初中数学中的概念教学

李建华北京师范大学2015.11

初中数学中的概念教学

哲学、理论与实践的思考

辛钦《数学分析简明教程》序我想尽力做到一点，即使得在引进新概念与监理新理论时，学生先有准备，能够尽可能地看出这些新概念、新理论的引进是很自然的，甚至是不可避免的。我认为只有利用这种方法，在学生方面才能对于所学的东西产生真正的兴趣，才能非形式化地理解与掌握所学到的东西。

什么是数学概念一个小调查：在初中数学范围内，我们认为是数学概念的……怎样概括出“数学概念”的概念……什么是数学概念概念：心理学名词。由同类多数事物之诸项知觉所构成之普通观念，谓之概念。伦理学上之概念即族类特性之定义，必须涵括同一族类观念，对于族类之属性所知愈多，则其概念愈近于论理的。概念之构成，含有比较、抽析、判断、综合诸作用。——中华书局1981年1月第一版（据1936年版缩印），在上册1546页。什么是数学概念概念：类属性的概括、抽象对象性（实体）与过程性（关系）抽象的实体是认识的最终目标，具体的关系是形成实体的基础。什么是数学概念数学：数量关系与空间形式（模式与秩序）关于数量关系与空间形式的实体：数的系统，形的系统两者之间的联系：度量的系统*与生俱来的抽象性*彻底的追根溯源——公理（常识）*严密的“关系”网——结构（主体与客体）数学概念的教学原则：回归数学（思想、内容与方法）方法：趣味性，活动性，探索性，故事性，发展性*回归数学：历史与现代（数学教师的专业素养与职业价值）*尊重学生：故事，游戏，活动回归数学：数学与数学教育的价值数学至高至善价值的认同；数学不仅仅是逻辑、语言、工具，更是人类文明最高形式的表现之一，是文化的组成部分；教育的终极目标是使每一个人理解生命的价值和意义，数学是通向这一目标的独特通道。

Cogito,ergosum尊重学生：以敬畏之心努力营造环境儿童是天生的学习家，学习是儿童与生俱来的能力，使儿童浸淫在美的数学环境中，将最大限度的激发出儿童的数学潜能；美的数学要有适应人的发展特点的适当方式，这需要以研究为基础的创造；兴趣与好奇心是儿童学习的内部动力，游戏与探索性活动是引起兴趣与好奇心的最有效的形式。Cogito,ergosum初中数学概念教学主题数的系统：自然数、整数、有理数与无理数及其运算与大小关系（序）形的系统：点、线（线段、射线、直线），

三角形、四边形、多边形，全等与相似度量的系统：长度、面积与体积，角度，数轴与坐标系“数”的起源数是可以用来运算，并与客观事物相联系的一些记号。

数“数”：建立事物与{1，2，3，…}联系的过程（1-1映射）。

测量（几何学的概念）：单位+相等

数“数”的过程中蕴含着“多少”和“顺序”两个概念。“数”的起源

“多少”的数——基数

“顺序”的数——序数（归纳法、Peano公理）度量的数——长度、面积（分数、无理数）计算的数——运算、方程（负数、无理数、虚数）“数”的起源数的表示数制——十进制（手指计数）进位制：整数和小数

“实在”的意义：最基础的“数”的记号被无形中赋予实在的意义，比如十进制中的0，1，2，…，9。O12“数”的起源数的表示分数的“好运气”：分数也并不总是有着最直接的实在的意义，比如十进制的1/3，无限循环小数实际上描述了一个无限的过程，但这一“实在”被想当然的接受，“1/3”作为一个独立的记号意义也没有受到质疑，这也许是比或比例的几何直观意义带来的效果。“数”的起源数的表示不可公度，“无理”的：可以接受1/3是3倍之后等于1的数，不能接受是平方之后等于2的数——比或比例的几何直观对思想的约束！问题：的计算。*无限循环小数与无限不循环小数*

