第03章 恒定电流与恒定电场

恒定电流与恒定电场第三章3.1电流与电流密度3.2欧姆定律和焦耳定律3.3恒定电场的基本方程3.4恒定电场的边界条件3.1电流与电流密度一、电流强度的概念

在导体内，电荷的运动形成电流，也称为电流强度。电流定义为导电介质中单位时间通过一定面积的电荷，即(1)式中dq是在dt时间内通过导电介质中一定面积的电荷量。在国际单位制（SI）中，电流的单位是安培（A），以纪念法国物理学家安培。一安培电流相当于在一秒内传输一库仑的电荷。本章讨论不随时间变化的电流，称之为恒定电流，也称直流电流，记为I。电流是一个标量。

电流有传导电流和运流电流之分。传导电流指金属导体中自由电子的流动形成的电流；而运流电流指自由空间中带电粒子的运动形成的电流，真空电子管中电子从阴极向阳极的运动就是一个典型的实例。二、电流密度

从场的观点看，电流的分布可以随空间坐标点而变化。为了研究导体中不同点处电荷运动的情况,包括电荷运动量的大小和方向，需要引入电流密度矢量的概念。（一）体电流密度矢量JV

如图3-1所示，在导体中电荷流动的方向上取一微分面元ΔS，该面元的法线方向与正电荷流动的方向平行，电荷流动的方向为n，ΔI为面元上通过的电流，则定义体电流密度矢量为(3-1)

JV的方向规定为正电荷运动的方向，而实际上导体中电荷的流动是自由电子的运动，电子运动方向与电流方向相反。体电流密度的单位为A/（安培/平方米）。电流密度矢量Jv描述电流在导体中的的分布情况，是空间坐标点的函数，即JV=JV(x,y,z)。如果JV与时间无关，则是恒定场。图3-1体电流密度定义

与电力线形象描述静电场分布一样，电流场也可以用电流密度矢量线来描述。

如果已知导体内电流密度矢量JV的分布，由电流密度矢量JV可计算导体中任意曲面S上通过的电流强度为(3-2)

式（3-2）表明，电流密度矢量JV与电流强度I的关系是矢量场与通量的关系，或者说电流是电流密度矢量场的通量。

电荷运动形成电流，而电荷运动可由电荷密度随时间的变化描述，即=

(x,y,z;t)；显然，电流密度矢量也可以由运动电荷体密度

(x,y,z;t)和电荷运动速度来表示。如图3-1所示，设导体内的电荷为，取面元dS与电流方向垂直，在dt时间内，穿过面元dS的电荷为式中υ表示电荷运动速度的大小，则电流密度矢量的大小为写成矢量形式，有

式（3-3）表明，体电流密度矢量为体电荷密度与电荷运动速度的乘积，电流密度矢量的方向就电荷的运方向。如果电流由多种带电粒子形成，则有（3-3）式中为第i种运动电荷体密度，υi为第i种电荷运动速度。

值得指出的是，在均匀导体内部，恒定电流场分布情况下，均匀导体中带负电的电子与带正电的原子核仍保持净电荷体密度为零，但正、负电荷运动速度不同，由(3-4)式可知，电流密度不为零。（3-4）（二）面电流密度矢量Js

在工程中，有时会遇到电流仅分布在导体薄层中流动，此时可认为导体薄层的厚度趋于零，电流是在导体表面上流动，如图3-2所示。定义面电流密度矢量为（3-5）图3-2面电流的定义式中dl为导体面上的线微分元，dI为沿n方向上的电流微元。面电流密度矢量的单位为A/m（安培/米）。面电流密度矢量Js描述电流在导体面上的分布情况，同样是空间坐标点的函数，即Js=Js(x,y,z)。

如果已知面电荷密度分布Js，欲求曲面上通过任意曲线l的电流I，有（3-6）式中α是在P点处面电流密度矢量Js(r′)与线微分元之间的夹角，注意此处dl是曲线上的线微分元。

面电流密度矢量Js与电荷面密度

(x,y,z;t)的关系为（3-7）式中υ为电荷运动的速度。（三）线电流I前面定义了体电流密度矢量Js和面电流密度矢量Js，同样，还可以引入线电流。实际上，线电流就是电流I，电荷流动的载体是很细的导线，导线可以看作是几何线，如图3-3所示。用电荷线密度

(x,y,z;t)和电荷运动速度表示，则线电流I为（3-8）图3-3线电流定义需要注意的是，线电流本身是一个标量，但载有电流的导线选择为有向曲线，因此，电荷流动的方向与有向曲线的方向一致或相反。3.2欧姆定律和焦耳定律一、材料的电导率

电导率是在外电场的作用下，电子通过材料容易程度的度量。根据材料电导率的不同，材料可分为导体和电介质。在导体中，电子在外电场的作用下，逆着外电场的方向运动形成传导电流。电介质中，由于没有自由电子，不会有电流流过，传导电流为零。因此，在理想情况下，理想电介质的电导率为零，而理想导体的电导率为无穷大。大多数金属导体的电导率在106～107(S/m)之间，绝缘体的电导率在10-10～10-17(S/m)之间，见表3-1所示。而介于导体和电介质之间的材料称之为半导体。电导率取决于环境温度和材料的纯度等因素。通常，金属导体的电导率随温度下降而增加，在接近绝对零度的低温时，某些导体的电导率变为无穷大，这就是超导体。

