution)18:28:01在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的频数分布；一种理论概率分布；推断总体均值的理论基础。

样本均值的分布18:28:01样本均值的分布

(例题分析)【例4-10】设一个总体，含有4个元素(个体)

，即总体单位数N=4。4个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4

。总体的均值、方差及分布如下：总体分布14230.1.2.3均值和方差：18:28:01样本均值的分布

(例题分析)

现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为：3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）18:28:01样本均值的分布

(例题分析)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）x样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P

(x)1.53.04.03.52.02.518:28:01样本均值的分布与总体分布的比较

(例题分析)总体分布样本均值分布18:28:01中心极限定理

(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

>30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布。从均值为，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布；一个任意分布的总体x18:28:01样本均值的抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本样本均值正态分布样本均值正态分布样本均值非正态分布18:28:01样本均值的分布样本均值的期望值和方差样本均值的抽样分布

(正态总体、方差已知)样本均值的抽样分布

(方差未知、小样本)1.假定条件总体服从正态分布,但方差(２)

未知小样本(n<30)样本均值服从t

分布：那么，方差未知大样本时该怎么办？18:284.4.3其他统计量的分布4.4样本统计量的概率分布18:28:0118:28:01总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比；某种性别的人与全部人数之比；合格品(或不合格品)与全部产品总数之比；总体比例可表示为：样本比例可