“数”的起源是无理数的无字证明：“数”的起源现实的：将一张A4纸沿着长边的2个中点对折，将得到2个小长方形，小长方形的长与宽之比与A4纸相同.“数”的起源数的表示*无限循环小数与无限不循环小数*

1.实数的实在性;2.实数的本质——有限与无限的辩证法。思考：“的计算”、“的计算”等说法的隐喻。

“数”的起源数的表示实数的完备性——“几何实在性”的终结！虚数——“虚妄”的数！

i不需要再有计算的问题——运算“完备性”复数——“平面的数”四元数——“空间的数”

扩张与因袭——代数学的解放基数与序数概览一些代数学概念的简单回顾

1.Descartes积

AB={(a,b)|aA,bB}2.关系

AB的任意子集成为从A到B的关系。

3.映射、单射、满射、1-1映射、逆映射

基数与序数概览一些代数学概念的简单回顾

1.Descartes积

AB={(a,b)|aA,bB}2.关系

AB的任意子集成为从A到B的关系。

3.映射、单射、满射、1-1映射、逆映射

基数与序数概览一些代数学概念的简单回顾

4.二元关系

5.等价关系与分类等价关系：反身性、对称性、传递性

6.偏序与偏序集偏序关系：反身性、反对称性、传递性偏序集、偏序集的同态与同构偏序集表示定理*基数与序数概览一些代数学概念的简单回顾

7.二元运算与代数系二元运算、代数系（1）群胚与半群（2）群、环与域（3）代数系的同态与同构嵌入*基数与序数概览基数与序数

1.基数与无限集基数的概念例1.N={0,1,2,…,n,…},E={0,2,4,…,2n,…}

例2.NNN

例3.QN

有限集与无限集无限集的特征可数集基数与序数概览有理数的可数性：有理数之树基数与序数概览基数与序数例4.[0，1]（0，1）例5.（0，1）R

例6.实数集是不可数集基数的比较

Cantor定理基数与序数概览基数与序数例7.|P(M)|=2|M|

例8.|R|=|P(N)|

例9.RR2Cantor-Schröder-Bernstein定理Cantor-Schröder-Bernstein定理Cantor-Schröder-Bernstein定理康托的有限与无限基数理论:Cantor的连续统假设（Hilbert第一问题）新的统合——amazing的结论全体自然数是构成“最小”的无限！全体自然数与全体有理数“一样多”！全体实数是“第2个”被认知的无限！任意集合的幂集合的基数都来的真的大！全体自然数的幂集合与全体实数一样多！基数与序数概览基数与序数

2.良序集与序数良序集的概念良序集的同构与序数序数的构造超限归纳法良序公理

Peano公理与自然数的构造Peano公理（1）1N；（2）nN，n+N；（3）nN，n+1；（4）m、nN，m+=n+，则m=n；（5）若N的任意子集S满足

1S；

nSn+S,

则S=N。

Peano公理与自然数的构造

性质1.nN，n+n；性质2.nN，n1，mNs.t.m+=n.

加法：

n+1=n+；

n+m+=（n+m）+.

加法满足结合律、交换律、消去律。

Peano公理与自然数的构造

乘法：

n•1=n；

n•m+=n•m+n.

乘法满足结合律、交换律，乘法对加法的分配律。

Peano公理与自然数的构造

序关系比较定理：m、nN，以下情形有且只有一种情形成立：（1）m=n；（2）jNs.t.m=n+j；（3）kNs.t.n=m+k。Peano公理与自然数的构造

序关系m、nN，定义：

n<mjNs.t.m=n+j。传递性、加法保序性、乘法保序性最小数原理：N的任意非空子集都有最小数。阿基米德公理：a、bN，a<b，则nNs.t.b<na。从自然数到整数

——负数的引入与整数的构造1.负数的引入实际的需要、运算的需要从运算角度一个可能的引入方法：定义-a是满足x+a=0的数，那么如何得到运算法则的合理性解释呢？比如，（-a）+（-b）=-（a+b）（-a）.（-b）=ab从自然数到整数