材料电导率（S/m）材料电导率(S/m)导体半导体银6.2×107纯锗2.2铜5.8×107纯硅4.4×10-4金4.1×107绝缘体铝3.5×107玻璃10-12铁1.0×107石蜡10-15水银1.0×106云母10-15碳3.0×107熔凝石英10-17表3-1部分常用材料20℃时的电导率二、欧姆定律导体中存在自由电子，在外电场的作用下，导体中的自由电子作定向运动而形成电流。实验表明，对于各向同性的导体，导体内任意点的电流密度与该点的电场强度成正比，即式中σ为导体的电导率，单位是西门子/米（S/m），此式称之为欧姆定律的微分形式。（3-9）电路理论中的欧姆定律为（3-10）式中U、I和R分别为电压、电流和电阻，用积分形式表示，U为（3-11）而I为（3-12）所以式（3-10）称之为欧姆定律的积分形式。欧姆定律的积分形式描述的是一段有限长、截面有限的导体的导电规律，而欧姆定律的微分形式反映的是导体中任一点的Jv和E之间的关系，所以欧姆定律的微分形式更为细致地描述了导体的导电规律。另外，欧姆定律的积分形式仅适合电流稳恒的情况，而欧姆定律的微分形式不仅适合于稳恒情况，对于非稳恒情况也适用。

三、电动势

式（3-9）描述的是导体内电场与电流密度之间的关系。实际上，在导体内形成稳恒电流，必须依靠外电源在导体内维持一恒定电场，即必须有外电源与导体相连接，如图3-4所示。图3-4有源导电回电路电源是将机械能、化学能或热能转换成电能的装置。在电源内部，存在非静电力，这种非静电力的作用使电源内部负极的正电电荷在电源内部，还存在保守场E，非保守场E’和保守场E在电源内部方向相反，因此，电流实际上是非静电场和静电场共同作用的结果。图3-4有源导电回电路向正极运动，不断补充正极的电荷以维持电极上的电荷不变，因而，在导体中维持恒定电流。这种非静电力等效于一个非保守场（或称非库仑场）E’，E’仅存在于电源内部。(3-13)为了定量描述电源的这种特性，引入电动势的概念。电动势定义为在电源内部单位正电荷从负极运动到正极非静电力所做的功，用表示，其数学表达式为在整个回路中，导电介质中的保守场E是由分布恒定的电荷产生的，与静电场相同，具有无旋特性，即保守场E沿闭合回路的积分为零（3-14）如果把电源内部的非保守场也考虑在内，欧姆定律的微分形式可改写为(3-16)此式称之为有源欧姆定律的微分形式。σ为电源内部导电介质的电导率。因此，电动势可以用保守场和非保守场之和的闭合回路积分表示为(3-15)四、电阻为了说明微分形式欧姆定律的用途，下面根据式（3-9）推导一根长为l、横截面为A的直线导体的电阻R，如图3-5所示。在导体两端施加电压U，导体内电场沿导体轴线X方向，即E=，电场从高电位指向低电位，根据式（2-10），有图1-1图的格式(3-17)(3-18)根据式（3-12），通过导体横截面的电流为（3-19）根据式（3-10），得到各向同性均匀导体两端的电阻为由此可以看出，对于任意形状导体电阻的计算，有（3-20）

例3.1

长度为l的同轴电缆，内、外导体半径分别为a和b，如图3-6所示，电介质的电导率为σ，计算同轴电缆单位长度电介质的电导。图3-6同轴电缆电导的计算解设I为内导体经过电介质流到外导体的总电流，在任一半径为ρ的圆柱截面上电流均匀分布，则电流密度矢量为根据式（3-9），有由式（3-17），得到单位长度的漏电导为五、焦耳定律金属导体中的电流是自由电子在电场力的作用下做定向运动形成的。从微观的角度看，自由运动的电子在运动过程中不断与金属导体晶格点阵上的原子发生碰撞，电子把自身的能量传递给做热运动的原子，使晶格点阵的热运动加剧，导致温度升高，这种现象称之为电流的热效应，这种由电能转换而来的热能称之焦耳热。下面研究处于恒定电场E中的导电介质所消耗的功率。假设在导电介质中，运动电荷体密度为，电荷运动速度为υ，则在Δt的时间内，电场力对体积元ΔV内的电荷微元Δq=ΔV所做的功为（3-21）此功转化为焦耳热。当ΔV→0，Δt→0，取极限，就得到导电介质中任一点的热功率密度为(3-22)此式称之为焦耳定律的微分形式，不仅适用于恒定电场，也适用于时变场。注意此式不适用于运流电流的情况。如果导电介质中有电流分布JV，那么体积为V的导电介质消耗的功率为(3-23)对于长为l、横截面为S的均匀导电介质，由式（3-23）可以得到导电介质消耗的功率为(3-24)

