第02章3-4动量和能量守恒定律

§2-3动量守恒定律和能量守恒定律（五个小球质量全同）车辆超载容易引发交通事故车辆超速容易引发交通事故力的累积效应对时间积累动能、功、动能定理、机械能守恒动量、冲量、动量定理、动量守恒对空间积累力的瞬时效应→加速度：牛顿第二定律

但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微观）…我们往往只关心过程中力的效果，即只关心始末态间的关系，对过程的细节不感兴趣；而有些问题我们甚至尚弄不清楚过程的细节。作为一个过程，我们关心的是力对时间和空间的累积效应。2.3.1质点的动量定理1、动量的引入在牛顿力学中，物体的质量可视为常数故即1)式中叫做动量，是物体运动量的量度。2)动量 是矢量，方向与 同。动量是相对量，与参照系的选择有关。

指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间传递着的物理量。2、冲量的概念1)恒力的冲量2)变力的冲量此时冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定。力在某一段时间间隔内的冲量冲量的方向与力的方向相同。作用力为恒量，作用时间t1t2，力对质点的冲量：作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量——质点的动量定理运动员在投掷标枪时，伸直手臂，尽可能的延长手对标枪的作用时间，以提高标枪出手时的速度。3、质点的动量定理讨论1。冲量是矢量。冲量的大小和方向与整个过程中力的性质有关。分量表示式4。动量与参照系有关，但动量差值与参照系无关。因此，动量定理适用于所有惯性系。3。动量定理适用于任何形式的质点运动，但在讨论如冲击、碰撞等过程时更方便。2。在冲击等过程中，力的作用时间很短暂，而力随时间的变化却很复杂，无法通过力的积分计算冲量,但可由求得力的冲量。并估算力的平均冲力：

汽车气囊、拳击手套、运动护垫等.讨论*教授吸收了铁锤的全部动量，但只吸收了部分动能！讨论讨论问：为什么迅速地把盖在杯上的薄板从侧面打去，鸡蛋就掉在杯中；慢慢地将薄板拉开，鸡蛋就会和薄板一起移动？答：因为鸡蛋和薄板间的摩擦力有限，若棒打击时间很短，所以鸡蛋就掉在杯中.[例3-1]质量为m的行李，垂直地轻放在传送带上，传送带的速率为v

，它与行李间的摩擦系数为μ，

试计算：(1)行李将在传送带上滑动多长时间?(2)行李在这段时间内运动多远?(3)有多少能量被摩擦所耗费?(1)以地面为参照系(2)由质点动能定理解:(或：)mxOvmxOv(3)被摩擦损耗的能量等于一对摩擦力做的功以传送带为参考系：二、质点系的动量定理第i个质点受到的合外力为对第i个质点运用动量定理有：对质点系有：质点系i因为：三、动量守恒定律一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，但系统的总动量保持不变。即：动量守恒定律。1.区分外力和内力内力仅能改变系统内某个物体的动量，但不能改变系统的总动量.注意3.在某些情况下，如碰撞、打击、爆炸等过程，外力与内力相比小很多。在极短的时间内，外力的时间积累（冲量）相比之下可以忽略不计。我们可以有近似的动量守恒。4.动量定理只适用于惯性系5.在牛顿力学的理论体系中，动量守恒定律是牛顿定律的推论。但动量守恒定律是更普遍、更基本的定律，它在宏观和微观领域、低速和高速范围均适用。2.合外力沿某一方向为零；可得到该方向上的动量守恒。（尽管总动量不守恒）例一、如图，车在光滑水平面上运动。已知m、M、人逆车运动方向从车头经t到达车尾。求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；

2、车的运动路程；

3、若人以变速率运动，上述结论如何？解：以人和车为研究系统，取地面为参照系。水平方向系统动量守恒。相对速度1、2、3、变速率时:例2.5一弹性球，质量m＝0.20kg，速度v＝5m/s，与墙碰撞后弹回。设弹回时速度大小不变，碰撞前后的运动方向和墙的法线所夹的角都是α，设球和墙碰撞的时间Δt＝0.05s，α＝60°，求在碰撞时间内，球和墙的平均相互作用力。解：以球为研究对象，设墙对球的平均作用力为，球在碰撞前后的速度为和，由动量定理可得解方程得按牛顿第三定律，球对墙的平均作用力和的方向相反而等值，即垂直于墙面向里。将冲量和动量分别沿图中N和x两方向分解得：例三、一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。ox证明：取如图坐标，设t时刻已有x长的柔绳落至桌面，随后的dt时间内将有质量为dx（Mdx/L)的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：柔绳对桌面的冲力F＝F'即：而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg1、功——力的空间积累外力作功是外界对系统作用的一个过程量单位：焦耳（J）大小：功动能势能机械能守恒定律

§2-４①．恒力的功

即某力的功等于力与质点在该力作用下位移的标积。力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘积。

B**A②.变力的功直角坐标系中说明1.一般情况下，功与力和路径有关自然坐标系：与参照系无关，位移与参照系有关，故

A与参照系有关。3.合力的功等于各分力的功的代数和。例1

作用在质点上的力为在下列情况下求质点从处运动到处该力作的功：1.质点的运动轨道为抛物线2.质点的运动轨道为直线XYO做功与路径有关XYO2、功率力在单位时间内所作的功瞬时功率等与力与物体速度的标积单位：瓦特W五、保守力的功1、保守力某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。典型的保守力：重力、万有引力、弹性力与保守力相对应的是耗散力典型的耗散力：摩擦力2、重力的功m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.可见，重力是保守力。初态量末态量3、弹力的功可见，弹性力是保守力。弹簧振子初态量末态量4、引力的功两个质点之间在引力作用下相对运动时，以M所在处为原点,M指向m的方向为矢径的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。可见万有引力是保守力。rabrdrFMmrdrab解：由题知，虽然力的大小不变，但其方向在不断变化，故仍然是变力做功。例2.8在离水面高为H的岸上，有人用大小不变的力F拉绳使船靠岸，如图所示，求船从离岸