——负数的引入与整数的构造1.负数的引入设x+a=0,y+b=0,于是（x+y）+(a+b)=0

所以（-a）+（-b）=-（a+b）又b(x+a)=0,(y+b)x=0

即bx+ba=0,yx+bx=0

于是yx=-bx=ba

即(-a)(-b)=ab从自然数到整数

——负数的引入与整数的构造2.整数的构造（1）一个集合

D={(a,b)|a、bN}

（2）等价关系与商集

(a,b)(c,d)b+c=a+d

定义：Z=D/

从自然数到整数

——负数的引入与整数的构造

（3）运算加法：[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]

乘法：[a,b][c,b]=[ad+bc,bd+ac]

定义的合理性（与代表选取无关）结合律、交换律、分配律加法的0元和负元乘法的单位元

从自然数到整数

——负数的引入与整数的构造

（4）序关系正整数集

Z+={[a,b]|a、bN，b>a}

定义：a、bZ，a<bb-aZ+

传递性、加法保序性、乘法保序性

从自然数到整数

——负数的引入与整数的构造

（5）嵌入

f：NZ,n[1,1+n]

证明：（1）f是1-1映射；（2）f(a+b)=f(a)+f(b)f(ab)=f(a)f(b)a<bf(a)<f(b).*整数环Z

从整数到有理数

——分数的引入与有理数的构造1.分数的引入设xa=1,yb=1,于是

(xy)(ab)=1

所以xy=a-1b-1=(ab)-1

记a-1=1/a，则ab-1=a/b*推测分数加法和乘法的可能形式从整数到有理数

——分数的引入与有理数的构造2.有理数的构造（1）一个集合

D={(a,b)|aZ,bZ*=Z\{0}}

（2）等价关系与商集

(a,b)(c,d)bc=ad

定义：Q=D/

从整数到有理数

——分数的引入与有理数的构造

（3）运算加法：[a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd]

乘法：[a,b][c,b]=[ac,bd]

定义的合理性结合律、交换律、分配律加法的0元和负元乘法的单位元

从整数到有理数

——分数的引入与有理数的构造

（4）序关系正有理数集

Q+={[a,b]|abZ+}

定义：a、bZ，a<bb-aQ+

传递性、加法保序性、乘法保序性

从整数到有理数

——分数的引入与有理数的构造

（5）嵌入

f：ZQ,a[a,1]

证明：（1）f是1-1映射；（2）f(a+b)=f(a)+f(b)f(ab)=f(a)f(b)a<bf(a)<f(b).

稠密性、阿基米德性质*有理数域

从有理数到实数

——无理数数的引入与实数的构造1.无理数的引入设x2=2,证明：x不是有理数。用反证法。

x=m/n,m、n互质,则m2/n2=2，

m2=2n2，m2是偶数，从而m是偶数，设m=2t，于是4t2=2n，n=2t2，n是偶数，这与m、n互质矛盾。

从有理数到实数

——无理数数的引入与实数的构造2.实数的构造（1）一个集合

Contor序列：{rn}是有理数序列，如果Q+，N1Ns.t.m、n>N1,|rm-rn|<，那么，就称{rn}是Contor序列。

D={{rn}|{rn}是Contor序列}

（2）等价关系与商集

{rn}{sn}lim(rn-sn)=0

定义：R=D/

从有理数到实数

——无理数数的引入与实数的构造

（3）运算加法：[rn]+[sn]=[rn+sn]

乘法：[rn][sn]=[rnsn]

定义的合理性结合律、交换律、分配律加法的0元和负元乘法的单位元

从有理数到实数

——无理数数的引入与实数的构造

（4）序关系正实数集

R+={[rn]|Q+,N1N+s.t.n>N1,rn>}

定义：a、bR，a<bb-aR+

传递性、加法保序性、乘法保序性

从有理数到实数

——无理数数的引入与实数的构造

（5）嵌入有理实数与无理实数

f：QR,r[rn]

证明：（1）f是1-1映射；（2）f(a+b)=f(a)+f(b)f(ab)=f(a)f(b)a<bf(a)<f(b).