这就是电路理论中的欧姆定律，也称之为积分形式的焦耳定律。例3.2

同例3.1，设内、外导体间的电压为U，试求同轴电缆由介质引起的单位长度的功率损耗。根据式（3-9），有内、外导体间的电压已知为U，由例3.1知单位长的电导为解设I为内导体经过电介质流到外导体的总电流，在任一半径为ρ的圆柱截面上电流均匀分布，则电流密度矢量为则得到单位长度导线内的漏电流为由此得到由式（3-24）得到导电介质功率损耗为单位长度损耗的功率为3.3恒定电场的基本方程一、电流连续性方程设有一导电区域，其电荷体密度分布为ρV(x,

y,

z;t)，体电流密度矢量为JV(x,y,z;t)，如图3-7所示。在导电区域内任取一闭合面S，则经闭合面流出的总电流与闭合面内包含的总电荷量分别为(3-25)(3-26)依据电流的定义式（3-1），则有图3-7导电区域(3-27)根据电荷守恒原理，闭曲面流出的电流应等于闭曲面所包围的体积中单位时间内电荷的减少量，则(3-28)这就是电流连续性方程的积分形式。应用高斯散度定理（见式（1-84）），式（3-28）可改写为(3-29)要使这个积分对任意体积都成立，必有被积函数为零，即(3-30)这就是电流连续性方程的微分形式，该式表明电荷密度随时间的变化是体电流密度矢量的源。如果电荷密度ρV不随时间变化，则有(3-31)或者(3-32)式（3-31）和式（3-32）表明，恒定电流是连续的，电流线是闭合线，即导电介质中通过恒定电流时，内部电流密度矢量为无散场。实际上式（3-31）就是电路理论中基尔霍夫定律的数学描述，表示电路节点的电流代数和为零，如图3-8所示。或者，当闭合面收缩为一点时，式（3-31）便可解释为

(3-33)将式（3-9）代入式（3-32），得到(3-34)如果导电介质均匀，有(3-35)这就是导电介质中电位分布满足的拉普拉斯方程。(3-36)图3-8如果导电介质中的电位分布为U，将代入（3-34），得到

*

*导电介质中的拉普拉斯方程二、恒定电场的基本方程综合以上分析，由式（3-14）和式（3-31）得到恒定电场基本方程的积分形式为(3-37)利用斯托克斯定理[见式(1-91)],并由式（3-32），得到恒定电场基本方程的微分形式为(3-38)3.4恒定电场的边界条件当恒定电流通过两种不同电导率的导电介质时，电流密度和电场必须满足的关系称之为恒定电场的边界条件。下面根据恒定电场所满足的基本方程的积分形式推导恒定电场所满足的边界条件。图3-9电流密度边界条件首先推导电流密度的边界条件。如图3-9所示，设两种导电介质的电导率分别为σ1和σ2，两导电介质中的电流密度矢量分别为J1和J2，导电介质分界面的法向单位矢量为n，J1和J2与界面法向的夹角分别为θ1和θ2。作一圆柱形闭合面，底面微元为ΔS，柱高为Δh，在面微元ΔS上J1和J2近似为常矢量，当Δh→0时，应用式（3-37）第二式，得到则有(3-39)或(3-40)即(3-41)表明分界面上电流密度矢量的法向连续。由欧姆定律的微分形式（3-9）和电场与电位的关系式（2-19），可得到两导电介质分界面电位满足的边界条件为(3-42)同理，应用式（3-37）第一式，可得到电场切向分量的边界条件连续，即用电位形式表示为(3-43)即(3-44)(3-45)由欧姆定律的微分形式（3-9），代入式（3-43），可得到电流密度满足边界条件的切向分量方程为(3-46)或者(3-47)此式表明，电流密度矢量的切向分量不连续。由式（3-40）和式（3-47），可得到分界面上电流矢量的折射关系为(3-48)作为特例，下面讨论两种情况：（1）假设第一种导电介质为不良导体，第二种介质为良导体，即σ2>>σ1，则由式（3-48）可知，只要θ2≠900，θ1都很小，换句话说，导电介质1中，电流或电场的切向分量很小，可以忽略不计。（2）假设在导电介质1和导电介质2的分界面上存在自由电荷面密度ρS，一般情况也是如此，则根据电通密度矢量D的法向分量边界条件（2-71），得到表明电流从良导体进入不良导体时，在导电介质1中电流线J（也即电力线E）近似地与良导体表面垂直，良导体表面近似为等位面，这与静电场相似。另一方面，根据式（3-41），有(3-49)当σ2>>σ1时，E2n很小，即在导电介质2中电场的法向分量很小。(3-50)由式（3-40），有(3-51)代入式（3-50），得到(3-52)(3-53)如果，不为零，说明两种导电介质分界面上总是存在自由电荷分布的。如果两种导电介质都是金属导体，则，有只要，，说明在两种导体分界面上一般有自由电荷存在。例3.3一平行板电容器，两极板间加电压为U，极板的面积为S，两极板间填充两种导电介质，它们的厚度、介电常数和电导率分