处移到

处的过程中，力F对船所做的功。如题图所示，以岸边为坐标原点，向左为x轴正向，则力F在坐标为

x处的任一小段元位移dx

上所做元功为例3、质量为2kg的质点在力(SI)的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。解：（一维运动可以用标量）六、动能定理质点的动能质点系统的动能ABDrifi质点的动能定理

合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。物体受外力作用运动状态变化动能变化ABDrifi功是质点动能变化的量度过程量状态量末态动能初态动能动能是相对量说明3.应用：1.合外力的功是动能变化的量度。与参考系有关，动能定理只在惯性系中成立。2.4.微分形式：例4、一个质量为10千克的质点，在变力F=2x+3(SI)作用下由静止开始运动。试求质点运动到3米处时的速度和加速度。解：O3Fx0到3米之间力做的功为：根据动能定理：在x=3米处，加速度的计算则非常简单：例2.10一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t＝0时物体静止于原点，(1)若物体在力F＝3＋4tN的作用下运动了3s，它的速度增为多大？(2)物体在力F＝3＋4xN的作用下移动了3m，它的速度增为多大？解：(1)由动量定理

，得(2)由动能定理，得七、势能、势函数

在受保守力的作用下，质点从AB，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引入一个只与位置有关的函数，A点的函数值减去B点的函数值，定义为从A

B保守力所做的功，该函数就是势能函数。AB定义了势能差选参考点（势能零点），设保守力做正功等于相应势能的减少；保守力做负功等于相应势能的增加。外力做正功等于相应动能的增加；外力做负功等于相应动能的减少。比较重力势能（以地面为零势能点）引力势能（以无穷远为零势能点）弹性势能（以弹簧原长为零势能点）势能只具有相对意义系统的机械能质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。1、计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量，其量值与零势能点的选取有关。2、势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应于一种保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。3、势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共有的。4、一对保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系统势能增加。注意八、势能曲线几种典型的势能曲线（d）原子相互作用势能曲线势能曲线:势能随位置变化的曲线hEp（h）O（a）lEp（l）O（b）rEp（r）O（c）r0Ep（r）Or（d）（a）重力势能曲线（b）弹性势能曲线（c）引力势能曲线势能曲线提供的信息1、质点在轨道上任意位置时，质点系所具有的势能值。2、势能曲线上任意一点的斜率的负值，表示质点在该处所受的保守力九、质点系的动能定理与功能原理对第i质点运用动能定理：对所有质点求和可得：不能先求合力，再求合力的功；只能先求每个力的功，再对这些功求和。因为系统内每个质点的位移可能不同且系统内力恒为零注意质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。质点系的动能定理外力对系统和系统非保守内力做功之和等于系统机械能的增量——质点系的功能原理

内力做功可以改变系统的总动能。值得注意：当外力对系统做功和系统非保守内力做功的和为零时，系统的机械能守恒。十、机械能守恒定律系统的机械能增加系统的机械能减少系统的机械能保持不变机械能守恒的条件系统不受外力和非保守内力作用系统受外力和非保守内力作用，但它们都不作功；它们作功，但相互抵消。能量转化与守恒定律1、能量的多种形式：动能、势能、机械能、热能、电能、原子核能、化学能等等。2、不同形式的能量是可以相互转化的：3、能量守恒定律：在孤立系统中发生的任何变化和过程，各种形式能量的总和保持不变。这个结论叫做能量转化与守恒定律。注意：（1）机械能守恒定律只适用于惯性系。（2）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但在另一参考系中外力功也许不为零。

德国物理学家和生理学家．于1874年发表了《论力(现称能量)守恒》的演讲，首先系统地以数学方式阐述了自然界各种运动形式之间都遵守能量守恒这条规律．是能量守恒定律的创立者之一．亥姆霍兹

(1821—1894)

例

一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的顶点P，另一端系一质量为m

的小球,小球穿过圆环并在环上运动(μ=0)．开始球静止于点A,弹簧处于自然状态，其长为环半径R;当球运动到环的底端点B时，球对环没有压力．

求弹簧的劲度系数k．

解

以弹簧、小球和地球为一系统只有保守内力做功系统即又所以取点B为重力势能零点说明：沙箱对子弹做功-f(s＋l)与子弹对沙箱做的功fs

=-fs两者不相等；而这一对内力做功之和不为零，它等于子弹与沙箱组成的系统的机械能的损失，损失的机械能转化为热能。例2.13在光滑的水平台面上放有质量为M的沙箱，一颗从左方飞来质量为m的弹丸从箱左侧击入，在沙箱中前进一段距离l后停止。在这段时间内沙箱向右运动的距离为s，此后沙箱带着弹丸以匀速运动。求此过程中内力所做的功。(假定子弹所受阻力为一恒力)解：如图所示，设子弹对沙箱作用力为，沙箱位移为s；沙箱对子弹作用力为，子弹的位移为