实数的完备性*实数域

从实数到复数

——虚数单位i的引入与复数的构造1.虚数单位i的引入

x2=-12.复数的构造（1）C={(a,b)|a,bR}

（2）加法：(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

乘法：(a,b)(c,b)=(ac-bd,ad+bc)

结合律、交换律、分配律加法的0元和负元乘法的单位元

从实数到复数

——虚数单位i的引入与复数的构造

（3）复数不能比较大小的实质——非有序域。用反证法，假设存在复数集合P满足(I)若aC，则有且仅有下述情形之一成立：

a=0；a是P的一个元素；-a是P的一个元素。

(II)若a、b是P的两个元素，则a+b和ab也是P的元素。再考虑i与P的关系即可。代数学基本定理：任意复系数多项式在复数域里有解。

数系的发展自然数整数有理数实数

复数四元数

…

抽象代数结构Cogito,ergosum“形”的起点：勾股定理中国古代的经典《周髀算经》

成书约公元前100年，卷一上记录了公元前11世纪，周公与商高的一段对话，即出现了勾股定理。Cogito,ergosum什么是勾股定理昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可将尺寸而度，请问数安从出？Cogito,ergosum什么是勾股定理商高曰：数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为句广三、股修四、径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。Cogito,ergosum什么是勾股定理周公曰：大哉言数，请问用矩之道？Cogito,ergosum什么是勾股定理商高曰：平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。环矩以为圆，合矩以为方。方属地，圆属天，天圆地方。方数为典，以方出圆。笠以写天，天青黑，地黄赤，天数之为笠也。青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。Cogito,ergosum什么是勾股定理是故，知地者智，知天者圣。智出于句，句出于矩。夫矩之于数，其裁制万物，惟所为耳。周公曰：善哉。Cogito,ergosum赵爽的弦图Cogito,ergosum什么是勾股定理Cogito,ergosum什么是勾股定理Cogito,ergosum两个相关联的问题

1.什么是直角？2.什么是面积？Cogito,ergosum商高的证明既方其外，半之一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。Cogito,ergosum商高的证明Cogito,ergosum《原本》中的证明

约公元前300年《原本》及其公理化方法《几何原本》（希腊语：Στοιχεῖα）是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13卷。这本著作是现代数学的基础，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍。《原本》及其公理化方法中国最早的译本是1607年意大利传教士利玛窦（MatteoRicci，1552－1610）和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》（15卷）合译的，定名为《几何原本》，几何的中文名称就是由此而得来的。他们翻译了前6卷，后9卷由英国人伟烈亚力(AlexanderWylie，1815—1887)和中国科学家李善兰在1857年译出。数学与孩子欧几里得（Euclid）的杰作——《原本》2000多年的世界性的教科书！把所有的数学的起点归结为10条公理：公理1跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。公理2等量加等量，总量仍相等。公理3等量减等量，余量仍相等。公理4彼此重合的东西是相等的。公理5整体大于部分数学与孩子

公设1过两点确定一条直线。公设2直线可以无限延长。公设3以一个点为圆心，任意距离为半径可以做一个圆。公设4所有直角彼此相等。公设5（平行公设）两条直线被第三条直线所截，同旁内角小于两直角，则这两条直线在同一侧必然交于一点。《原本》证明的实质“环而共盘”的妙处“环而共盘”的妙处“环而共盘”的妙处刘徽证明的实质勾股定理一共有多少种证明方法？勾股定理因为其重要性，很多人参与到寻求新证明的行列中，甚至据说1876年的美国总统Garfield也给出了如下的一个证明，显然，这个证明并不“新”！勾股定